从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
与强迫f= cos(ωt),则特解为Y* cos(ωt).但如果强迫频率等于固有频率,就会产生共振。
这是关于二阶微分方程的第二集,常系数微分方程,但是现在我们有了右边。第一个是零的自由谐波运动,但是现在我做这个运动,我推动这个运动,但是频率是。这是我的强迫项。
所以我想我有一个强迫频率,记住,对于这个,对于无解,有一个自然频率n,这很重要,它们是否接近,它们是否分开?这就决定了你所经过的桥是否会剧烈震荡而最终倒塌。
或者在极端情况下,它们相等吗?如果n等于,这就叫做共振。让我把这个词写进去。共振。当= n时,我们今天不讨论,但你们应该知道公式中总是有- n除以这个。所以如果这是0,如果等于n我们的公式要改变。
今天,这种情况不会发生。不。公式是什么?yp是什么?我在找一个特解。这是一个很好的函数,在实践中也很重要。所以我希望特解是cos t的倍数。
在这个问题中,这是可能的。因为如果我有一个余弦,我在右边有一个余弦,如果这个余弦在这里,它在左边,余弦的二阶导数是,同样是余弦,我将得到cos t项的匹配。然后我要选一个正确的数字Y。
当这里有一阶导数的时候我就不能这么做了,因为cos的一阶导数会带符号。我将得到余弦和正弦的混合然后我最好允许这种混合。但在这里我不需要。
这是强迫函数。反应,这是被迫的反应。我想习惯这个词,响应,作为解。这是输入,响应是输出。把它代入方程,求出Y。
这里我有m,二阶导数是Y,二阶导数是a -²乘以cos。这里我有kY等于Y乘以cos等于cos。我可以在这里写一个常数,但这并不比1更有趣,更困难。
我该怎么做?好的地方是这里都是余弦,所以我只有-的平方m和一个k,所以是k - m的平方。我可以这么写吗?乘以y,我把余弦消掉。就是1。右边是1。
我消去了cos,所以我保留了kY。我保留了1,保留了-²mY。这就直接告诉了Y。就像把指数代入然后把指数消掉一样。这里,我把余弦都消掉了因为每一项都是余弦。
所以我知道y,所以我知道答案。所以最终答案是Y(t) = Yn。先写Y特,再加上Yn。所以我找到了Y特。Y是大写的Y cos t,所以是cos t乘以Y Y等于1除以这个。
这是y,下面是k - m²。对吧?这就是我们刚刚找到的,特解。大写的Y,乘以常数,等于1除以这个常数。现在是c1cos nt和c2sin nt。
记住,n和是不同的。实际上,这里很不错。我可以用另一种方式来写,这样你们就会明白这里的重要性。记住,n的平方是什么?我能记住n方是k / m吗?是的。
k等于,我把m写在上面,k等于m n方。k等于m n的平方这里我减去m的平方。你会看到共振或接近共振的全部意义当桥被强迫购买一个接近它的共振频率的频率。
这个差,的平方,两个频率之间的差的平方在分母上,它很小,然后影响很大。如果距离太近,影响就会太大。所以我们会看到cos t除以这个,我叫它,频率响应是这个因子。1除以m n的平方减去的平方。
这是关键的乘数当强迫项是一个纯频率时,这个频率会爆炸。现在,当然,大写C1和大写C2是什么?我们从初始条件中找到它们。在t = 0时,代入t = 0,这就告诉我们C1是多少。我们代入t = 0来匹配Y '在0处的速度,这告诉我们C2。你能接受吗?
看看这个解决方案的美妙之处。这是空部分。这是受迫的部分,特定的部分,cos除以常数。还有一个方程,一个我想经常讨论的强迫项。这是脉冲函数。
我再举一个例子。我的' ' + ky等于函数。δ函数。这叫做脉冲。所以我也想解这个方程。当强迫项发生在一秒,在最初的一秒。t = 0时,函数击中弹簧。
弹簧或者钟摆在那里。实际上,让我们让它静止。这是我的钟摆。我试着画一个钟摆。我不知道。这不算一个钟摆。但这已经足够好了。
这个方程说的是如果我用一个点源撞击它会发生什么?在t = 0时,我撞击它,但是我给它一个有限的速度。它不会在瞬间移动。这就是用到函数的地方我先给出结果然后我们再看。
我在做什么?我想解这个方程当强迫函数是脉冲函数时。我称y为脉冲响应。这是当强迫函数是脉冲时的解。y是脉冲响应。事实上,它非常重要,我要给它一个单独的字母。g,现在,我能把y变成g吗?
g是g (t)是脉冲响应。如果我能解出这个方程。你可能会说,没那么容易。对于函数,它甚至不是真正的函数。这有点疯狂。这一切都发生在一秒钟内。对不起,在一瞬间。不是一秒钟,而是一瞬间。
但我可以解出来。因为这个原因我可以解出来。我可以把它看成是一个脉冲或者我有另一种选择,很明显我可以把它看成是不用力mg ' '的解。同样的问题,同样的解是0。
但我从休息开始。什么都没有发生。Y(0) = 0。它从初速度y '(0)开始。冲动像高尔夫球一样开始。那就去吧。这里有一个1 / m。我下次再讨论。
现在我想知道的是,我要么有这个神秘的方程,要么有这个完全正常的方程,甚至一个从y(0) = 0开始的无方程。但是脉冲给系统的初始速度。我应该叫它g,这是g,我们还会看到脉冲响应,但这次我们通过解这个方程来看看。
我打算解这个方程实际上我们上次解过了。你还记得这个的解吗?当它从0开始时,没有余弦。但当初速度是1 / m时,这里有个符号。所以我要写下g (t)也就是sin nt。
为什么是固有频率?因为我在解不。我在找一个没有办法的解决方案。但是之前关于无解的视频得到了这个。金宝搏官方网站只需要除以,得到初速度是1 / m。你会发现这能解出no方程。
这就是钟摆或高尔夫球的情况。嗯,钟摆更好。事实上,高尔夫球是个糟糕的例子。很抱歉。高尔夫球不会来回摆动。他们倾向于去。
我在看钟摆,弹簧上下运动。所以弹簧开始时,初速度是1 / m之后什么都没有发生。这就是脉冲响应。冲动:对冲动的反应我为什么喜欢这个?首先,它很漂亮。简单的答案。
其次,每个强迫函数,输出都来自这个函数。我们会看到这一点。我们引入了强制函数cos t,其中特解是cos t的倍数,现在,我们引入了强制函数,这个函数的响应是正弦函数。谢谢你!
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