从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
将线性微分方程中的每一项变换成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解,y(t)。
好的。这是拉普拉斯变换的开始。这将采用多个短视频。但我将把这个视频推向一阶方程,步骤很容易,很快。然后将是二阶方程。所以拉普拉斯改造现在开始。
所以让我告诉你什么 - 我使用小写的拉普拉斯变换的大写字母,是t的函数。变换是大写F,是s的功能。你会看到s进来的地方。或者如果它是我正在看的解决方案,它的变化是自然被称为首都y的。所以这就是我们想要的 - 我们想找到y,我们知道f。好的。
所以我可以做一个例子吗?好吧,首先告诉你拉普拉斯变换是什么。假设功能是t的f。这是变换。我将E乘以e to the minus st,我将0集成到无穷大。0到无穷大。很重要。函数未开始,直到t等于0,但它导致t等于无限远。
我积分,当我积分时,t消失了,但s还在。我有一个关于s的函数,我要举个例子。求拉普拉斯变换就是做积分。你不会惊讶于我们知道的好的函数是那些我们可以做积分和发现变换的函数,然后做一个漂亮的变换表。
我们知道的第一个函数是指数函数。对于这个函数,我要计算它的变换。那我该怎么做?我要从0到∞积分,你可能会说从0到∞很难,但这实际上是最好的函数,e ^ (at)这就是函数乘以e ^ (- st) dt。
好的。我可以做这个积分,因为它们合并成e ^ (a - st)我可以把它们合并成e ^ (a - st)积分得到e ^ (a - st)除以a - s,这就是积分。因为我这里的东西就是。对指数积分,只需要除以指数。我把t =∞和t = 0代入。所以t =∞,从0到∞。好的。
无穷是一个很好的例子。这很简单。我只考虑大于a的s s大于a意味着这个指数减小到0。它在t =∞时趋于0。所以在t =∞时,积分的上限是0。所以我只要减去下限。看看多漂亮。现在我让t = 0。这就变成了1。
它是一个下限,所以它带有负符号。所以它只是1结束,减号将翻转那个减去a。世界上最重要的拉普拉斯变换。请记住,该功能进入了。变换是s的函数。原始功能依赖于T和参数a。结果取决于s和参数a。
并且工程师会说,这里我们有指数。增长率是a。而在变革中 - 所以这是转换,记住。这是x的变换f。在变换中,我看到爆炸 - 一个杆,那个被称为杆子 - 在s等于a。1/0是杆子。
而且我并不感到惊讶。所以答案是在S等于的答案。嗯,当然。如果s等于a,则这是1从0到无穷大的整体,而且它是无限的。所以我并不感到惊讶地看到杆子出现了。爆炸在指数a上显示出来。但这是一个很好的变换。好的。
我需要做另一个 - 哦,没有。我可以解决方程。所以让我从等式dy开始,莫达等于0.哦,好吧,我可以把拉普拉斯变换为0,足够安全。y的拉普拉斯变换是首都Y.但是这是什么改造?哦,我必须为你做一个更改。
我希望导数Dy DT的变换连接到Y的变换。因此,这个家伙的变换是从0到无穷大的整体,无论它是什么,时间e到负的st dt。这是转换。所以这次拉普拉斯变换。
现在我能对这个积分做什么呢?这一步可以追溯到微积分的开始。但这很容易被忘记。当你看到积分里面有一个导数,你会想,我可以用分部积分。我可以对这一项积分然后对这一项求导。这就是分部积分的作用。它把导数从这移到这,这没有问题。
你们还记得当我这样做的时候有一个负号吗?从0到∞的积分,它的导数是y (t)它的导数是- se ^ (- st) dt。好。你们还记得分部积分法吗,还有另一项来自于y乘以e ^ (- st)这是ye ^ (- st)在0和∞处的值。好的。
我已经用分部积分了。这是非常有用的,强大的东西,而不仅仅是一个技巧。好的。现在,我能认出其中的一些吗?这是负的负的,没问题。我提出来,s是个常数。把它拿出来,s,现在,把s拿出来还剩下什么?我有∫ye ^ (- st) dt。这就是y的拉普拉斯变换,就是大写y。
在这里加上等号。我把0缩小一点,把它移开。好的。sY (s)所以这一项的形式很好。当你对一个函数求导时,你把它的拉普拉斯变换乘以s,这是规则。对函数求导,把拉普拉斯变换乘以s,如果有两个导数,就把s乘以两次。一件容易的事。
这就是拉普拉斯变换成立的原因。但是现在,这是最后一项。Y在无穷远处,e ^ (- st)在t =无穷远处,是0。算了吧。我只要减去y(0)乘以e ^ (- st)(0)等于1。E的0次方是1。你们看到初始条件进入了变换吗?这就像,很好。
我们有所的变换。现在,这一切都是转变。这是我们发现的Dy DT的转换。现在,为什么我想要那样?因为我计划在我的等式中采取每个术语的转换。
因此,就像使用拉普拉斯变换有两个步骤。一个是计算这样一个变换,以及这样的一些规则。那是准备步骤。这只是看着这些积分。
然后用它们,我将参加每个术语的拉普拉斯变换。所以我有一个等式。我每一学期都拿走拉普拉斯变换。我有另一个方程式。因此,这是SY的SY,这是本部分的拉普拉斯变换。
现在这个的拉普拉斯变换是- a常数Y (x) 0的拉普拉斯变换是0。你知道我们做了什么吗?我取了一个微分方程,得到了一个代数方程。这就是拉普拉斯变换的意义,把微分方程——导数变成乘法,代数。
所以所有术语都转变为那个。现在来了 - 所以这是一步一步的。改变每个学期。为每个S获得代数问题。我们已经从T,时间在差动方程中改变,在拉普拉斯变换中。
现在解决这个问题。怎么解呢?把y(0)放到右边。然后是Y (s)乘以(s - a)除以(s - a)得到Y (s)这很简单。这道代数题很容易解。微分方程就更严重了。
好的。这道代数题很容易。我们完成了吗?得到了答案,但是我们在s变量中,在s定义域中。我要回到。现在这是一个拉普拉斯逆变换。这就是逆变换。求出y (t)等于多少?
