好的。这是第三章的第二个视频。还是用图片。但这是二阶方程的图像。我会把它们——这些会很不错。我们会知道公式。这些都是常系数的二阶线性方程。我们知道这个解,有两个特解,e ^ (s1t)和e ^ (s2t)两个零解,任意组合都是零解。金宝搏官方网站我们讨论的是零方程,右边是0。我们只需要画出这样解的图。金宝搏官方网站
这里有个神奇的词,相平面,相平面。我们要画平面上的图。因为这就是黑板。我们选择的坐标轴是y和y ',而不是t,你会看到t,时间,是如何进入图像的。我们有y和y '两个轴。
所以我要算出y '是多少。这一项减去s1,这一项减去s2。这是一个例子。这是第一个例子。
我取这个特殊的方程。注意,阻尼项是负的。阻尼是负的。这是不稳定的。金宝搏官方网站解趋于无穷。我可以找到这些解。金宝搏官方网站因为你知道我要找的是e ^ st,我总是要找e ^ st,代入e ^ st,两次求导得到s ^ 2,一次求导减去3s,加2等于0。因式分解,得到2s1 = 1 s2 = 2。现在就可以画相平面图了。
好的。相平面图,这是我的解。金宝搏官方网站S等于1或2。导数是1或2。这是我的平面。这是我的飞机。我想用它来画解。金宝搏官方网站这些解,我有金宝搏官方网站公式。我只是想把它们画出来。我在画。
一个例子是c1 = 1, c2 = 0。所以它消失了。C1 = 1。我只有那张照片。在相平面上,在y '平面上,当这是y,这是y '时,会有什么样的图像呢?它们是相等的。
所以这个解的y = y '沿着45度线Y = Y '就像y = x y ' = y,这条45度线上发生了什么?解就是这个解,在直线外。随着t的增加,y和y '都增加。我出去了。t趋于无穷。
t→负无穷呢?因为我们已经了解了全部情况。当t→负无穷时,这个→0,这个→0。这里是宇宙开始的地方。大爆炸就在t =负无穷处。随着t的增加,这个点,y, y ',沿着45度线移动。因为y = y '在这里。
那这条线的其他部分呢?如果c1是负的,如果c1是负的这里就有一个负号,这里也有一个负号。只有负号。我就会越过那条线。这是我整个平面上的一条线,但不是全部。
现在我把c1 = 0作为第二条直线。所以e ^ t没有变化,取y为e ^ 2t, y '就等于2e ^ 2t。好的。这个溶液的相平面上发生了什么,现在看看这个?
在这个解中,在这种情况下,y ' = 2y y ' = 2y,所以我在y '上,y ' = 2y,这是一条更陡的线。就是这样,这条直线上c2 = 0。在我们画的第一条直线上没有e ^ 2t。在我们画的第二条直线中,c1 = 0。没有e ^ t,所有都在e ^ 2t中。
所以现在这条直线上c1 = 0。好的。然后我们就出去了。随着t的增加,y '增加得更快。因为因子2。所以它急剧上升。它是这样的。当c2是负的时候,如果我用一个负号和一个负号,我就会在同一条直线上从另一个方向向下走。这仍然是大爆炸,t =负无穷,一切从这里开始。好的。
这是两条线,相平面上的两条特殊线。现在我要画出所有其他的曲线。它们是曲线。他们将从哪里来?它们将来自一个组合。现在我准备好了。
取c1 = 1 c2 = 1的情况。是啊,为什么不呢?C1 = 1。擦掉c。c2 = 1,擦掉c2。现在我有了另一个解,y和y '我想把它放到相平面里。所以在每一个t值处,每一个t值处都是一个点。这是y的值,这是y '画出点y和y ',然后看图片。
同样,随着t的变化,随着t的变化,我将沿着相平面的解曲线移动。我要一起去。随着t的变化,y会增加,y '也会增加。我这就去。但我不在这条直线上,也不在这条直线上。因为这些是只有两个解之一的情况。金宝搏官方网站这些是特解。金宝搏官方网站现在我有了一个组合。
当t趋于无穷时会发生什么?当t趋于无穷时,这个胜出。当t趋于无穷时,e ^ 2t大于e ^ t,所以这是较大的一项。所以它接近。这条曲线会越来越接近斜率为2的直线。2是这里的赢家。
但在t等于负无穷时,在大爆炸附近,在t等于负无穷时,e的2t次方更小。所以在t = -∞时,或者说t = - 10时,这是e ^ (- 10)这是e ^ (- 20)非常非常非常小。这些会胜出。
所以这个解的情况是它沿着t给出的这条线开始,t的指数也不是那么小。它从这条线开始。但是t在增加。当t经过某一点时,2t会大于t,我猜,在t = 0时,2t会大于t,从这一点开始,从t = 0点开始,哦,我甚至可以把t = 0画出来。
t = 0时,y = 2 y ' = 3。所以在1 2 1 2 3;就在那里。曲线从e ^ t较大的直线开始。它们在t = 0时大小相同,都等于1。这是t = 0的时候。在大多数情况下,这个会胜出。我接近这条直线。
我不知道你们能不能看到那个曲线。我不确定曲线的斜率。但在这中间充满了以这个斜率开始,以这个斜率结束的曲线。这里也是一样,从这个斜率开始。这张图可能更好看。是的。这是一张更好的照片。是的。它会随着斜率上升。最后斜率是2,向上。 Yeah. That looks good.
