从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
在一个圆圈内,解决方案你(R.θ)结合R.Ncos (Nθ)和R.N罪(Nθ)。边界解决方案结合了傅立叶系列中的所有条目以匹配边界条件。
好的。所以这是使用傅里叶系列。所以我不得不选择一个等式,我们被提供了一个函数,而不仅仅是几个初始值。所以我使等式是局部微分方程。最着名的,拉普拉斯的等式。
这就是建立过程。你会看到傅里叶级数是如何加入的。我们在兜圈子。我要把它变成一个很好的模型问题。
在这个圆内,我们在解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是u在x方向上的二阶导数,加上u在y方向上的二阶导数,等于0。这就是当你不去管它时,热量和温度的分布方式。
在这个问题中,我将在这一点放一个热源。这是一个点源。δ函数。在边界的其余部分,温度是0。所以边界函数是在这一点有一个尖峰的函数,在其他地方为0。
我们的问题是解决圆圈内的拉普拉斯的等式。我们使用极性坐标,因为我们有一个圆圈。所以有x和y的等式,但我们真的在思考r和theta。原因是,您可以使用R和THAT获得这种等式的美好解决方案。金宝搏官方网站
这是一系列的解。金宝搏官方网站R的n次方cos n是成立的。r ^ n sin n也是。这是对于每个n。
我们可以合并。我们有一个线性方程。我们可以取解的组合系数an在余弦中,bn在正弦中。金宝搏官方网站
现在这是关键步骤。放入R等1.放入等于1.然后该解决方案,U在1和Theta - R等于1--是边界。这是圆圈。
这就是我们给出了1个是Delta函数的地方。点来源。delta函数。θ的三角洲。Theta的点源等于0。
所以你看看我们的工作。该功能,那个边界条件,应该告诉我们A的A和B的。然后我们有我们的解决方案。
把r = 1代入这个公式,我们就能得到函数。让r等于1。容易做的事。它等于a (n, 1) ^ n cos n,加上bn (1) ^ n sin n,的和,应该与函数相匹配。
这就是函数的傅里叶级数。这才是重点。我们用傅里叶级数表示边界函数,不管这个边界函数是什么。这是一个非常漂亮的例子。
实际上,Delta函数是偶数函数。它在θ0是0,而且在0岁的时候是0。所以改变Theta减去θ仍然让我飙升为0.因为它是偶然的函数,我不会看到任何迹象。我不会看到任何奇怪的函数。正弦θ。
我很容易就能找到n的余弦系数。实际上,我们是直接从an的公式算出来的。让我记住这个公式。公式是a0 = 1 / 2乘以平均值。
A0是温度的平均值。边界上的温度是。它的积分是1,结果是1 / 2。这是平均温度。
这是不是有点奇怪?除了某一点温度为0。在这一点它是一个系数为1的函数。然后我们得到1 / 2是平均值。
另一个n,余弦的系数,是1 /,乘以函数的积分,乘以cos n d。而函数,即点源,在= 0处得到这个值。这个数是1。得到1 /。最后我知道了a和b。
当我把它们放进去,就得到了解。解,现在我可以把r画回去,它是一个和。我们取a0项。a0等于1 / 2,这是常数,这是平均值,加上1 / (cos n)的和,从n = 1到∞。
和第n岁。对不起。r到第n岁。
所以你看看会发生什么。当R是1时,我们有傅立叶函数的傅立叶函数。这是在边界上给出的非常卓越的函数。
一旦r小于1,这些r的n次方就变小了,我们有一个级数它加起来是一个合理的和。我们可以把这个级数加起来。这个级数是可以加起来的。它是一个几何级数如果你把余弦变换成指数。这通常是得到好的公式的好方法。
这里,你可以把它加起来。我想这里还有1 / 2。我认为它等于(1 - r²)/ (1 + r²)- 2rcos。
让我确信我有权利。是的,看起来不错。看起来不错。
我们可以看看它是否合适。取= 0。如果让= 0。我再画一个圆。θ等于0。我们从那条射线上出来。当r = 1时,我们期望看到无穷大。
所以θ等于0.所以让我只是把它放在那里。在光线上,θ等于0。
这是你应该做的。我们有一个关于所有r和的公式,但是让我们看一些特定的点来看看发生了什么。
所以在这条射线上,是0,有1 / 2 (1 - r²)/ (1 + r²)- 2r。因为cos等于1。1 + r方- 2r等于1 - r方。对吧?因为cos在这条射线上是1。θ= 0。Cos等于1。
现在把1 - r提出来。我想我们得到1 + r,下面还有1 - r。我很喜欢这样。对于偏微分方程,你不会经常,得到解的一些很好的表达式。这就是解。
当r趋于1时,这个解爆炸了。正确的。边界上的温度是无穷大的,但内部的温度是合理的。
在r = 0处,有1 / 2。嗯,当然。这是平均值。在中心,温度是边界上的平均值。
这是拉普拉斯方程的自然关键财产。它平均了一切。实际上,如果我在任何地方服用一点点圈子,那个圆圈中心的那些温度将是小圆圈周围的温度的平均值。所有圈子。这只是拉普拉斯的等式。解决Laplace的等式平均一切。
结果是当我进来的时候温度函数变得平缓了。在这一边界上,情况远非一帆风顺。在= 0时有很大的震动。但是如果我看这个圆,或者这个圆,或者这个圆,温度是一个很平滑的函数。
它永远不会超过边界的最大值。它永远不会低于边界的最小值。一切都是平均的。
这就是傅里叶级数的一种应用。对于一个特定的函数。我可以做另一个函数,但我不想做。
我可以采取圆顶顶部的1个功能,并且在圆的下半部分在圆圈上减去1。好的,这是一个跳跃的函数,但不是Δ函数。所以我们会看到一个傅里叶系列会给我们一个A和B的。在这种情况下,可能只会有B。正弦。正弦术语。我们会得到一个答案。
在谈到平均数的时候,我想补充一点。通常,对于一个复杂的区域,我们不能用公式来解拉普拉斯方程。这是不可能的。我们找不到符合某个疯狂边界的正弦和余弦。
我们要替换拉普拉斯方程。我再写一次拉普拉斯方程。它进入u,我们有一个区域。我们用网格把它雕刻出来。
然后在网格上的每个点处,我们的等式将U的值连接到该点。在中心说U0。与U东,也许,U Sewer,North和U South。
我们有一个方程,我想把它写下来。U中心点就是平均值。它等于1/4,东u,西u,北u,南u。
这个等式成立。未知数就是所有这些u。所有网格点的u。每个网格点都有一个方程。
因此,我的网格点与网格点的相同数量相同的等式。我解决了这个大系统,这给了我一个解决方案。Laplace等式的近似解。因此,这将被称为Laplace的差异方程或拉普拉斯的五点计划,因为它使用了平均水平的五个点。
好的。这是数值分析中的一个重要问题。谢谢你!
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