1.1：微分方程的概述GÿdF4y2Ba线性方程组包括GÿdF4y2BaDY / DTGÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaY，DY / dt的GÿdF4y2Ba= -GÿdF4y2BaY，DY / dt的GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2Ba2TYGÿdF4y2Ba。方程GÿdF4y2BaDY / DTGÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba*GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba是非线性的。GÿdF4y2Ba

1.2：微积分，您需要GÿdF4y2Ba求和法则、乘积法则和链式法则由的导数衍生出新的导数GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Ba，罪（GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba),GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^XGÿdF4y2Ba。微积分基本定理说，积分是导数的倒数。GÿdF4y2Ba

1.4b:指数输入的响应，exp(s*t)GÿdF4y2Ba指数输入,GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^STGÿdF4y2Ba，从外部和指数增长，GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{在GÿdF4y2Ba}，从内侧，将该溶液，Y（t）的，是两个指数的组合。GÿdF4y2Ba

1.4c:振荡输入的响应，cos(w*t)GÿdF4y2Ba振荡输入COS（ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba）产生具有相同频率ω（以及相移的振荡输出）。GÿdF4y2Ba

1.4D：解决方案对于任何输入，Q（t）的GÿdF4y2Ba要解一个线性一阶方程，将每个输入相乘GÿdF4y2BaQ（S）GÿdF4y2Ba通过它的生长因子和整合那些输出GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

1.4E：阶跃函数和Delta功能GÿdF4y2Ba甲单位阶跃函数跳转从0到1其斜率是一个δ函数：处处为零除​​了在跳的无穷。GÿdF4y2Ba

1.5：响应复指数，EXP（I * W * T）= COS（W * T）+ I * SIN（W * t）的GÿdF4y2Ba线性方程组，该溶液GÿdF4y2Baf =GÿdF4y2BaCOS（ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba）是溶液的实部GÿdF4y2Baf = eGÿdF4y2Ba^{iωtGÿdF4y2Ba}。这种复杂的解决方案具有幅度GÿdF4y2BaGGÿdF4y2Ba(获得)。GÿdF4y2Ba

1.6：对于恒定速率积分因子，一GÿdF4y2Ba积分系数GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{-在GÿdF4y2Ba}相乘的微分方程，Y” = AY + Q，得到衍生物的GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{-在GÿdF4y2Ba}Y：准备进行整合。GÿdF4y2Ba

16亿：积分因子用于以变化的速率，一个（t）的GÿdF4y2Ba变化的利率的积分提供了越来越多的解决方案指数（银行存款余额）。GÿdF4y2Ba

1.7：逻辑方程GÿdF4y2Ba当GÿdF4y2Ba——GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba减慢的生长，并且使方程的非线性，将溶液接近稳定状态GÿdF4y2BaY（GÿdF4y2Ba∞GÿdF4y2Ba)= a / b。GÿdF4y2Ba

1.7℃：稳定性和稳定的国家的不稳定GÿdF4y2Ba稳态解决方案可以稳定或不稳金宝搏官方网站定的 - 一个简单的测试决定。GÿdF4y2Ba

1.8：可分离方程式GÿdF4y2Ba可分离方程可以通过两个单独的集成，一个所要解决GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba和其他在GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba。最简单的是GÿdF4y2Bady / dt = yGÿdF4y2Ba,当GÿdF4y2BaDY / YGÿdF4y2Ba等于GÿdF4y2BaDTGÿdF4y2Ba。然后LN（GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba）=GÿdF4y2BaT + CGÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.1：二阶微分方程GÿdF4y2Ba对于没有阻尼和无强迫振动方程，所有解决方案共享相同的固有频率。金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba

2.1B：强迫简谐运动GÿdF4y2Ba与强迫GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba= COS（ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba），特定的解决方案是GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba* cos(ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba)。但是，如果强制频率等于固有频率有共鸣。GÿdF4y2Ba

