从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一个矩阵产生4个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。
我想让你们了解线性代数的总体情况。在这一系列的视频中,我们并不是在学习线性代数的完整课程。这在1806年的公开课上已经有了。现在我把注意力集中在微分方程上,但是你们也可以这样看线性代数。
这种方式意味着子空间。大图中有四个。之前的视频描述了列空间和零空间。现在,我们又有两个,就是四个。让我看看这个矩阵——它是针对子空间的——把它们放到大图中。
我要看的第一个空间是行空间。行空间有这些行,有向量和向量,这两个向量,以及它们所有的组合。这是线性代数的关键思想,线性组合。所以1,2,3是三维空间中的一个向量。4 5 6是另一个。
现在,如果我取它们所有的组合,你能想象如果我有两个向量,我把它们相加,我得到另一个在同一个平面上的向量吗?或者如果我减去它们,仍然在那个平面上。或者如果我用一个的5个和另一个的3个,我仍然在那个飞机上。我把所有的组合都填满了这个平面。行空间,我能试着画个图吗?
这是一个平面。这是行空间。我就写row吧。在这个平面上有向量和向量,这两行。平面填满了我们的组合。我不能在麻省理工的黑板上画一个无限平面。但你明白我的意思。这是一个平面。我们处在三维空间中。
现在,还有更多。我们只有一个——一个平面,一个平面,像桌面,延伸到无穷远,但没有填满3D,因为我们有另一个方向。另一个方向是零空间。这是件好事。
我想知道这个矩阵的零空间。我想要解零空间,N (A)我要解Av全部为0。所以这三列的某个组合会得到0列。我把它写成0列。
v可能是什么?哪一列,哪一列,哪一列的组合是0,0 ?现在,我知道有一些有趣的组合,因为我,只等于两个方程,三个未知数,v1 v2 v3。我要把这个乘以v1,这个乘以v2,这个乘以v3。所以我有三个未知数,但我只需要得到两个0,两个方程。
如果我有三个未知数和两个方程,就会有很多解。金宝搏官方网站我能看到一个。你们看到了吗,如果我把这两个相加,就得到,这是一样的,等于2乘以。
换句话说,我相信v等于——如果我把1的第一和第三,如果我减去2的第二列,所以Av会给我1的第一列,第三列,1减去2的第二列会给我0,0。这是零空间。零空间向着这个方向,向着。
但是,当然,我通过将v乘以任意数得到更多的解。金宝搏官方网站10乘以这个向量仍然是0仍然在零空间。所以我有——零空间是一条由向量组成的直线。它是这个向量和这个向量的任意倍数。这是一条无限长的直线,是一维子空间,即零空间。
所以图中的零空间,这是零空间。它不是很粗,因为它只是一条线。我把这条线叫做N (A)你看,我试图画一个三维空间。这条线是双向的。但它垂直于平面。这是最精彩的部分。这是美妙的。
这条线,这个零空间,垂直于这个平面,这个行空间。你想知道为什么吗?你想亲眼看看吗?因为如果我取av,它将是,1 2 3,乘以v,它垂直于它。如何检验两个向量的垂直性?1 2 3点积。点积是1 * 1,减去2 * 2,等于4,加上3 * 1,等于3。1 - 4 + 3等于0。同理,4 - 10 + 6 = 0。
这是一个直角。这是一个直角,在这两个子空间之间是90度。同样,在这个例子中,一个空间是二维的,一个平面。另一个空间是一维的,一条垂直线。我可以用我的手展示,但我不能在这个平坦的黑板上画。平面的方向是无穷远的,直线与平面垂直,相交于,0向量处。
这就解出了Av = 0,它也是一个组合,一个0行的组合。这是整个图的一半,行空间和零空间。
现在,我已经准备好另一半了,也就是另一半的另一边——大图的右手边首先包含了列空间。那么这个矩阵的列空间是什么?
