从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
当力是脉冲δ时(t),脉冲响应为g (t).当力是f (t),响应为的“卷积”f而且g。
好的。这是关于拉普拉斯变换的又一件事,同时引入一个新词,卷积。所以我们要用一种新的方式,用新的语言,找到旧的公式。但公式是熟悉的。这个问题是我们的基本问题,二阶的,线性的,带强迫项的常系数问题。
我们知道拉普拉斯。我取零边界条件。所以拉普拉斯变换就是s²y, sy,这就是方程的变换。没有问题。
好的,现在我要除以它。我把它移动为1除以,我称它为G, G等于1除以s方,加上b加c,这就是传递函数。然后这是强迫项的变换。
好的。在除法之后,我们得到了y (s)的一个很好的公式。它是一种产物。解的变换就是这个变换乘以这个变换。这是脉冲响应的变换。这是右边的变换。现在我有一个拉普拉斯变换的问题。
假设变换是一个关于s的函数乘以另一个关于s的函数,反变换是什么?逆变换是什么?什么函数y (t)得到G乘以F?我马上就来回答这个问题。答案是g和f,它们能给出答案。但我不只是把它们相乘。给出正确答案的新运算叫做卷积。我用一个星号。
现在我要讲的是卷积是什么意思。这是一个普遍的问题。如果我有两个函数相乘,然后我想要它的反变换,然后我取单独的反变换,小g和小f,然后我对它们进行卷积,我做卷积。我来告诉你们什么是卷积。
卷积是,这是卷积的公式。它是一个函数从0到t的积分——也许我用大写t更好——乘以另一个函数,积分。这就是卷积。
我得到了什么?还是老公式。我们一开始描述的公式是输入f,剩余时间的增长因子g,通过积分把它们放在一起。把所有的投入都和它们的生长因子放在一起。把它们整合在一起。这是y,这是一个熟悉的公式,只是有一个新词。但是你可以看到,一旦我知道了卷积公式,我就可以直接得到答案,我知道这个函数的变换是——我再说一遍。它的变换是GF。
如果我把变换相乘,就是对函数进行卷积。从另一个角度来看,如果我把函数相乘,我会对它们的变换进行卷积。卷积增加了我们可以在拉普拉斯变换中处理的函数的数量。因为它告诉我们如何处理产物,大写的G f,或者说它告诉我们如何处理G f下载188bet金宝搏。
我快讲完了,因为我不打算检查。我可以。但这不是正确的地方。这本书写得很准确。我不打算检验这个表述是否正确那个的变换就是那个。但这是事实。但是我打算举个例子。
第二阶段有点混乱。我来举一个一级的例子。举个例子,方程是dy / dt - ay。这是我们常用的一阶微分方程。把e ^ (ct)写到右边。好的。我这样做,是因为我可以进行变换,检查所有的东西。
让我从0开始变换它们。所以它的变换是s y (s) - y (s)等于,我知道f (s)的变换,我知道它的变换是1 / (s - c)所以这就是,s - a被提出来了。y (s)等于1 / (s - a)和(s - c)
再说一次,这是最简单的微分方程有一个强制项,我可以用它作为例子。现在我要求的是y (t)我要求的是y (t)现在我要用卷积的语言。
这是e ^ at的变换。这是一个变换,我把它看成e ^ at的变换,和e ^ st的变换,这是一个因子。还有另一个因素。
根据卷积公式,我可以写出逆变换,把y (t)写成积分。我只是复制这个卷积。但是我知道它的函数。这是从0到t的积分,得到什么?g (t - t) 1 / (s - a)的逆变换是什么?它是e ^ (at - t) 1 / (s - c)的逆变换是什么?e的cT次幂dT。
所以我用了,我只是把我知道的放进了卷积公式里。这应该是正确答案。我可以做这个积分。得到什么呢?我很确定我得到e的。下面会有一个。我要把这些指数结合起来。得到c - a,结果很完美。
E ^ (ct) - E ^ (at)这是正确答案。这不仅仅是卷积公式告诉我们的,这是我知道的。这个例子很好地说明了,我没有用部分分式。通常我会把它分成部分分式,然后我就能认出这两部分的答案了。
这次我没有那么做。我没有用部分分式,用代数,而是用卷积公式,做了积分或者差不多做了。我们可以做到。我们就得到了答案。
好的。这集视频的重点是简单地介绍卷积的概念,卷积是我们需要的量,我们需要的函数,当这个变换是两个变换的乘积时。好的。谢谢你!
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