2.3：非受迫性阻尼运动GÿdF4y2Ba随着微分方程常系数，基本的解决方案是指数金宝搏官方网站GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^STGÿdF4y2Ba。该指数GÿdF4y2Ba小号GÿdF4y2Ba解决了一个简单的公式如GÿdF4y2Ba如GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+ Bs + C = 0GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.3C：脉冲响应和阶跃响应GÿdF4y2Ba脉冲响应GÿdF4y2BaGGÿdF4y2Ba是当力是脉冲（δ函数）该溶液中。这也解决了一个空方程（没有力）以非零初始条件。GÿdF4y2Ba

2.4：指数响应 - 可能产生的共振GÿdF4y2Ba从内侧和外侧等于指数 - 共振时的固有振动频率的强制频率相匹配发生。GÿdF4y2Ba

2.4B：二阶微分方程的阻尼GÿdF4y2Ba阻尼被迫方程具有特定的溶液GÿdF4y2Baÿ= GGÿdF4y2BaCOS（ωGÿdF4y2Bat -GÿdF4y2Baα）。阻尼比提供了洞察空的解决方案。金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba

2.5：电网：电压和电流GÿdF4y2Ba电流围绕RLC环解决了与系数的线性方程GÿdF4y2Ba大号GÿdF4y2Ba(电感),GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba（电阻），和GÿdF4y2Ba1 / CGÿdF4y2Ba（GÿdF4y2BaCGÿdF4y2Ba=电容）。GÿdF4y2Ba

2.6：待定系数法GÿdF4y2Ba常系数和特殊的强迫项（权力GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba， cos /sin，指数函数，特解也有这种形式。GÿdF4y2Ba

26亿：待定系数方法的一个例子GÿdF4y2Ba这种方法也适用于力和解决方案金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba（在GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+ BT + c）电子GÿdF4y2Ba^STGÿdF4y2Ba代入方程求GÿdF4y2BaA，B，CGÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.6C：参数的变化GÿdF4y2Ba联合空的解决方案金宝搏官方网站GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba_1GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba_2GÿdF4y2Ba与系数GÿdF4y2BaCGÿdF4y2Ba_1GÿdF4y2Ba（t）的GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaCGÿdF4y2Ba_2GÿdF4y2Ba（t）的GÿdF4y2Ba找到任何一个特定的解决方案GÿdF4y2BaF（T）。GÿdF4y2Ba

2.7：拉普拉斯变换：一阶方程GÿdF4y2Ba变换的每个术语的线性微分方程在创建一个代数问题。然后，您可以转换代数解回ODE解决方案，GÿdF4y2BaY（t）的GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程GÿdF4y2Ba二阶导数变换为GÿdF4y2Ba小号GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba与代数问题涉及的传递函数GÿdF4y2Ba1 / (GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+烧烤+ C）。GÿdF4y2Ba

2.7C：拉普拉斯变换和卷积GÿdF4y2Ba当力是一种冲动δGÿdF4y2Ba（t）的GÿdF4y2Ba，脉冲响应是GÿdF4y2Ba克（t）的GÿdF4y2Ba。当力是GÿdF4y2BaF（T）GÿdF4y2Ba的响应是的“卷积”GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaG。GÿdF4y2Ba

3.1：解的照片金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba为方向场GÿdF4y2Bady / dt = f (t, y)GÿdF4y2Ba具有斜率的箭头GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba在每个点GÿdF4y2BaT，YGÿdF4y2Ba。箭头具有相同的斜率谎言沿平衡线。GÿdF4y2Ba

3.2：相平面图片：源库鞍GÿdF4y2Ba金宝搏官方网站解二阶微分方程可以接近无穷大或为零。鞍点包含了积极的，也是一个负指数或特征值。GÿdF4y2Ba

平面相图:螺旋和中心GÿdF4y2Ba纯振荡的虚指数在相平面上提供了一个“中心”。这一点GÿdF4y2Ba(y, dy / dt)GÿdF4y2Ba旅行永远围绕一个椭圆。GÿdF4y2Ba

3.2C：两个一阶微分方程：稳定性GÿdF4y2Ba第二阶方程给出了两个一阶方程GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaDY / DTGÿdF4y2Ba。矩阵成为伴侣矩阵。GÿdF4y2Ba

