从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
部分微分方程∂2u /∂x2+∂2u /∂y2= 0描述圆、方或任何平面区域内的温度分布。
今天我要讲的是三大偏微分方程中的第一个。这个叫做拉普拉斯方程,以拉普拉斯命名。你会看到偏导数。我没有时间了。这个方程是稳态的。我有x和y,在xy平面上。我对x和y都有二阶导数,所以我要求这个方程的解。金宝搏官方网站
当然我给了一些边界值。所以时间不在这里。边界值,边界位于XY平面中,也许是一个圆圈。想想XY飞机中的圆圈。在圈子上,我知道你的解决方案。
所以圆周围的边界值是已知的。我要求出圆内的温度u。所以我知道边界上的温度。我让它静下来,我想知道里面的温度。美妙之处在于,它解出了基本的偏微分方程。
我们来找一些解。金宝搏官方网站它们可能与边界值不匹配,但我们可以使用它们。所以u等于常数当然能解这个方程。U = x,二阶导为0。U = y,这个更好,x²- y²。所以x方向的二阶导数是2。y方向的二阶导数是- 2。我有2 - 2,这是方程的解。
或者,X中的第二衍生物是0. y的第二衍生物是0,那些是简单的解决方案。金宝搏官方网站但是那些只是一些解决方案,我们需要无限的序列,因为金宝搏官方网站我们将匹配边界条件。
这里有什么规律吗?这是0次,常数。它们是1次的,线性的。这些是2次,二次的。所以我希望是两个立方的。然后我希望有两个四度。这就是规律,这就是规律。让我找出。让我找出这些立方体。X³,如果我从X³开始,当然X的二阶导数可能是6x。我需要y的二阶导数是- 6x。 And I think minus 3xy squared does it. The second derivative in y is 2 times the minus 3x is minus 6x, cancels the 6x from the second derivative there, and it works. So that fits the pattern, but what is the pattern?
在这儿。棒极了。我用x + iy的不同次方得到了这些疯狂的多项式。这里的一次方,如果n是1,我有x + iy我取它的实部,就是x,我取它的实部。当n = 1时,实部是x。
当n = 2时呢?你能心算一下吗?我们有x²i²y²i²= - 1。有x²和- y²。看,当n = 2时,它的实部,x + iy²的实部,它的实部是x²- y²。虚部是2ixy。所以i的虚部是2xy。这是n = 2时的模式。
当n = 3时,取x + iy³,从x³开始。另一个实部应该是- 3xy²。我觉得你应该检查一下。然后会有一个虚部。我想我可以算出虚部。可能是-,可能是3yx²- y³,类似这样。这是n = 3时的实部,这是虚部。
很奇妙,很奇妙,它适用于所有的幂次,指数n,所以现在我有一个相当大的解族。金宝搏官方网站一个表,一个双重表,实际上,每个n的实部和虚部,所以我可以用它们来求解u,就是我要的,圆内的温度。
当然,我有一个线性方程。如果我有几个解,我可以把它们组合起来,得到金宝搏官方网站一个解。X + 7y是一个解。加上11x²- y²,没问题。加上56乘以2xy。这些都是解。金宝搏官方网站所以我要找到一个解,我的最终解u将是这个,这个,这个,这个,这个,这个的组合,以及所有其他的大n的组合,这就是我的解。我需要无限的家庭。看,偏微分方程,我们向上移动到无限的解族而不是两个零解。金宝搏官方网站
举个例子。让我举个例子。我们把这个区域设为一个圆。在这个圆中,我在寻找u (x, y)的解,实际上在圆中,使用极坐标是很自然的。不是x和y在xy平面不方便的圆里,它的方程包括x等于根号下1 - y的平方之类的,我要转换到极坐标r和。
你可能会说你记得我们有这些很好的解族。金宝搏官方网站它在极坐标下还适用吗?事实上,这样更好。所以u的解是实部和虚部。那么x + iy在r和中的值是多少?我们都知道x等于rcos加上ir sin。也就是r乘以Cos加上isin,一个令人难忘的复欧拉公式,e的i次方。
现在,我需要它的n次方。这个的n次方太棒了。n次方的实部和虚部是r ^ n e ^ in。这是x + iy ^ n。在极坐标中更好,因为我可以马上取实部和虚部。是r ^ n Cos n和r ^ n sin n。
这些是我的解决方案,我的解金宝搏官方网站决方案列表,拉普拉斯的公式。而且它的一些组合,我的最后一件事将是这些组合,一些组合。也许系数一个子n。我可以使用这些,我可以使用这些。所以也许是第n个r到第n个正弦。你可能想知道我在做什么,但我已经取得了什么,现在已经完成了,是找到拉普拉斯方程的一般解决方案。
而不是我们对普通微分方程,C1和C2的两个常数,这里我有这些家伙从达到无穷大。n达到无穷大。所以我有很多解决方案。金宝搏官方网站和任何组合工作,所以这是一般的解决方案。这是一般的解决方案。而且我必须匹配它 - 现在这是最后一步而不是简单,并不总是很简单 - 我必须把它与边界条件匹配。当然,这就是会告诉我常量。像往常一样,C1和C2来自匹配条件。
现在我不仅有c1和c2,我还有无穷多的a族,无穷多的b族。我还有很多东西要匹配,因为在边界上,我要匹配u0,它是已知的。假设已知u0等于上半部分的温度是1。在底部,假设温度是- 1。这是一个典型的问题。
我有一个圆形区域。上半部分保持在一个温度下,下半部分保持在不同的温度下。我达到平衡。大家都知道沿着这条线,由于对称性,温度可能是0。但一旦温度上升到一半,就没那么容易了。答案是u在中间,u (r)和里面由这个公式给出。同样地,ANs和bn通过匹配得到了边界上的正确答案。
嗯,那里有一个大理论,我如何匹配这些?那是一个傅立叶系列。那是一个傅立叶系列。因此,我正在找到傅里叶系列,A和B的系数,它与边界周围的功能匹配。我可以匹配任何功能,傅里叶系列是另一个完全独立的视频。
我们已经完成了一个圆的拉普拉斯方程。我们已经把这个问题简化为傅里叶级数问题。我们已经找到了通解。然后匹配一个特定的给定边值,这是傅里叶级数问题。所以我要把它放到傅里叶级数的视频中。谢谢你!
您还可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(中文或英文)以获得最佳网站性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。