从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
偶数函数只使用余弦函数(F (- x) = F (x))和奇函数只使用正弦函数。系数一个n和bn来自于积分F (x)cos (nx),F (x)sin (nx).
这个视频会给你们更多傅里叶级数的例子。我将从一个奇函数开始。奇函数的意思是,在0的左边,我得到了0右边的负函数。F (- x)等于- F (x)这个正弦函数是奇函数。余弦函数是偶函数,这里没有余弦函数。所有涉及余弦的积分都告诉我们系数AN是0。我们得到的是B个系数,正弦函数。
所以你可以看到我选择了一个简单的奇函数,- 1或1,如果我继续,它会给出一个方波。它会以方波的形式向下,向上,向下,向上。我要把它表示成正弦函数的组合,平滑波。这是上次的系数bk的公式,只不过现在我只对二分之一积分,对区间的0到部分积分,所以我把它翻倍。这是个奇函数,这是个奇函数。当我把它们相乘,就得到一个偶函数。从-到0的积分和从0到的积分是一样的。我只做0到,然后乘以2。
但函数从0到是1。这个漂亮的方波是+ 1,所以我只是对sinkxdx积分。我们可以做到。等于- coskx除以k,对吧?这是2 /因子的积分。现在我要代入和0代入积分的极限,得到答案。得到什么呢?得到2 /。
对于k = 1,我想我得到,所以k是1,分母是1,分子是2。是的,当k = 0时,我得到。当k = 1时,我得到2。当k = 2时,这是4 /,这是第一个系数。系数b1是4 /。系数b2,如果k = 2,下面有一个2。但上面是0因为cos 2和cos 0是一样的。当我减去的时候什么都没有,所以是0。
现在k = 3。所以k = 3在这里。当k = 3时,结果是,它们没有消去,只是加强了。得到另一个2。如果你做了这些就好了。当k = 4时,还是0。看到规律了吗?
积分的模式是k是1 2 3 4 5。这部分给出了一个2或者0或者2或者0。如果你检查一下,你就会明白了。
现在我看到这个函数,也比脉冲函数好。它不是很光滑。跳跃。它是一个跳跃函数,一个阶跃函数。我看到傅里叶系数有一些衰减,一些缓慢的衰减。这个因子k在增长,所以数字趋于0,但不是很快。不是非常快。因为我的函数不是很平滑。
现在你看,如果我用这些数字,我说这个方波,这个函数,这个- 1比1的函数,等于,我们看一下。也就是4 /乘以1。所以这是1 sinx 0 sin2x然后是4除以sin3x,但是这个是3 0 sin4x, sin5x除以5,等等。
这是一个很好的例子。结果是,方波中只有奇数频率1 3 5它们乘以4 /它们除以频率,这就是衰减。
有一个奇函数。为什么不对这个函数积分?如果我想要得到一个偶函数来展示一个偶函数的例子,我只需要对方波积分。当我对方波积分时,它是偶数。也许从0开始积分,然后从1开始。这里的积分是负的,所以是向下的。
这个函数叫什么呢?类似于一个重复的斜坡函数。这是一个斜坡,先降后升,先降后升。当然,从-到,这是我要找的。在-和之间。我看到这个函数是偶函数。这到底是什么意思?这意味着在- x处的函数和在x处的值是一样的。
对于傅里叶级数,这意味着余弦函数。偶函数只有余弦项。当然,既然我已经积分了,我也可以对这个级数积分。这就是这个斜坡,这个重复的斜坡函数,等于4 /。我可以耐心地算出cos系数,a。但我为什么要这样做,我可以积分?
sinx的积分是负的sinx的积分是负的cosx,我把负号写在这里,应该是cosx / 1。这个的积分是什么?sin3x的积分是asco3x / 3。还有一个3,还有一个负号。我想它是(cos3x / 3)²,因为这里有一个3从积分中又得到另一个3。同样的,对sin5x积分得到cos5x + 5。然后我已经有一个5了,所以5的平方。好了。
(笑声)
大一微积分里有一项我完全忘了,常数项。所以有一个常数项,平均值a0。我只找到了a1 2 3 4 5。我还没找到a0,这就是平均值。我不知道,这个函数的平均值是多少?它从0到看起来很漂亮,我画得不是很好,但是画了一半。我想它的平均值大概是/ 2,对吧?希望这是对的。
我把常数项写进去。斜率是,常数项是/ 2。这是平均值。它可以从公式中得到,你们现在看到了什么?这是我想让你们看的另一个例子。你会看到下降更快。1 9 25 49,随便吧。它随着k ^ 2下降。
它下降得比这个快的原因是它更平稳。这个函数有角。这个函数有跳跃。所以一个跳跃函数比斜坡函数更粗糙,更嘈杂。函数越平滑,衰减越快。平滑——我写下来——平滑函数与更快的衰减有关。傅里叶系数下降得更快。
这意味着傅里叶级数更有用。傅里叶级数对于光滑的函数非常好因为这样你只需要保留几项。对于有跳跃函数或脉冲函数的函数,你必须保留很多很多项傅里叶级数的计算就更加困难了。
这是第二个例子。让我想想,我还能说什么呢?我们学了一些关于积分和求导的知识最后我讲两个基本规则。两个基本规则。
导数法则。df / dx的傅里叶级数是什么?第二个是轮班的规则。f (x - 1)的傅里叶级数是什么?你知道当我把x换成x - d时,只会使图像平移一个距离d,这会对它的傅里叶系数产生很好的影响。
我从。哦,我没有给你们任何复杂情况的练习。这是个好时机。假设起点是f (x)等于ck,复系数e的ikx次方,复指数的和。你们应该记得这个和是从负无穷到正无穷。
我有一个傅里叶级数。假设我知道系数我想说,如果我求导会发生什么?对它求导。你会得到一个导数的和带来一个因子ik。这就是规则。简单,但很重要。这就是傅里叶级数的伟大之处因为有了正交性然后就有了这个简单的导数法则。它只是带来了一个因子ik所以导数确保了函数的噪声更大系数也更大。
如果求f (x - d)把x换成x - d,得到ck e ^ (ikx) e ^ (- ikd)对吧?我用x - d代替x,这里我看到移位函数的傅里叶系数- ck是f的傅里叶系数,当我移位f时,它将这个系数乘以相变。震级保持不变,因为这是一个数字,每个人都知道这是一个震级1的数字,只是相移。这两条规则说明了为什么可以在微分方程和差分方程中使用傅里叶级数。谢谢你!
你也可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(中文或英文)以获得最佳网站性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。