3.3：线性化在关键点GÿdF4y2Ba一个关键点是恒定的溶液GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba到差分方程GÿdF4y2Bay ' = f (y)GÿdF4y2Ba。附近,GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba，的符号GÿdF4y2BaDF / DYGÿdF4y2Ba决定稳定还是不稳定。GÿdF4y2Ba

3.3B：Y的线性化 '= F（Y，Z）和z'= G（Y，Z）GÿdF4y2Ba随着两个方程，一个关键点有GÿdF4y2BaF（Y，Z）GÿdF4y2Ba= 0和GÿdF4y2Bag (Y, Z)GÿdF4y2Ba= 0附近的那些常数解决方案中，两个线性化的方程使金宝搏官方网站用偏导数的2×2矩阵GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaGGÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

3.3C：本征值和稳定性：2乘2矩阵，AGÿdF4y2Ba两个方程GÿdF4y2BaY” = Ay的GÿdF4y2Ba是否稳定(解趋近于零)时金宝搏官方网站的轨迹GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba是负的，行列式是正的。GÿdF4y2Ba

3d: 3d的翻滚盒GÿdF4y2Ba空中的盒子可以绕着它最短和最长的轴旋转。绕着中轴，它剧烈地摇晃着。GÿdF4y2Ba

5.1：一个矩阵的列空间，AGÿdF4y2Ba一个GÿdF4y2Ba米GÿdF4y2Ba通过GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba矩阵GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba已GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba在每列GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^{米GÿdF4y2Ba}。获取这些列的所有组合Av就得到列空间——的一个子空间GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^{米GÿdF4y2Ba}。GÿdF4y2Ba

5.4：独立，基础和DimensionGÿdF4y2Ba矢量v 1到v d是一个子空间的基础，如果它们的组合跨越整个子空间和是独立的：没有基矢量是其他的组合。尺寸d =基本向量的数量。GÿdF4y2Ba

5.5：线性代数的大图GÿdF4y2Ba矩阵产生4子空间 - 列空间，行空间（相同尺寸），矢量的垂直于所有行（零空间）的空间，和载体的垂直于所有列的空间。GÿdF4y2Ba

图5.6:GÿdF4y2Ba有图有GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba节点连接GÿdF4y2Ba米GÿdF4y2Ba边缘（其它边缘可丢失）。这是互联网，大脑，管道系统，以及更多的有用模型。GÿdF4y2Ba

5.6b：图的关联矩阵GÿdF4y2Ba的关联矩阵GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba每条边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba它们由这条边连接。GÿdF4y2Ba

6.1：特征向量GÿdF4y2Ba特征向量GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba当由矩阵乘以留在相同的方向（GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaλGÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba)。一个GÿdF4y2BañGÿdF4y2BaXGÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba矩阵有GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba特征值。GÿdF4y2Ba

6.2:对角化矩阵GÿdF4y2Ba如果它有一个矩阵对角化GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵λ为特征值矩阵。GÿdF4y2Ba

6.2B：权力，A ^ n，以及矩阵的马氏GÿdF4y2Ba对角化GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaVGÿdF4y2BaΛGÿdF4y2BaVGÿdF4y2Ba^-1GÿdF4y2Ba也角化GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaVGÿdF4y2BaΛGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2BaVGÿdF4y2Ba^-1GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

6.3：求解线性系统GÿdF4y2BadGÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba/ DT = AGÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba包含解决方案金宝搏官方网站GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba= EGÿdF4y2Ba^{λTGÿdF4y2Ba}XGÿdF4y2Ba哪里GÿdF4y2BaλGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba是本征值/本征矢量为一对GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)GÿdF4y2Ba该溶液的最短形式使用矩阵指数GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba= EGÿdF4y2Ba^{在GÿdF4y2Ba}ÿGÿdF4y2Ba（0）GÿdF4y2Ba。矩阵GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{在GÿdF4y2Ba}具有本征值GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{λTGÿdF4y2Ba}和特征向量GÿdF4y2Ba一种。GÿdF4y2Ba