你可以说我只画了相平面的一部分。你完全正确。如果我从这里开始,你认为会发生什么?如果开始时y的值是这么大,y '的值是多少?它会有c和c的混合物。我还没画出的其他曲线来自另一个c和c。
c1 = 1和c2 = 1。c1 = c2 = 1。但现在我有了更多的可能性。他们所做的就是——假设我从这里开始。它会接近。这是赢家。这是赢家。当c = 1时,在这种情况下,就会出现大赢家。
所有的曲线都平行于这条线。或者在这里,它们平行于这条线向下摆动。所以这里的情况会这样。这是相平面。
我可以再举一个例子来说明这是一个源吗?这叫做源。因为解趋于无穷。无论从哪里开始,解都趋于无穷。它不稳定,完全不稳定。
现在如果我把阻尼换成正的,那么这里就会有一个正号。这些是加号。我可以让s = - 1,或者s = - 2。所以当阻尼为正时,就会自然衰减。这张图是一样的,除了所有的线都指向(0,0)解的阻尼金宝搏官方网站为0,0;到什么都没发生。所以我只是沿着相同的线,但是方向相反。所以这不是大爆炸,而是宇宙的尽头,t等于无穷。
好的。我准备再拍一张这种可能性的照片。取方程y ' ' = 4y。所以方程是s²= 4 s = 2或- 2。当我画出相平面和解的时候,解是c1 e ^ (2t)和c2 e ^ (- 2t)金宝搏官方网站从a 2到a - 2。这是我们都知道的解决方案。
现在我要计算它的斜率。Y '等于2c1 e ^ (2t)减去2c2 e ^ (2t)现在你只想让我画这些图。你只需要我画出这些图,让我试着说一下这里发生了什么。
这是一个鞍点。这叫做鞍形,在一个方向上,东西在增长,而在另一个方向上,东西在减少。所以大多数解,如金宝搏官方网站果c1不为0,增长就会占上风,然后它就会消失。但也有可能c1 = 0。这里有一条直线。这里有一条线。也许我可以试着画出来。
我还是画一条直线,c1 = 0。所以这条直线就来了。这是负号。这条线是向中心的。这就是我们有马鞍的原因。我们沿着这条线接近一个鞍形,这里是- 2,所以我认为斜率是- 2。斜率是这样的,这是y,这是y '这是- 2的斜率。这就是这条曲线。
所以我们恰好在这条线上是非常特殊的。所有其他点,相平面上的所有曲线,都有c1在其中。然后这个会接管。这就得到了斜率。这是2乘以这个。所以这条线是每个人都想去的地方。只有从这条直线开始你才能得到这个图像,然后你进入马鞍。
这里不是大爆炸,也不是宇宙的尽头,而是鞍点,我们从这幅图中得到这条最特殊的线。但这几乎总是占主导地位的。然后我们出去了。
如果我取一个典型的起点,我会像这样,或者像这样,哦不。是的,没有。我要出去。它必须熄灭。如果我从这里开始,这些可能是它们是向这个方向延伸的双曲线。我不认为它们是双曲线。
我们可以从这里开始。因为这里有很大的数。然后是e ^ t。然后我们出去了。这些都出去了。这些会熄灭。这些都出去了。这是一条大直线。这条线是从这里开始的。这是所有东西都想去的地方,所有东西最终都是这样,除了c1 = 0的那一行。
所以主导项不在这里。然后我们应该向内看。鞍点是一个特殊的点如果你走正确的路,你可以走出去。或者你可以进来,如果你走另一条特别的路。
好的。这就是源头,水槽和鞍座。我还需要画出这些图,其中包含了来自复数s的螺旋,这里有振荡。这是下个视频的内容。
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