来自系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
傅立叶系列分隔定期函数f(x)进入所有基本函数的组合(无限)COS(NX)和罪恶(NX)。
好的,我要解释傅立叶系列,我不能在10分钟内完成。它需要两个,也许三个,会议看到足够的例子真正使用这个想法。让我从我们寻找的东西开始。我们有一个功能。我们希望将其作为余弦和田间的组合。那些基础职能 - 余弦和正弦。
和一个n和b n是我们要寻找的系数。这告诉我们余弦NX是X的大功能f。请注意,余弦从n等于0开始,因为余弦为0是1.所以我们的总和中有一个A0。但是没有B0,因为n等于正弦的零是零的,我们没有任何东西。
所以我们正在寻找一个n和b n。而且,真的,我想同时向您展示与系数CN的复杂形式。现在n从减去无穷大到无穷大。这真是更美丽的形式,因为CN的一个公式就是这项工作,而这里我将需要一个单独的公式,用于n和bn。
好的。所以当这个功能是真实的,而是最终,对于离散的傅里叶变换,以及用于快速傅里叶变换,复杂的情况将获胜。当然,每个人都认为E到inx,通过欧拉的良好公式,是余弦NX和正弦NX的组合。所以,我可以使用这些,或者我可以使用余弦和正弦。
好的。那么,你如何找到这些数字?关键是正交性。因此,这是傅立叶系列中的第一个中央观点,是正交性的想法。这是什么意思?这意味着垂直。对于矢量,以及第二个向量,我们了解垂直手段的想法。它们之间的90度角。我们通过DOT产品或内部产品检查,无论您喜欢哪个名称 - 两个向量之间应该是0。
好的。但是在这里我们有函数 - 像余弦功能一样。所以这是一个余弦,这是一个不同的余弦。所以这些是两种不同的基本函数 - 例如,余弦为7倍和12 x的余弦。系数A7和A12会告诉我们余弦7x的功能。
您看,我们将功能与频率分开。我们正在调查纯粹的振荡,纯粹的谐波。我们预计,可能是,这是较低的谐波,较低的次谐波,Cos X,COS 2x,COS 3X具有大部分能量。和高谐波,余弦12x,余弦100x,可能是那些迅速交替,那些包含噪声和高频率。功能的快速变化将显示在高频中。
好的。那么这个整体的答案是什么是余弦的7x次余弦的12x dx,在范围内减去pi到pi?正交存在,答案是0.这是一个至关重要的事实。这就是可以分开A7和A12并获得它们的东西。让我告诉你如何做到这一点。
所以我将使用这个事实,这是90度角的函数版本。所以,你看,它有点像一个小点产品。好吧,让我记住,如果我有载体C1 C2和向量D1 D2,则点缀产品是C1 D1 Plus C2 D2等于0的东西。这将是点产品,如果载体正交,则为0。这里,而不是添加,我是集成的,因为我有函数。所以这只是点产品的含义 - 另一个函数的一个函数次的积分给出0。
好的。我现在用它。好的,我将如何使用它?我会看看我想要的东西。这是我的目标。我将通过余弦KX乘以这个方程的两侧。然后我将整合。而美丽是,当我乘以余弦Kx时,我集成了,除了我想要的东西,一切都会变为零。顺便说一下,所有的阳粒时间余弦kx集成到0.所有凸序都与所有余弦正交。所有余弦都将与所有其他余弦正交。 So let me show you what I get.
所以我乘以余弦Kx的X的f,我从减去pi到pi。好?Now, on the right-hand side, this is my integral from minus pi to pi, of my big sum of all these terms, 0 to infinity, a n cos nx, etcetera-- including the sines but I'm not even put them in because they're going to get killed by this integration-- times cosine kx dx. All I did was take the f of x equal that formula, multiplied both sides by cosine kx, and integrated.