6.4b：类似的矩阵，A和B = M ^（ - 1）* A * MGÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2Ba乙GÿdF4y2Ba是“相似”，如果GÿdF4y2Ba乙GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2Ba中号GÿdF4y2Ba^-1GÿdF4y2Ba上午GÿdF4y2Ba对于一些矩阵GÿdF4y2Ba中号GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba乙GÿdF4y2Ba然后有相同的特征值GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

对称矩阵，实特征值，正交特征向量GÿdF4y2Ba对称矩阵都GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba垂直特征向量和GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba实特征值。GÿdF4y2Ba

6.5b：二阶系统，Y '' + SY = 0GÿdF4y2Ba振荡式GÿdF4y2BadGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaY / DTGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+ SY =GÿdF4y2Ba0有GÿdF4y2Ba2NGÿdF4y2Ba金宝搏官方网站解决方案（正弦和余弦）。金宝搏官方网站解决方案使用的特征向量GÿdF4y2BaS.GÿdF4y2Ba

7.2：正定矩阵，S = A'* AGÿdF4y2Ba正定矩阵S具有正的特征值、正的轴、正的行列式和正的能量vGÿdF4y2Ba^ŤGÿdF4y2BaSV为每个矢量v。S =甲GÿdF4y2Ba^ŤGÿdF4y2BaA总是正定的，当一个有独立列。GÿdF4y2Ba

7.2b：奇异值分解，SVDGÿdF4y2BaSVD分解每个矩阵GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba成正交矩阵GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba倍的对角矩阵Σ（奇异值）倍的另一个正交矩阵VGÿdF4y2Ba^ŤGÿdF4y2Ba：旋转时间拉长倍旋转。GÿdF4y2Ba

7.3：边界条件替换初始条件GÿdF4y2Ba二阶方程可以改变初始条件GÿdF4y2BaY（0）GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaDY / DT（0）GÿdF4y2Ba到边界条件GÿdF4y2BaY（0）GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaY（1）GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

7.4：拉普拉斯方程GÿdF4y2Ba偏微分方程∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaU /GÿdF4y2Ba∂GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+GÿdF4y2Ba∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaU /GÿdF4y2Ba∂GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba= 0GÿdF4y2Ba描述了一种圆形或方形或任何平面区域内部的温度分布。GÿdF4y2Ba

8.1：傅立叶级数GÿdF4y2Ba傅立叶级数分开的周期函数GÿdF4y2BaF（X）GÿdF4y2Ba成所有基函数COS的组合（无限）（GÿdF4y2Banx)GÿdF4y2Ba和sin（GÿdF4y2Banx)GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

8.1b：傅立叶级数的例子GÿdF4y2Ba即使功能只使用余弦（GÿdF4y2BaF (- x) = F (x)GÿdF4y2Ba）和奇函数只使用正弦。系数GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba_ñGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BabGÿdF4y2Ba_ñGÿdF4y2Ba来自的积分GÿdF4y2BaF（X）GÿdF4y2Bacos (GÿdF4y2BaNXGÿdF4y2Ba),GÿdF4y2BaF（X）GÿdF4y2Ba罪（GÿdF4y2BaNXGÿdF4y2Ba)。GÿdF4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解GÿdF4y2Ba里面转了一圈，该解决方案GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba（GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Baθ)结合GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Bacos (GÿdF4y2BañGÿdF4y2Baθ）和GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Ba罪（GÿdF4y2BañGÿdF4y2Baθ）。边界解决方案将所有条目的傅里叶级数相匹配的边界条件。GÿdF4y2Ba

8.3：热传导方程GÿdF4y2Ba热方程∂GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba=∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba从温度分布开始GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba在GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba= 0和跟随它用于GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba> 0，因为它很快变得平滑。GÿdF4y2Ba

8.4：波动方程GÿdF4y2Ba波动方程∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba=∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba显示了波是如何移动的GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba轴，从波形开始GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba（0）和它的速度∂GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba（0）。GÿdF4y2Ba