从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
线性方程包括dy / dt=y, dy / dt= -y, dy / dt=2泰.这个方程dy / dt=y*y是非线性的。
好的。第一个视频的目的是告诉你们接下来要学什么,给出一个关于常微分方程的合理学习大纲。这个系列的很大一部分是关于一阶方程和二阶方程的视频。这些是你在应用程序中看到最多的。这些问题是你能理解和解决的,如果你幸运的话。
一阶方程意味着一阶导数进入方程。这是一个很好的方程,我们将要解决,我们会花很多时间。导数是-,这是y的变化率-,未知y的变化-,随着时间的推移,部分取决于解本身。这是微分方程的思想,t它将更改与函数y按原样连接起来。
然后你有一个称为q of t的输入,它产生自己的变化。它们进入系统。它们成为y的一部分。它们增长,衰变,振荡,不管y of t做什么。这是一个线性方程,右边有一个输入,一个强迫项。
这是一个非线性方程。y的导数。斜率取决于y。所以这是一个微分方程。但是y的f可以是y的平方除以y的立方或y的正弦或y的指数。所以它可能不是线性的。线性意味着我们可以看到y本身。这里我们不会。好吧,我们将非常接近得到一个解,因为它是第一个t阶方程。最一般的一阶方程,函数依赖于t和y。输入会随时间变化。这里,输入只依赖于y的当前值。
我可以把y想象成银行里的钱,不断增长,衰减,振荡。或者我可以把y看成弹簧上的距离。大量的申请接踵而至。
好的。这些是一阶方程。二阶有二阶导数。二阶导数是加速度。它告诉你曲线的弯曲程度。
如果我有一个图像,已知的一阶导数给出了图像的斜率。它在上升吗?它会下降吗?它是最大值吗?
二阶导数告诉我们图像的弯曲程度。它是如何偏离直线的。这就是加速度。所以牛顿定律——我们都熟悉的物理学——加速度是某种力。有一个力,与y线性相关,关键字是y的一次方。
这是一个更一般的方程。在牛顿定律中,加速度乘以质量。这包括一个物理常数,质量。
然后可能会有一些阻尼。如果我有运动,可能会有摩擦力使它减速。这取决于一阶导数,速度。
然后也可以有与y有关的强迫项。可能有外力,有人或机器在创造运动。外部强迫项。
这是一个很大的方程。我想说,在这一点上,我们让它是非线性的。我们有很大的机会。如果这些是非线性的,二阶概率就会下降。越深入,就越需要线性甚至常系数。m, b, k,所以这是我们真正能解决的问题当我们擅长它是一个线性方程,假设是二阶,常系数。但这已经很大程度上推动了我们能够明确地理解它的解,因为它是常系数线性。再说一遍。这是很好的方程。
我从两个方面来考虑解决方案。如金宝搏官方网站果我有一个非常好的函数,比如指数。指数是微分方程的伟大函数,这一系列的伟大函数。你会一遍又一遍地看到它们。指数。比如t的f等于-,e等于t,或者e等于ωt,或者e等于ωt。I是-1的平方根。
在这些情况下,我们会得到一个相似的解函数。那些是最好的。我们得到一个像指数一样的函数。我们得到已知的解。金宝搏官方网站
第二个最好的方法是我们得到一些我们并不特别知道的函数。在这种情况下,解可能涉及到一个f积分,或者两个f积分。我们有一个公式。这个公式包括一个我们必须做的积分,要么查找它,要么用数值计算。
然后当我们得到完全非线性的函数,或者我们有变系数的函数时,我们就用数值方法。所以,这门课最广泛的部分是以数值解结束的。金宝搏官方网站但是你们会有很多视频里面有很好的函数和解。金宝搏官方网站
好的。这是一阶和二阶反应。现在有更多,因为一个系统通常不只是由一个电阻或一个弹簧组成。实际上,我们有很多方程。我们需要解决这些问题。
现在y是一个向量。y1,y2,到yn。n个不同的未知数。n个不同的方程。这是n个方程。这是一个n乘n的矩阵。所以它是一阶常数系数。所以我们可以得到一些结果。但它是一个n个耦合方程组。
这个二阶导数也是。解的二阶导数。还是y1到yn。我们有一个矩阵,通常是一个对称矩阵,我们希望,乘以y。
所以,线性的。常系数。但同时有几个方程。这就引入了特征值和特征向量的概念。特征值和特征向量是线性代数的关键使得这些问题变得简单,因为它把这个耦合问题变成了n个不耦合的问题。N个我们可以单独解的一阶方程。或者n个二阶方程,我们可以单独解。矩阵的目标就是解耦它们。
好的。这门学科的一个重要现实是,解决方案是通过数值计算得到的,而且非常有效。关于这一点,有很多东西需要学习。而MATLA金宝搏官方网站B是一个一流的软件包,它为您提供了许多选项的数值解。
其中一个选项可能是最受欢迎的。常微分方程的ODE。这就是4,5题。写了MATLAB软件包的Cleve Moler,将会制作一系列的平行视频来解释数值解的步骤。
这些步骤从一个非常简单的方法开始。也许我该把创作者的名字写下来。欧拉。你可以知道,因为欧拉是几百年前,他没有电脑。但他有一个简单的近似方法。欧拉可能是ODE 1。现在我们把欧拉抛在脑后了。欧拉很好,但不够精确。
ODE 45中,4和5表明了更高的精度,更大的灵活性。从Euler开始,Cleve Moler将解释几个步骤,达到真正的工作包。
这是一个平行系列,你们会看到代码。这是一个粉笔和黑板系列,我会找到指数形式的解。如果可以,我想通过偏微分方程来总结这个系列。金宝搏官方网站
我在这里写一些偏微分方程,这样你们就知道它们的意思了。这也是我希望达到的目标。
一个偏微分方程是du / dt,偏导数是二阶导数。现在我有两个变量。时间,我一直都有。这是空间方向上的x。这叫做热方程。这是一个非常重要的常系数偏微分方程。
PDE,与ODE不同,我再写一个,u的二阶导数,在x方向上,是相同的右手边二阶导数,这就是波动方程。
这就像时间上的一阶方程。这就像一个大系统。事实上,它就像一个无限大的方程组。一阶时间。或者说二阶时间。热方程。波动方程。
我还想包括一个关于拉普拉斯方程的例子。好吧,如果我们到了那里。这些是本系列结尾的目标,超越了ODE中的一些课程。但这里的主要目标是给你一个我们可以解和理解的基本微分方程的标准清晰图像。
嗯,我希望一切顺利。谢谢。
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