而且,现在正交性偿还,因为当我集成时,这次为0,给出0,但有一个例外。当n等于k时,我确实得到了积分。我得到的唯一术语是AK,余弦KX,两次DX。只有k等于这个过程。然后那个整体的余弦方形恰好是pi,所以这只是ak时代pi。看,我发现了AK是什么。我发现了K傅里叶余弦系数。我只是划分pi。
所以我可以通过pi划分pi来获得这个公式吗?ak是pi的1。从MINUS PI到MY功能的积分,倍余弦KX DX。那是公式。这告诉我系数。而且我只能用正交性来淘汰所有但一个术语。现在,如果我想要正弦系数,BK,它将是相同的公式,除了将是正弦的。
如果我想要复杂的系数,CK,它就结果是相同的公式预期 - 那么它可能是2 PI,1超过2 PI--这将成为ekx的e。在一个复杂的情况下,复杂的缀合物E到负IKx显示出来。因此,这是一个真正的点产品,内部产品,功能与余弦功能。
好的。所以让我做一些例子。也许我应该写下我刚才提到的正弦公式。所以BK是PI的积分1,这是我的功能的积分,倍的kx dx。还有一个例外。A0有一点不同的公式,PI变为2 pi。对此感到抱歉。当K是0或它是1的整体,从减去pi到pi,我得到2 pi。所以,A0是1超过2 pi-- x为零余弦x次的f的积分 - 这是1 dx。这有一个简单的含义。 That's the average of f of x.
好的。因此,当K为零时,基本函数仅为1。当k为0时,我的余弦的功能只是一个,我得到了函数时的积分1除以2 pi。
我们可以做一个例子吗?所以我想采取功能。在这个视频中,为什么我不容易,但非常重要的功能 - Delta函数。所以我计划在Delta函数上使用这些公式。
让我绘制Delta函数的一点图片。我只是在减号和pi之间,并且众多函数,正如我们所知道的,它是0,它是无限的,在斯派克,再次。我想绘制的原因是,这是一个偶数函数。这是X和减号x之间对称的函数。
在这种情况下,不会有阳叶。正弦函数是奇数。奇数函数的减号到pi的积分给出了0.奇数意味着当你跨越x等于0时,你会收到x大于0的结果。所以我的观点是,这是一个偶数函数 - x的偶数函数 - delta x与减去x的三角洲和余弦相同。好的。正如当然,正弦系数会自动丢弃我们的0所以积分将显示它。但是,即使在我们整合之前,我们也会看到它。
好的,我已经为Delta函数做好了准备。所以我要写三角洲的X,我们记得Delta函数是什么 - 余弦的组合。好的。这是减去pi和pi之间的delta函数。好的。你的A N的配方是什么?嗯,您记得我们有一个特殊的A0公式,它是一个单一的一个单数,从减去pi到pi,我们的功能,这是δ,乘以基函数,哪个n等于0,基本函数是1 dx。
好的,我们知道这个问题。我们可以集成Delta函数。关于Delta函数的积分的一个关键一点是,它总是1 - 如果我们十字架x等于0,我们将会。所以整体是1所以我得到了1/2 pi。
一个系数呢?这是1 / pi,现在。来自所有函数余弦kxdx的所有函数次的PI的积分。你知道我在做什么。我正在使用我的公式来找到系数。我的配方说,采取函数,无论它是什么 - 在这个例子中,它是凌光函数 - 繁殖的余弦,集成,并划分因子pi。
好的。好吧,当然,我们可以做到这一点。因为当你集成了一个Δ函数时,倍数是一些函数,所有动作都是x等于0.在x等于0时,这个功能是1.我不在乎别的地方,这只是1.所以与集成x时分1的积分相同,这给我们 - 嗯,Δ函数1.使得整数是一个,所以我得到1 / pi。好的。
好的。所以现在,你想让我为Delta函数写出这个系列吗?它看起来很不寻常。这告诉我们一些非常出色的东西。这告诉我们所有这些系数都是一样的。所有频率,所有谐波,都以相等的数量在Delta函数中。通常,我们会看到一个大的掉落的系数AK,但对于达达函数,这是如此单数,所有大尖峰一点,没有下降,没有衰变在系数中,它们只是恒定。
好的。所以我说的是Delta函数是恒定的术语,1 / 2pi,然后是x的1 / pi倍余弦,以及2x的余弦,等等。好的。所有频率都有相同的。我将在这里停止那个例子。因此,关键点是正交性的,所以系数的公式,以及这个例子。谢谢你。
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