好了,是时候讨论二阶方程了。一阶方程,我们已经做得很仔细了。二阶方程就更难了。但它们在自然界中出现,在任何应用中都会出现,因为它们包含了一个加速度,一个二阶导数。
这是一个二阶方程,因为有二阶导数。我经常会有常数a,b和c。我们有足够的困难来解决它,而不允许这些改变。所以a,b,c常数,然后从零解开始。稍后,在右边会有一个强制项。但今天,对于本视频,空解决方案。金宝搏官方网站
关键是,现在,新的是有两个空解。所以y null是e的组合,它们都是指数的。具有常数系数意味着解中的指数。所以e是和指数,金宝搏官方网站另一个是不同的指数。有时,如果s1等于s2,这将是一个特例,我们会有一个微小的变化。但这是典型的。
在零解中有两个常数,c1和c2,我们需要两个初始条件来确定这些常数。金宝搏官方网站
所以之前,对于一阶方程,我们得到y为0。现在,当我们有加速度时,我们给出了初始速度,y为0。我可以用素数作为导数的简写吗?0的y素数是dydt,在0处。
因此,两个条件将在适当的时候决定这两个常数。再说一遍,二阶导数就是y双素数。这表示,在物理学中,它表示加速度-,速度的变化,y素数的变化,是y双素数。
在一个函数的图形中,y双素数出现在图形的弯曲中。因为弯曲是斜率的变化。弯曲是斜率的变化。斜率是y素数,一阶导数。所以要测量y素数的变化,它将弯曲图形,我的粉笔将是一条切线。但如果这一变化,我们将得到一个y双素数,a二阶导数。
好的,我准备好了一些例子。第一个例子-,物理学和工程学中最基本的运动方程,我会说-,它叫做谐波运动。b是0,这是关键点。b是0。
这是牛顿定律。所以a就是质量m。y双素数,二阶导数。b是0。稍后,b将是阻尼项,摩擦项,阻力项。但是让我们把这个0。所以我们将有永动机,在这里。加上力,这就是牛顿定律。ma是f,f等于ma。力是成比例的-,有一个负号,所以它会以加号的形式出现在这边-,与y成比例。这就是方程式。
没有y素项。我的双素数加上ky等于0。从一个初始位置和一个初始速度开始,它就像一个弹簧上下移动,或者一个时钟摆来回移动。我们会看到它,所以它会是-,我们想解这个方程。
我们看到了解决方案吗?如果金宝搏官方网站m和k是1,假设m和k是1。我在寻找一个二阶导数加上函数是0。二阶导数减去函数。我马上想到正弦t和余弦t。正弦和余弦,因为二阶导数——正弦的一阶导数是余弦。二阶导数是负t正弦,这里是负号,那里是加号,0。所以这里的特殊解是y,这是零。我正在寻找零解。让我称它们为c1乘以余弦。
现在我要算出cos是什么?我想让cos满足零解,满足我的方程。我把它放进去。如果有根号k / mt。
你必须看到,如果我取余弦的两个导数,就会得到负余弦,这是我想要的。正因为如此,这个链会得出这个平方根两次。所以它将得出y双素数的k/m因子。这个因子,k除以m,m将被抵消,我将得到与k匹配的k。这是一个解决办法。
另一个解决方案就是这样。这是正弦。k除以m,t的平方根的正弦。那值得放一个盒子。这就是我所说的自由简谐运动。有些东西在振荡。在旋转问题中,有些东西只是以恒定的速度绕着一个圆旋转。
注意,这两个是不一样的。余弦与指数有关,但并不相同。我可以这样写答案,用cos和sin。或者你会看到,我可以用复指数写出同样的公式。大家都记得这里允许复数的公式是欧拉公式,it的指数是cos + i乘以sin t,我再写一遍。
这就是解决方案。它有两个零解。金宝搏官方网站他们是独立的。它们是不同的。我们有两个常数。因为我们的方程是线性的,我们可以安全地乘以任何常数,加上解,它们仍然是解因为我们有一个线性方程,右边是0。金宝搏官方网站好。
当然,我们不可能永远写这个√k / m。像大家一样,引入。这是ω自然。这里的n代表固有频率,时钟运行的频率。也就是√k / m。
我们可以重新写一下这个方程。我重写一下这个方程,让它简单一些。除以m,没问题,除以m,然后有y ' '加上k / m,也就是n的平方,固有频率的平方。y = 0。让我们把这个框起来,因为你不可能比这更好了。
