从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
阻尼强迫方程有一个特解y = Gcos(ω.t -α)。阻尼比提供了对零解的洞察。金宝搏官方网站
我要回到第一个例子,但不是最简单的例子,一个二阶方程有振荡强迫项,cos t,我们必须知道这个问题的答案。这有点混乱,但方法并不混乱。方法很简单。
我们从求矩形开始。我称它为矩形。它把余弦的振幅和正弦的振幅分成两部分。如果我要找这个解,m和n是我要找的数,我该怎么做呢?
这是待定系数M和N的情况,确定它们的方法是把这个代入方程,匹配余弦项,找到M和N,找到M和N的方法,我们需要两个方程,两个量,M和N。
想象一下这个取代了。我会得到一些余弦。所以一边的余弦和另一边的余弦是相等的。从导数中,我得到一些sin它们应该是0因为右边没有sin t。
我有两个方程,分别对应正弦和余弦。我解出了这些。两个方程,两个未知数。我把答案写下来。
M涉及到C -的平方。M来自于余弦。我们从这一项和这一项得到余弦值。除以某个数D,我把它写下来。
N就是B除以同样的d,现在我把d写下来,这是C - A的平方的平方加上B的平方。这是从M和N的两个方程中得到的。
我只是解了这些方程。这个D是2 × 2的行列式如果我们考虑两个方程背后的线性代数。就是这样。所以现在的答案是用A C B和D表示的,D是A B C的混合物,这就是解。
我只是想给你们看一种不同形式的解。在这种情况下,是更好的形式。因为最重要的物理量是大小。y有多大?它的振幅是多少?
这是正弦曲线。我们记得每个正弦信号都可以写成极坐标形式。y (t)是G的振幅,增益,乘以cos (t)加上位移,滞后,角度。现在我有两个数。
这就是收获。这是相移。这是很吸引人的形式因为它只有一项。这两个数字,G和,放在一个单独的项里我们可以看到振荡的大小。
结果是什么?我就不详细讲了。我把G写下来。G等于,它是从这里来的,它等于1除以根号d, G等于根号M方加N方。
根号下(M方+ N方)如果我代入M方和N方,就得到D / D方。我得到了答案。这就是收获。
让我写下这个词,再次获得。因为你在那里得到它。在这里它又是。并且一如既往地,alpha的切线就是n over m,这只是b omega over c减去ωsquared。我喜欢那种极性形式。
我觉得我应该举个例子。在这个视频中我没有做任何代数运算。但你们知道代数是怎么来的。它来自于代入解的形式。当然,我们期望的形式是已知的形式,驱动频率,和N不同。
嗯,没有。我想即使是N也是对的,因为我们有阻尼项。这就是答案。
这样一个例子。为什么不举个例子呢?y ' ' + y ' + 2y = cos (t)这是个简单的例子。我让= 1。这是。然后A = 1 B = 1 C = 2。
我们可以评估一切。实际上,我认为M和N是1/2。顺便说一下,D是1的平方加上1的平方。等于2的平方根。对不起。D是2。1的平方加上1的平方。
那么我知道什么?我知道矩形表格吗?是的。矩形形式为1/2。余弦和正弦的1/2。1/2的余弦t加正弦t。这是矩形形式。
两个简单的东西,但我必须添加它们。在我的脑海里,我不一定看余弦如何增加正弦。但正弦身份,极地形式,给了我。那么极地形式是什么?
所以G,也就是增益,等于1除以根号2。在最高点,cos和sin是相同的。它们都是1除以根号2。我有两个。得到1 /√2 cos (t - / 4)是角度,相位滞后。
当我加入余弦和正弦时,我得到一个坐在4,45度的PI上的正弦曲线。那么这些是两种形式。所以在一个很好的例子中,我们肯定有一个很好的答案。我们当然做了。是的。
所以这就是,或多或少算出来了,原则上,算出来了,这就是我认为最重要的应用的解当强迫项是余弦时。所以它有振荡运动。它会产生相移。它给出了这些公式。
我唯一要补充的是,我需要对更好的表示法进行注释。我在这些公式中使用了,A, B, c,但它们的意义是质量,阻尼常数,弹簧常数。M B K。
这是它们的组合。我用这个更好的符号。或者我应该用工程符号来代替A B C,它们是质量,阻尼,弹簧常数。
用有意义的字母已经更好了。但很重要的一点是A B C M B K的两种组合特别好。一个是我们已经见过的固有频率,根号C / A。
K / m的平方根,这给了我们一个重要的A和c的组合,另一个是阻尼比。它叫做。阻尼比是B除以根号4ac。
哈!你会问,这是从哪里来的?或者我可以用这些字母,B除以根号4mk。阻尼比,可以说,是正确的无量纲量。这个比例的维数就是数字。
这两个量有相同的维度。我们可以看到,因为在二次公式中,你们还记得二次公式中有根号下b方- 4ac吗?如果你看到一个包含b ^ 2 - 4ac的公式,你就知道它们的单位是相同的。
否则,减法将是犯罪。因此,它们具有相同的比例和相同的单位,因此比率是无量纲的。让我写这个词。无维。
所以结论。我可以根据这些数量欧米茄N和Zeta重写答案。在这里我不会那样做。这可以等待另一个时间。
只是说,既然我们已经找到了cos t最重要应用的解,既然我们找到了解,适当地评论一下我们可以把答案写成n的形式,自然频率,和z,阻尼比。谢谢你!
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