我怎么做逆变换?所以现在我有答案的转变,我想要答案。我必须颠倒那个转变并离开s并回到t。嗯,0的y是一个常数。拉普拉斯变换是线性的,没问题。所以有0的y。现在我有1个减去一个。
所以我问自己,函数是什么,它的变换是1的减去a?然后它是我想要放入那里的函数。什么是转换为1的函数,减去a?这是我们所做的那个。这是一个在这里。1在S中减去A来自函数E到AT。
所以1 / (s - a)当我变换回来,就是e ^ (at)我是金色的。你会发现,这是正确的答案,微分方程的正确解。初始值y(0)以指数e ^ (at)开始。没有问题。好的。
我可以做一个第一阶方程的一个例子吗?现在,我将把它放在一个f的f。我要参加一个源代码。所以我会做所有相同的东西,但我要有一个f的f。我应该接受什么 - 我会再次采取指数,e到CT。所以这是我的右侧。
我能重复中心思想吗?取微分方程,变换每一项。我从一个时间方程开始,然后得到一个s方程。那么dy / dt - ay,它变换成。它变换成什么?sY (s) - y (0)来自那里。- aY (0) - aY (s) - aY (s)
在右侧,我将e转换为ct。我们正在善于这种变革。1在s下c,而不是在c。好的。这是我们的等式转换。现在代数。我只是把它拉出来。我将如何从这个方程式拉出来?
好吧,我会把0移动到另一侧。我会划分的减去一个。看它。是的 - 好的。我有一个超过s减去c。我有一个我分开的一个减去了。s减去a。然后我的y y of s减去a。
我已经将微分方程转换为S方程。我刚刚完成了简单的代数来解决这个方程式。我有两个条款。两个术语。你看到这个词?这就是我以前所拥有的。这就是我在那里的东西。这是逆变换。没有问题。这是初始值的空解决方案。
来自E到CT的新术语,来自Force,这是这个。而且我必须做它的逆变换。我必须弄清楚哪种职能变换。你可以说,这是完全新的。但我们可以将它连接到我们所知道的。
好的。所以这将给我带来同样的逆变换,越来越多的指数。但是这是什么给了?这是一个关键问题。我们必须能够做到 - 颠倒,弄清楚哪种功能转变了?该功能将涉及A和C和T,时间。并且s,变量变量将成为t,时间段。
所以这是大问题。我该怎么办?并注意到,它有两极。它在S等于A等于爆发,它在S等于c。而且我必须弄清楚 - 嗯,实际上,祝你好运,我想将这两极分开。因为如果我分开两极,我知道如何用爆炸在等于a的爆炸和爆炸等c。
问题是,现在我同时有两个爆炸。我要把它们分开。这叫做部分分式。关于部分分式,我还要讲更多。现在,让我来做。这个表达式,我把这个拿走。因为它给出了我们知道的那一项。
这是这个。是那个。这是我想要将这两极分开的两个杆子。所以这是代数再次。部分分数只是代数。没有微积分。这里没有衍生品。我只是想把它写成1,因为s减去c。它结果 - 看起来。有办法记住答案。
S减去C次C减去A和1 over s减去a。而现在是一个减号。您是否看到在S等于C的一个杆?这只是一个数字。这在S等于a的一极。这只是一个数字。事实上,这些数字是相反的。
那么现在,我们是黄金吗?我可以用一个极点做逆变换。这就得到了解y,这是常数,1 / (c - a)这个的逆变换是什么?这是c点的简单极点,它来自于一个纯指数,e ^ ct。对吧?
现在这个,这个。好的。这里有一个- c,这是c - a的对边,所以如果我加上一个负号,我可以把它们都放在c - a上,看这个。看看这个。C - a在这两个式子中。这里有个加号。这个变换来自于这个函数。这里有个负号。所以这里要有个负号。
什么功能让我变换?e到at,对吗?这是我们所知道的。一个简单的指数,e到AT的令人难忘的变换。这是特定的解决方案。所以拉普拉斯变换,我们改变了微分方程。我们得到了一个代数方程式。我们解决了代数方程,然后我们必须倒退,找到这个转变y的函数。
为了看到,显然我们必须使用这种部分分数思想,将这两个极的思想分成一个杆,当s是c,当s是a时。我们有两个容易的分数。易于的分数让我成为指数。最后的结果是这个。而且我不知道你是否记得这一点。这是对第一阶线性恒系数方程的正确解决方案,在那里简单的等式,当右侧是e到CT。
所以最终解是包含初值的零解。这个函数来自于右边,来自于力,e的ct次方。这就是拉普拉斯变换的原理。对每一项做拉普拉斯变换。求出y (s)尽量求出这个变换的逆。好的。下一讲拉普拉斯变换会有更多的内容。谢谢你!
您还可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(以中文或英文)以获取最佳网站性能。其他MathWorks国家网站未优化您的位置。