所以矩阵的列空间,我们取这三列的所有组合。它会填满一个空间。现在,我取向量。我取向量,可能在这里。然后我还要取向量。我有三列。我数3,向上6。好。
用这些向量的组合,你会得到什么?这是二维空间的图像因为这些列是二维的,1,4;2、5;3、6。当我取1 4和2 5的组合时,它们在不同的方向上。这些组合已经给出了整个二维空间,所以列空间就是整个空间,包括,因为我可以取0(1)加上0(另一个向量)
第三列不能提供任何新内容。它位于列空间中。这是两者的结合。但前两个是独立的。它们的组合给出了整个平面。列空间就是整个平面。列空间。
第四子空间没有多少空间了。但是第四个子空间,在这个例子中,非常小。我来讲讲第四子空间。所以我们知道零空间N (a)我们知道列空间C (a)零空间在这个图中。列空间在这幅图中。
行空间的名字是什么?如果我转置矩阵,行空间变成列空间。把矩阵A转置的行变换为列。通过转置一个矩阵,它把这两行变成了两列。这就是我在这里得到的。
行空间是——这是转置矩阵的列空间。我喜欢它。我不想为行空间引入一个新的字母。我喜欢只有列空间和零空间。我可以求A '现在,第四个是什么?
只是因为美观,这里的一般原则。如果我有A的列空间和零空间,如果我有A转置的列空间,第四项必须是A转置的零空间。抱歉,我写得太小了。但是我把这个写大了一点。
A转置的零空间,所有解这个方程的w。A转置w等于0。A转置的零空间就是解这个方程的所有w。这个方程是什么样的?哈!这个方程,A转置有两列。那么A转置,这是第一列的w1。1 2 3,当我转置。第二列的w2 = 0,0,0。
现在我得到了,对于这个零空间,因为矩阵是2 × 3的,对于第四子空间,我有三个方程,只有两个未知数,w1和w2。事实上,唯一的解是w1 = 0 w2 = 0,金宝搏官方网站因为这是唯一的方法,这是这个向量和那个向量的唯一的组合使我得到0的方法就是对这个取0,对那个取0。
看到了吗,在这个例子中,A转置的零空间就是,A转置的零空间,就是我所说的0子空间。这个子空间只有一个很小的向量,0向量。但是没关系。它遵循子空间的规则。它完成了4个子空间的图。
在其他例子中,我们可以让所有的四个子空间都是非零的。但是这里有两个,一起,构成了整个N维空间。而在这里,我们有两个,它们一起构成了整个M维空间。这里,对于这个矩阵,M = 2,这样就完成了。在这种情况下,列空间就是R2。
所有的二维空间都是列空间,这没有给左零空间留下任何空间,也就是A转置的零空间。你们看到那张照片了吗?让我们用一块干净的黑板再画一遍。
这是行空间。我把它画成这样,行空间。垂直于它的是零空间。这是N维空间,它们是垂直的。
然后,在这里,我有列空间。垂直于它的是左零空间。这里是M维空间。这就是我们的4个子空间。它们在N维空间中,有两个在M维空间中,相互垂直。我可以告诉你们它们的尺寸。
所以这个行空间,在那个例子中,是二维的。那是一架飞机。一般来说,维数等于,假设是r,这是一个重要的数字,a的秩,哦,这是一个关键的数字。也许,我最好分开来讲矩阵的秩。但我将在这里完成这个想法。
行空间的维数是独立行数。我称这个数字为r,美妙之处在于它的维度是相同的。维数也是r的秩,我能用一句话来表达这个美妙的事实吗?列空间和行空间有相同的维数。
独立行数等于独立列数。这对于一个巨大的矩阵来说是个奇迹,比如57 × 212,可能有40行独立的行。然后有40个独立的列。然后零空间和左零空间有剩下的维数。零空间的维数是N - R因为,它们总共有维数是N。
这个有M - R的维数,因为它们一起有M的维数,这是画出来的图。我再单独讲一讲维数的概念。谢谢你!
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