常数a是1。常数b是0。常数c是已知的ωn平方,取决于摆锤本身。好的,然后解,我将复制这个解。y null是ωn的c1余弦。当然,ωn是ωn的平方,c2正弦。金宝搏官方网站
哦,好吧,等一下。我可以从初始条件中找出c1和c2是什么,对吗?初始条件,如果我插入t等于0,那么我想得到y等于0的答案。已知的初始条件,摆锤开始摆动的位置,弹簧的位置,你拉动弹簧的距离y为0。你放手。
在t = 0时,我把t = 0代入,在t = 0时,这是0。忘记正弦。这是1。我发现c1应该是y (0)简单。C1是y (0)因为它给出了正确的答案,在t = 0时。
那么c2呢?我能算出c2吗?这涉及到初始速度,在t = 0时的导数。因为sin的导数是cos,在t = 0时cos = 1,这个的导数是sin, cos = 0。当我看y '的导数时,我看的是t = 0。我想要y ' (0)
但我不仅仅想要y的素数为0。你看到了吗,它没有正确的导数,t等于0?因为当我取导数和ωn-,那个常数,你记得那个常数-,它的导数会得到ωn。所以我最好在这里放一个ωn来抵消它。现在我明白了。
这告诉了我这个动议,永远。能量是恒定的。势能加上动能,我可以说能量。但我不会。那个运动永远持续,自由谐波运动。好吧,它一直在继续。好啊再一次,我可以用复指数来写。但我对这张表格很满意。很难打败那种状态。
好的,那么这里还有什么要做的呢。首先,我们将有一段时间的余弦ωt。我最好画出这个简单、熟悉的函数的图形。这是一张余弦ωt的图。这是我的。这是ω的余弦。这是0。这是2--好吧,让我看看我得到了什么。
所以我画的是ω的余弦,ωt的余弦,不是余弦。余弦t将变为0到2π。但我有ωt的余弦。所以ωt的余弦是我想要画的。所以它从1开始,然后回来。它下降,上升,回到1。但这是什么?周期,t是振荡的周期。这是秋千上下摆动所需的时间。那是什么?那就是-,我画的是ωt的余弦,这就是我画的。
t从0开始,这里t = 0。它上升到,我想要t,当我到这里时,这个t应该是2。对吧?然后我完成了余弦,绕圆旋转一次,钟摆来回运动一次,现在在图中。t等于2,对吧?正确的。
周期是t,我认为是圆频率。单位是弧度每秒。的单位。追踪单位确实很重要。这是,弧度每秒,当我乘以周期t,单位是秒,我得到2弧度。
现在,在工程师和日常使用中,有另一个频率叫做f,可能是频率。好吧,你应该知道f。它的频率是赫兹。所以f是用赫兹来测量的,H-E-R-T-Z,以那个家伙的名字命名。不是那个番茄酱的家伙,但是——哦,那是海因茨。抱歉。
赫兹——不是汽车,这是我想说的,而是那个早期参与这件事的德国人。那么什么是f?f乘以t是1。与计算弧度的2π不同,1只计算完整的循环,完整的振荡。所以f与已知的ω相比,f小了2π。所以f乘以t是1。f是1除以tω是2π乘以t,所以把它们放在一起,我的意思是,ω是2π乘以f。
所以当我们说我们有60个周期,这就是我要测量的tf。f的单位是周期,即每秒的周期数。一个周期,2π弧度。这算不上什么大问题。但这比很多数学更重要,只要把这些字母弄清楚就行了。
所以有大写字母T,周期,和两个频率度量。一个是以每秒弧度为单位的欧米茄,另一个是以每秒完整周期为单位的f。一个是2π乘以另一个。好。好啊我们有这个。好啊
我想我们已经有了关键的想法,对于非受迫运动,纯振荡永远持续。让我写下我已经提到的。表达yn的另一种方式是用小的c,e到iωnt。c2e等于负iωnt。
我要说的是,这个带指数的形式,完全等价于这个带余弦和正弦的形式。这种形式允许两个常数,大写的C1和C2。这种形式允许两个常数,小1和c2。然后得到这个。从这里,我得到了这个。所以这里确实有指数。关键信息是,对于纯振荡,这些指数是纯虚指数i nt。
好的,这是最好的例子,最简单的例子,第一个例子。谢谢。
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