从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
电流在RLC回路周围的流动求解一个有系数的线性方程L.(电感),R.(抵抗),和1 / C(C=电容)。
该视频是常规方程对电流的关键应用之一,网络中的电流流动。所以我画了一个网络,一个非常简单的网络。它只是称为RLC循环。它只有一个循环,所以这是一个非常简单的网络。
R代表流动阻力。L代表电感。C是。电容这是一个简单的线性常系数问题的三个元素与一个回路有关。然后有一个开关,我将关闭它,然后流动就开始了。这里有一个电压源,比如电池,或者让我们用交流电。
所以电压源是某个电压乘以e的i t次方,所以我们有交流电。问题是,电流是多少?我们要算出电流I,所以电流是I (t)绕着回路走。
我们看到微分方程有未知的I (t)而不是通常的y,我要用I表示电流。这是一个RLC循环,每个人都必须理解,在电气工程中。
我将得到一个二阶微分方程。你们会看到这个方程是什么。你们应该记得欧姆定律。电压等于电流乘以电阻。这就得到了电阻两端的电压。
如果电流是i并且电阻是r,那么从这里到这里的电压下降是我的时间r。所以这是这个术语。但现在我的目前也随着时间的推移而变化。这是交流电流。它上下了。
所以电流也通过电感。在这里,电感上的电压降是这样的。电流的导数。在电容中,电荷在增加,电流的积分进来。
这就是表达电压定律的物理方程,也就是说,绕着一个闭合的回路——这是一个闭合的回路,回路是闭合的——加上0。我有四项,它们合起来等于0。
所以我想解决一个等式。我怎么解决这个等式?当我有恒定系数时适用的标准想法,我有一个纯粹的指数强制术语。我寻找一个是那个幂态的倍数的解决方案吗?
常系数微分方程的解,如果它们有指数强迫,那么解是I等于W e的I t次方,源的一些倍数给出了微分方程的解。
它实际上是一个微分积分方程。我可以把它变成一个更熟悉的微分方程通过对每一项求导。假设我这样做。
假设我采取了每个术语的衍生,只是让它看起来真的很熟悉。这将是我双重素数的时间。采取衍生物的衍生物。这将是ripime。
积分的衍生物是我本身。所以我有1岁,我会在这里有衍生品,我omega v e to我omega t。
所以它只是一个标准的二阶常系数线性微分方程。事实上,如果你是一个机械工程师,你会说,我不知道L R和1 / C代表什么。但我知道我应该看到质量,阻尼,和刚度。
所以我们在两个重要的工程领域有一个完全的平行,电气工程有L, R,和1 / C,机械工程有M, B代表阻尼,K代表刚度。实际上,这种并行使得模拟计算机先于数字计算机出现,并在竞争中败下阵来。
模拟计算机只是通过施加电压和测量电流来解这个线性方程。模拟计算机通过建立模型和测量答案来解决这个方程。但我们不是在创造模拟计算机。我们只是在做微分方程。
我来算一下W是多少。那我该怎么办?和往常一样,我有这个方程。我有一个纯指数。我要找一个同样形式的解。我把它代入。得到W的方程。
这正是我在下一董事会中所做的。我将把W e放入我omega t进入这个等式,找到W.让我们这样做。也许我会只是一只头发,我会在这里做的地方,你可以看我。
L乘以导数。所以我有L .导数将降低IωL .一切都是用W和匹配诉我把这个方程时,导数是一个IωL W e Iωt,它匹配V e Iωt。
现在,当我把I代入第二项R,会发生什么,我就得到R R乘以W乘以e的I t次方,没问题。
最后,1 / c,积分。指数的积分写下来,我把它写在分母上,当我对e ^ (I t)积分时除以I,我要除以I。
就是这样。就是这样。这是三项,乘以W,未知数。这就是找。当然,我们马上就能找到它。
我们发现w是v - 现在我们看到这个我omega l plus r.哦,让我结合我omegas。结合实体部分和虚构部分。真实的部分是R.而虚构的部分是我omega l减去1 ole omega c.
简单。它有一个名字。这就是阻力。但是如果还有电感和电容的项,那么整个东西就叫做阻抗。所以这整个分母,叫做复阻抗。
相信我,所有这些想法都很重要。这里有一整套的词汇。但是你看,我们对其他常系数方程做了完全相同的事情。我们称系数为A B c或者M B K。
现在我们有了稍微不同的字母,但是我们没有新的概念。这个1除以,这个1除以阻抗,就是传递函数,它乘以源得到复数W, W是复数。
我现在必须考虑这一点。这种阻抗总是被称为Z.所以我们现在有一个新的信件,以获得在那里的分母中出现的重要数量。而且,它的实际部分是阻力。它的虚构部分来自L和C.
所以我们可以轻松看看多大 - 这种阻抗的规模是多少?这个目前的程度是什么?我们想要该号码的大小。v是电压的尺寸。这是阻抗的大小。
答案会告诉我们w的大小,我用大小或大小来表示当我只计算大小时,你不会看到相位滞后。复数,比如这个复数的大小我们马上要写出来了。它还有一个相位滞后告诉我们有多少在虚部有多少在实部。
但幅度很容易。复数的大小是多少?这是真正的部分平方和虚构的部分平方。哦,那应该是一个加那里,我想。我不知道它是如何变得减去的。
它会变成减号,所以我想如果我把I写在上面。我来告诉你我在说什么。虚部是(L - 1) / c,我的意思是如果我把I写在上面,那么1 / I就是- I,这是我刚刚迈出的聪明的一步。
所有这些的平方。你同意吗?它是实部的平方,也就是电阻。这个组合给出了虚部。我们广场。这可能叫做反应物。这些平方的和就是阻抗的平方,也就是大小。
我们已经成功地解出了一个二阶常系数的电流方程。现在该做什么?我再加一点。也许只是一个评论。
那个视频是关于一个循环的。当我告诉Mohler博士其中一个应用,在这一系列视频中一个真正的应用是RLC电路,他的回答是RLC电路不是一个应用,不是一个现实的应用。一个循环。
那么我们如何处理一个有很多节点,很多电阻,很多导体,很多边的全尺寸电路呢?我们要做一个重要的决定。这就是我想说的。
他们有一个选择。他们可以在节点上使用Kirchoff的当前定律,并解决这些节点的电压。或者他们可以这样做,因为我们为一个循环做出了一个循环,请在那个循环周围使用Kirchoff的电压律说,该环路中的电流产生了总电压降。
所以我们解出了未知i的当前方程,这是我们对一个循环所做的。我的信息只是针对一个大系统,这是赢家。根据基尔霍夫电流定律写出方程,我们得到了节点图,每个节点都有一个方程而不是每个回路的方程。
因为看看是如此易于考虑的环,并且哪个循环是其他环的组合。线性代数是问题。和线性代数,为了使循环图片独立而清晰,比节点图片更困难。
有未知电压的节点图,V在节点处,是好的。这个矩阵就是关联矩阵。它连接节点和边。上面写着网络是如何组成的。
那个矩阵,我会用一点点线性代数学习。所以这是一个稍后的视频。如果您寻找发病矩阵,您可能会看到两个关于那些非常非常重要和美丽的矩阵的视频。谢谢你。
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