从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
对于线性方程,的解f =cos(ωt)是解的实部F = e我ωt.这个复解有大小G(获得)。
在今天的视频中,复数会出现,我来解释一下原因。所以我要解决这个问题。我们知道的微分方程,一阶的,有源项的线性方程,但是现在源项有余弦和正弦。而sin,你注意到,包含了这个虚数的根号- 1。所以我把这个叫做y的复数加上一个小c,因为结果会是一个复数而不是实数。上节课用cos解出来了,现在我们要用这个组合解出来,你可能想知道为什么。
原因是欧拉留下了一个奇妙的公式cos + i乘以一个角的sin等于这个角的指数,e的i t次方,它的好处是——我们之前看到的指数函数——当源项是指数项时解也是指数项。所以我要用同样的e ^ (I t)来求这个的解,它有一个因子Y,我们要找到它。把这个代入方程,我们就知道Y是多少了。
我把它代入。左边的导数,仍然是我们的复解。它仍然很复杂。我把这个代入方程。导数是i,当然,指数的导数会把这个数拉下来,不管它是什么。i y e的it次方,这就是我们对它求导得到的,现在它应该等于a乘以原函数加上源函数e的it次方,就像我们之前对实数e的st次方做的一样,现在它是s = i。美妙之处在于我们把所有式子都除以e的i t次方,然后我们得到一个简单的方程。I,把a放到另一边,乘以y等于多少?很好。我们现在知道y等于1 / i - a,它涉及到源项中的频率,它涉及到0阶项中的增长速率常数。 Good.
这就是Y的表达式,如果我把它代入这里,我就得到了复解,但是我的想法是用这个复解来求两个实数解这就是为什么我——这个视频是关于——用这个复源项来求这个和sin t的解诀窍是——方法是——这是我的复解。金宝搏官方网站取复解的实部。这将是结果。匹配余弦函数。这是这个表达式的实部,我现在知道了,这个表达式的虚部会给出sin,输出,sin项的响应。
解决一个问题的方法,但是我必须采取一个步骤。怎么求这个表达式的实部呢?如果复数写成a + ib,实部很简单,实部是a,虚部是b,但我没有正边ib,我有这种形式,某种程度上,这是一种更好的形式。现在我要考虑,y本身的分母上有这个东西。我可以练习一下I - a这个数吗?这真的是一个很尴尬的量,我必须把它变成一个好的形式,当你要把复数乘起来的时候,你想要的形式是极坐标形式。
我想把它写成re ^ I的形式。一个正数,这个的大小,还有角度,我要画出复平面。我想这是这几节课第一次。这是实轴。这是虚轴,这是一个复数,i - a,所以在虚方向上,我向上,在实方向上,我减去a,这是我的数字。这是到i再回到- a,这是i - a,这是角,它的长度是r,所以我有这两个东西要找。这就是把这个数化成极坐标形式。这是它的矩形形式,实数和虚数。这是它的大小,现在它的大小是多少?一件容易的事。
|一个直角三角形的高是。这条边是- a,我用毕达哥拉斯公式知道r等于根号下a方加上平方。长度的平方,负号消失了。长度的平方,平方,这就是r。
那么e的i次方呢?角度是多少,e的i次方?我只能说我知道这个角是多少。我只能告诉你它的切线,但是让我把它作为。是角度。这个角的正切值就是这个数除以这个数。我就这样吧。这是很关键的一步,是复数的第一步,在后面的视频中,我们会专门讨论复数。这是你第一次看到它,或者你以前可能见过它。
现在我要除以这个。这就是我喜欢这种形式的原因。除以它,现在我可以写出复合体了。y复合体是y, y等于1 / (i - a) e的i t次方,这就是我们得到的,但是现在i - a的形式更好。我可以除以它。如果我除以它,它将是1 /√(a²+²)乘以e ^ I, e ^ (- I)当我除以一个指数,这个指数,指数,这个指数改变了符号,乘以e的I t次方,你们明白了吗?所以这个数包含了这两项,大小部分和角度部分,然后这部分是纯角。这是一个更好的形式的答案,这是一个更好的形式。我把这两个结合起来。 e to the i something times-- when I multiply two exponentials, I can put that as e to the i omega t minus alpha. You see that it has that factor e to the minus i alpha as well as the e to the i omega t.
现在我可以求实部和虚部了,这就得到了两个解,两个实方程的实解。金宝搏官方网站所以求实部,这就是为什么我要集中讨论实部是原始y (t) y的实部来自余弦。cos (t)是我在之前的课上讲过的cos和cos的组合。现在我们要看得更漂亮了。现在我要取它的实部。
这是个实数,1除以√(a²+²)e ^ i乘以一个角的实部是多少?e ^ i的实部是cos。实部是余弦。这就是用欧拉,一直用欧拉。所以它就是cos (t -)这正是我们在上节课中做了更多工作后得到的结果。这个大小,叫做增益。这是G部分。这是G,增益。输入的余弦函数的大小是1。 It's increased or decreased by this factor, and then the cosine is still here. And alpha, you remember, is the time lag. The input is a pure cosine, but the output is a shifted cosine, which is also a combination of cosine and sine.
你们已经用了复数——也许是第一次,也许不是——来得到答案的漂亮形式。当然,如果输入是sin (t)那么结果是一样的。这就是sin。所以增益和相位滞后是物理上很重要的量。很好。这是第一次用复数来求指数,之后解就简单了。我会有更多的源项,再多一些,然后我会寻找一个适用于任何源项的公式。谢谢你!
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