从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
求和规则、乘积规则和链规则从函数的导数生成新的导数xN罪(x),Ex微积分的基本定理说积分和导数是相反的。
好吧,我们开始了。我认为值得考虑我们所知道的。微积分微分方程是微积分的一个重要应用,所以看看微积分的哪一部分,微积分中的哪些信息和思想,在微分方程中得到了实际应用,这是一件很有趣的事情。我将向你们展示我所看到的,并不是所有的东西,而是一些基本的想法,但不是你们学到的所有细节。所以我并不是说忘记所有这些,而是把注意力放在重要的事情上。
好啊所以你需要的微积分是我的主题。首先,你真的需要知道基本导数。x对n的导数,正弦和余弦的导数。最重要的是,e对x的导数,也就是e对x的导数。e对x的导数就是e对x的导数。这是一个奇妙的方程,由e到x求解。Dy等于y。
我们必须在这方面做得更多。与指数相关的反函数是对数。对1/x求导。好的。但你知道的。其次,从这些少数的具体事实中,你可以使用关键规则创建大量函数的导数。
f + g的导数是f的导数加上g的导数,导数是一个线性运算。乘法法则fg ' + gf '除法法则。谁还记得?
最重要的是,链式法则。这个函数链的导数,这个复合函数是f对g的导数乘以g对x的导数,这是,这是一系列的函数我们可以处理这些函数。
好的,然后是基本定理。基本定理包括导数和积分。它说一个是对另一个的逆运算。函数积分的导数是。
这是y,积分从0到x,我不关心哑变量是什么。我可以把哑变量改成t。我也不在乎来显示虚拟变量。
x是积分的极限。我不会讨论这个基本定理,但它确实是基本的,我会用到它。也许这是更好的。我马上就用基本定理。
所以,记住上面说的话。它说,如果你取一个函数,你对它积分,你取导数,你得到函数。好的,我可以把它应用到一个非常-,我认为这是微分方程中的一个关键例子。让我向你们展示我心目中的功能。我想到的函数,我叫它y,是从0到t的间隔。
这是t的函数,然后是时间,这是e到t减去s的积分。一些功能。这是一个解基本微分方程的非凡公式。
用这个解方程dy dt等于y加上t的q。所以当我看到这个方程,我们会再次看到它,我们会推导出这个公式,但现在我想用微积分的基本定理来检查这个公式。我们创建的-,当我们推导公式时-,它不会错,因为我们的推导是好的。但是also、 这会很好,我只是觉得如果你把它插进去,微分方程就解决了。
好的,我想取它的导数。那是我的工作。这就是为什么我在这里这么做,因为它使用了所有的规则。好的,取导数,我注意到t出现在通常的位置,它也在积分中。但这是一个简单的函数。
我可以把e带到t,我要把e带到t,在积分之外。从e到t。所以我有一个函数t乘以另一个函数t。
我将使用乘积法则,证明乘积的导数是,一个项是y,另一个项是q。我能把乘积法则应用到这个函数上吗,我从帽子里拿出来,但你会看到它。好的,它是这个次的乘积。所以导数dy dt是-,乘积法则说,取导数这是e到-。
加上,第一项乘以第二项的导数。现在用乘法法则。你要注意到e ^ t出现了两次因为它在这里,它的导数是一样的。它的导数是什么?微积分基本定理。
我们已经积分了,我想求它的导数,所以我得到了这个。得到e ^ (- tq (t))这是基本定理。你能接受吗?
让我们看看我们有什么。第一项就是y。正是上面所说的,因为当我取第一个的导数时,f没有改变它,所以我仍然有y。我有什么,我这里有什么?E到t乘以E到负t是一。
所以e到t抵消了e到负t,剩下的q就是我想要的。所以乘积法则中的两项是微分方程中的两项。我只是想,正如你们所看到的,基本定理是需要的,来找到那个盒子里的导数,就是那个圆括号里的导数。我只是喜欢使用基本定理。
好的,我们还需要一个微积分的话题。我们开始吧。所以它涉及到曲线的切线。这与图表相切。
这是一条直线,我们需要的是y/t加上δt。这是任何函数,也许你更希望我调用函数f。稍微超过t的点上的函数,近似于t处的函数加上修正,因为它加上δf,对吗?Aδf。
f的近似是多少?它近似于t乘以t点的导数,这条线上有很多符号,但它表达了微分学最基本的事实。如果我把f (t)放在这边,带负号,那么就得到f,如果我除以t,那么同样的规则,它近似等于df / dt。
这是微积分的基本思想,导数非常接近。在t点,t点的导数接近于f / t,它在很短的时间间隔内变化。这就是切线,因为它从常数项开始。它是t的函数,这就是斜率。
画一张图。我在这里画一张图。让我画一张图-,这是e到t的图。它从斜率1开始。让我在这里给它一个小斜率。
好的,切线,当然它在这里,而不是下面。所以切线就是那条线。
这是切线。这是f的近似值。你看,我这里是t等于0。这里是t等于δt。你看,如果我迈出一大步,我的线离曲线很远。
我们想更进一步。因此,接近的方法是我们必须考虑弯曲。曲线在弯曲。什么导数告诉我们弯曲?
也就是δt平方乘以二阶导数。一半。原来那里有一个半小时的演出。这是一个术语,它把切线变成了一条切线抛物线。它注意到该点的弯曲。在这一点上的二阶导数。
所以它向上弯曲。它并不完美地跟随它,但也比另一条好得多。这是直线。这是抛物线。这是函数。这是真实的。
好的,我不会回顾理论,它会引出一半,但你可以检查它。现在,最后,如果我们想做得更好呢?我们需要考虑三阶导数,然后是四阶导数等等,如果我们得到所有这些导数,那么所有这些都意味着,我们将在函数处,因为这是一个n冰函数,e到t。我们可以通过知道冰的高度,坡度,弯曲度和其他所有的项来重新建立这个函数。
所以还有更多的,无限多的术语。一对二-,一对二,二分之一的好方法,是一对二的阶乘,二乘一。因为这是n的阶乘,乘以t到n,非常小,乘以函数的n次导数。继续前进。
这就是泰勒级数以泰勒命名的。刚开始有点吓人。这很可怕,因为它有无限项。这些项变得更有竞争性了,对于大多数函数,你真的不想计算n阶导数。
对于e到t,我不介意计算第n个导数,因为它仍然是e到t,但通常情况下-,这不太实用-,非常实用。切线抛物线,非常实用。高阶项,更少-,更不实用。
但是这个公式很漂亮,因为你看到了它的模式,这就是数学的模式,这里你看到的是更高更高项的模式。它们都符合这个模式当你把所有项加起来,如果你有一个很好的函数,那么近似就完美了,你会得到相等。
这节课结束时,近似等于,前提是我们有一个好的函数。这些是数学中最好的函数指数当然是其中之一。这是微积分。这是微积分的一部分。谢谢你!
您还可以从以下列表中选择网站:
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家/地区网站未针对您所在地的访问进行优化。