好的。这个视频是另一个方向。我们讲的是线性方程而不是微分方程。这个视频的中心是一个矩阵它叫做关联矩阵。这个关联矩阵告诉了我们关于图的一切。
现在,我说的图表是什么意思呢?我指的不是sin x或cos x的图,图这个词完全可以用另一种方式来表示一些边和一些节点。我有一些节点。这里是1 2 3 4个节点。这是n。
数字m是连接节点的边数。我用边1连接这些节点,边2边3边4和5。我没有放入边6。一个完整的图可能有所有可能的边,但一个一般的图可能有一些边。有些节点对是连接的,有些则是不连接的。
现在我要创建一个矩阵来显示图像中的所有东西。然后我就可以处理矩阵和图形了。它们的矩阵是头号应用,是很多应用的头号模型,比如万维网。网络可能。每个网站都是一个节点如果这些网站是链接的两个节点之间会有一条边。所以万维网是一个巨大的图表。
或者电话公司有一个巨大的图,其中的节点是电话,当一个电话从一个电话打到另一个电话时,在两个电话之间有一条边。结点和边。而我们的大脑——这是21世纪最大的问题是理解代表我们大脑的图表,我们思维中神经元的连接——嗯,这是一个比我们今天要解决的更难的问题。
让我用这个图形来创建矩阵。所以矩阵有5行来自这5条边。我们来看看第一条边。第一条边,这是1号边,从节点1到节点2。节点对应于列。如果我想要一条从节点1到节点2的边,这条边会在第一行。所以边1。第一个边连接到第一行。
所以这条边从节点1到节点2,所以我写上- 1和1。它不涉及节点3和4。这是边1。这是第一行。这就告诉了我关于边1的所有信息。
边2从1到3。所以我在第二行放一个- 1,一个0,一个1因为第二行来自第2条边它从1到3。
第3条边是第3行,从2到3。第3条边是第3行,从2到3。
4号边从1到4。所以- 1,没有,没有,1。这告诉我们边4是从节点1到节点4。最后,从节点2到节点4是最后一行。
看到这张图了吗?这幅图中的所有信息都被这个矩阵捕获了。所以我们可以用这个矩阵。矩阵是做什么的?向量相乘。这就是矩阵的作用,它作用于向量。
如果我把这个矩阵乘以一个向量会发生什么?现在我把这些边数提出来做乘法。这个矩阵有四列,它是一个5 × 4矩阵,m × n, 5 × 4。所以它乘了一个有四个分量的向量这四个分量来自这四个节点。
也许它们表示节点上的电压。让我像电气工程师一样思考一下。如果这是我的矩阵,我假设在节点上有电压v1 v2 v3 v4。所以这里有v1电压v2 v3 v4,这些电压的电流会流过。所以我的未知数是电压,四个电压和五个电流。这是工程师需要知道的。
首先,当我用A乘以v,得到什么?我来做乘法。第一行乘以这个就得到v2 - v1,对吧?行与向量的点积。下一个是v3 - v1。然后这里是- 1。它是v3 - v2。然后是- 1和1。应该是v4 - v1。最后,这个点积会得到v4 - v2。
我在这里看到了什么?这是A乘以v,我用电压矢量做了乘法。我发现了什么?我找到了电压的差值,边缘的一端和另一端之间的电压差值。我有五条边,现在我有五个结果,这些是电压差。
如果电压不同,电位不同,电压差会怎样?电流流动。如果电势相同,就没有电流,对吧?这就是电压对电流的基本驱动方程就是电压差。电势的差异驱动着气流。
现在,有多少流量?现在我要找的是流动。我可以称它们为w,表示气流。所以这条边的流量是w2。w1是一个流。一个w5一个w3和一个w4。我的一对未知数——这就是这幅图的美妙之处——是节点上的电压v1到v4 4,以及五条边的电流,流量,w1到w5。我看到Av给出了电压差。
我将简单地,简单地接近流动的基本定律,电流流动,任何网络中的流动。我们讨论的是应用数学中最基本的方程。也许我应该说离散应用数学。所谓离散,我指的是没有导数的图。这里我没有看到导数,我只看到矩阵和向量。
所以我要记住这个关联矩阵,A,我再写一遍。Av给出了电压差。这是我的一部分。另一部分是什么方程最终把它们结合在一起?如果我有电流,v是电压。现在,将会有一个包含电流w的方程。
我在这里要写的,是非常重要的。这就是基尔霍夫电流定律,KCL。我刚才强调了基尔霍夫的名字里有两个h。基尔霍夫电流定律说,注意,它说流入一个节点的总流量等于流出节点的流量。我们现在讨论的是均衡。
所以如果电流在我的图中,在我的网络中流动,这是一个稳定的平衡,所以流入节点1的流量等于流出节点1的流量。我来告诉你们这个方程是如何用矩阵A表示的。
电压差涉及到A,很漂亮,基尔霍夫电流定律涉及到A转置。所以A '现在是4 × 5。这些是流,一个有五个分量的向量因为我有五条边。根据基尔霍夫电流定律,这是0。
所以在A和A转置之间,关联矩阵将我引向网络中流动的基本平衡条件。现在,还需要另一部法律。它必须把电压差和流量,电势和电流联系起来。
你知道是谁在电气工程领域创造了这条定律吗?是欧姆。欧姆定律,最后,欧姆定律是一条一条的电位差,电位差的下降,电位差与电流成正比。
所以电压差,我用文字写出来。电压差,我可以说是电压降,两端之间或电阻两端的电压降是成比例的,这里有一些电阻,一些物理量。这就是我们要用到的材料。
在基尔霍夫定律中,这些定律在我们说网络是由什么组成之前就适用于网络。但是现在如果我们的网络是由电阻或管道或其他东西组成的,那么这就会有一些电导。所以E等于IR,一些电阻,乘以流量,乘以电流,w。
所以v的差值是一个数字,这是一个物理常数我们必须在实验室中测量它来知道电阻是多少欧姆。这个方程在每条边上。我们有一堆方程,它们一起告诉我们4个电压和5个电流。
也许我要把重点放在这里。重点是这个矩阵是至关重要的。A很重要。A '很重要。A有电压差,就会发生一些事情。转置是平衡定律,每个节点上的余额或当前余额。
你不会感到惊讶,当所有这些放在一起,我们有一个最终方程要解,我们得到a ' a,这个神奇的组合,a ' a,是图论的核心。它被称为拉普拉斯图它有自己的名字和名声。谢谢你!
您也可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。