从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
的求和规则,产品规则,和链式法则产生从的衍生物新衍生物xN罪(x),Ex.微积分基本定理说,整体反转衍生物。
好吧,我们开始了。我认为值得考虑我们所知道的。微积分微分方程是微积分的一个重要应用,所以看看微积分的哪一部分,微积分中的哪些信息和思想,在微分方程中得到了实际应用,这是一件很有趣的事情。我将向你们展示我所看到的,并不是所有的东西,而是一些基本的想法,但不是你们学到的所有细节。所以我并不是说忘记所有这些,而是把注意力放在重要的事情上。
好啊所以你需要的微积分是我的主题。首先,你真的需要知道基本导数。x对n的导数,正弦和余弦的导数。最重要的是,e对x的导数,也就是e对x的导数。e对x的导数就是e对x的导数。这是一个奇妙的方程,由e到x求解。Dy等于y。
我们必须在这方面做得更多。与指数相关的反函数是对数。对1/x求导。好的。但你知道的。其次,从这些少数的具体事实中,你可以使用关键规则创建大量函数的导数。
f + g的导数是f的导数加上g的导数,导数是一个线性运算。乘法法则fg ' + gf '除法法则。谁还记得?
最重要的是,链式法则。这个函数链的导数,这个复合函数是f对g的导数乘以g对x的导数,这是,这是一系列的函数我们可以处理这些函数。
好的。然后基本定理。因此,基本定理涉及导数和积分。它说,一个是反向操作其他。一个函数的积分的衍生物是这样的。
这是y,积分从0到x,我不关心哑变量是什么。我可以把哑变量改成t。我也不在乎来显示虚拟变量。
x是积分的极限。我不会讨论这个基本定理,但它确实是基本的,我会用到它。也许这是更好的。我马上就用基本定理。
所以,记住上面说的话。它说,如果你取一个函数,你对它积分,你取导数,你得到函数。好的,我可以把它应用到一个非常-,我认为这是微分方程中的一个关键例子。让我向你们展示我心目中的功能。我想到的函数,我叫它y,是从0到t的间隔。
这是t的函数,然后是时间,这是e到t减去s的积分。一些功能。这是一个解基本微分方程的非凡公式。
所以用这个,这解决了方程DY DT等于y加的T Q值。所以,当我看到这个等式,我们将再次看到它,我们就会得出这个公式,但现在我只想用微积分基本定理检查公式。什么是我们created--,我们得出formula--以及它不会是错误的,因为我们的推导就会好的。但同时,这将是很好的,我只是觉得,如果你插在,到微分方程它的解决。
好的,我想取它的导数。那是我的工作。这就是为什么我在这里这么做,因为它使用了所有的规则。好的,取导数,我注意到t出现在通常的位置,它也在积分中。但这是一个简单的函数。
我可以把e带到t,我要把e带到t,在积分之外。从e到t。所以我有一个函数t乘以另一个函数t。
我将使用该产品的规则,并表明该产品的衍生物是任期将是Y和其他条款将是Q值。我可以只适用于该产品的规则这个功能,我已经帽子的拉出,但你会再次看到它。OK所以它的这个时候,这的产物。因此,衍生DY DT is--产品规则说走衍生物 - 这是e将 - 。
加上,第一项乘以第二项的导数。现在用乘法法则。你要注意到e ^ t出现了两次因为它在这里,它的导数是一样的。它的导数是什么?微积分基本定理。
我们已经积分了,我想求它的导数,所以我得到了这个。得到e ^ (- tq (t))这是基本定理。你能接受吗?
因此,让我们去看看我们有什么。第一项正是年。究竟是因为上面当我把衍生第一的家伙,在F它并没有改变,所以我还有年。有什么我 - 我该怎么也来了?e将t次e将减t是一个。
所以e到t抵消了e到负t,剩下的q就是我想要的。所以乘积法则中的两项是微分方程中的两项。我只是想,正如你们所看到的,基本定理是需要的,来找到那个盒子里的导数,就是那个圆括号里的导数。我只是喜欢使用基本定理。
好的,我们还需要一个微积分的话题。我们开始吧。所以它涉及到曲线的切线。这与图表相切。
这是一条直线,我们需要的是y/t加上δt。这是任何函数,也许你更希望我调用函数f。稍微超过t的点上的函数,近似于t处的函数加上修正,因为它加上δf,对吗?Aδf。
f的近似是多少?它近似于t乘以t点的导数,这条线上有很多符号,但它表达了微分学最基本的事实。如果我把f (t)放在这边,带负号,那么就得到f,如果我除以t,那么同样的规则,它近似等于df / dt。
这是微积分的基本思想,导数非常接近。在t点,t点的导数接近于f / t,它在很短的时间间隔内变化。这就是切线,因为它从常数项开始。它是t的函数,这就是斜率。
只是画一幅画。所以我在这里画画。因此,让我画图哦〜的有电子商务到T的图表。因此,它启动了坡1.让我给它一点坡度在这里。
好的,切线,当然它在这里,而不是下面。所以切线就是那条线。
这是切线。这就是这种近似到f。而你看到的我 - 这里是T等于0让我们说。而这里的T以下三角洲吨。你可以看到,如果我走了一大步,我行远离曲线。
我们想更进一步。因此,接近的方法是我们必须考虑弯曲。曲线在弯曲。什么导数告诉我们弯曲?
也就是δt平方乘以二阶导数。一半。原来那里有一个半小时的演出。这是一个术语,它把切线变成了一条切线抛物线。它注意到该点的弯曲。在这一点上的二阶导数。
因此,它向上弯曲。它不遵循它完美,而是因为well--比其他的要好得多。因此,这是该行。这里是抛物线。这里是功能。真正的一个。
好的。我不会检讨理论有它翻出那一半,但你可以检查一下。现在最后,如果我们想要做得更好?好了,我们需要考虑到三阶导数,然后四阶导数等,如果我们得到了所有这些衍生品的话,所有的人这意味着,我们将在功能,因为这是一个不错的功能,E到T.我们可以重新从知道它的高度,它的斜率,其弯曲和条款的其余所有该功能。
所以还有更多的,无限多的术语。一对二-,一对二,二分之一的好方法,是一对二的阶乘,二乘一。因为这是n的阶乘,乘以t到n,非常小,乘以函数的n次导数。继续前进。
这就是泰勒级数以泰勒命名的。刚开始有点吓人。这很可怕,因为它有无限项。这些项变得更有竞争性了,对于大多数函数,你真的不想计算n阶导数。
对于E到T,我不介意计算n阶导数,因为它仍e将T,但通常that's--这不是那么实用。- 很实用。切线抛物线,相当实用。高阶项,实用less--少得多。
但是这个公式很漂亮,因为你看到了它的模式,这就是数学的模式,这里你看到的是更高更高项的模式。它们都符合这个模式当你把所有项加起来,如果你有一个很好的函数,那么近似就完美了,你会得到相等。
这节课结束时,近似等于,前提是我们有一个好的函数。这些是数学中最好的函数指数当然是其中之一。这是微积分。这是微积分的一部分。谢谢你!
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