好的。这是第二个关于这些照片的讲座,与轴的相平面y, y ',为二阶常系数线性的,好问题。好问题。
你记住,我们研究这个方程通过寻找特殊解决方案y = e的圣代入方程,我们得到了这个简单的二次方程。金宝搏官方网站一切都取决于。今天视频是关于这种情况的根源是复杂的。你还记得,所以根,复杂的根源,你有实部,加上或减去一个虚部。这发生在b方小于4 ac。
因为你还记得,有一个平方根的公式解二次方程。有平方根b方- 4 ac,从学校一般的公式。如果b方是较小的,我们有一个负数的平方根。我们得到复杂的根源。上次根是真实的。照片的相平面出发到正无穷,或者是在为0,或多或少几乎直线。
现在我们要有曲线和螺旋,因为复杂的部分。这里有三种可能性。我们上次有三个。以下是其他三个复根。所以复杂,真正的一部分,一切都取决于这个实部稳定,外出,呆在一个圆取决于真实的一部分。
如果实部为正,那么我们出去。我们有一个指数e + iωt。如果是正的,e的炸毁,不稳定。这是不稳定的。
这是一个中心。当一个为零,那么我们只有e iωt。这就是最好的例子。我一分之一。在这种情况下,我们在一个圆或椭圆。最后,我们有阻尼的物理问题,但不是太多的阻尼。所以根源仍是复杂的。但是他们。因为如果是负的,e的是0。这是一个稳定的情况下。
这是一个物理的情况。我们希望有一个小阻尼系统,并保持稳定。这个我们可以说中立稳定。这个肯定是不稳定的。让我从这开始,中立的稳定。因为那是最著名的方程在二阶方程力学。
纯振荡,弹簧上下,来回一个LC电路,纯振荡。和我们看到的解决方案。金宝搏官方网站所以我写的,我已经拍了这个方程。你注意到没有阻尼。没有y '。好的。这是解决方案,著名,著名的解决方案。和y '这将是c1,我猜正弦余弦函数的导数是-ω乘以ωt + c2。的导数是ω因为ωt。
这是y, y '。所以对于每一个t,这将是一个简单的人物。这是y。这是y '。这就是相平面,相平面。所以在每个时间t,我有一个y, y '。它给了我一个点。所以我把它放在那里。
随着时间的移动动作。相平面上的图像,轨道有时你可能会说,这就像一颗行星或月球。因此,的轨道是什么?它绕在一个椭圆。这将是一个圆,我画出来。这是ω= 1。在这种情况下,最著名的案例中,我们只是绕一个圈。
y, y '。我们有余弦和正弦和因为平方加上正弦平方是1平方。我们在一个半径为1的圆,这取决于初始条件或另一个循环。
这里一个因素ω,给y '一个额外的推动。所以如果ω2,例如,那么我们就会有一个从ω2 y ',这不是在y。这将使y '有点大。,这将是两倍——它会上升两倍,这意味着,本来就是一个椭圆与高度2,或一般ω,1。
所以在y方向上没有因素ω。我们只是有余弦和正弦。那就是一个典型的相平面的照片。但如果我们从较小的初始条件,我们将乘坐另一个椭圆。但关键是,这些被称为,这张照片被称为中心。
这是一个六个可能性,在某种程度上,最美丽的。省略号在相平面。他们关闭。因为每段时期的解决方案只是重演。这是周期性的。y是周期性的。y '是周期性的。他们在一次又一次。没有能量损失,能量守恒,完美。
我想说中立稳定,中性稳定。解决方案不进入0。因为没有阻尼。它不去无穷。因为有恒定的能量。相平面上的图像。
好的。这是中心。现在我要画一个源,或下沉。我只需要更改登录阻尼源或下沉。让我这样做。所以现在我要做一个螺旋源或下沉。这是不稳定的,出去无穷。这是稳定为0。让我做y ' ',加上或者减去4 y ', + 4 y = 0。我假设方程。
然后我有s²+ 4 s,哦也许——也许2是一个更好的数字。2比4。让我改变这2和2。所以我有s²+ 2 + 2或- 2年代+ 2 = 0。这就是我——积极阻尼会加上。所以有一个加号,根是s²+ 2 s + 2。根是1或者- 1 +或- i。
加号、减号,- 2。然后所有的根部有一个+,+或- i。一切都取决于这些根基,这些指数,特殊的特征方程的解决方案,简单的二次方程。金宝搏官方网站你看到,根据正阻尼或负阻尼,我得到稳定或不稳定。让我画一幅画。
我不,如果我可以在相同的两张图片,可能不会。这不会是聪明。那么发生了什么?让我们看这一个。所以这个解决方案y是e - t。这就是使它稳定进入0,倍,从这里我们有c1因为t和c2正弦t。这是我们从往常一样,在一个中心的情况下,我们绕着圈。
所以发生了什么在这张照片,在这个阶段飞机吗?这是一个相平面,y, y '。没有- 1,我们有一个中心。我们只是绕成一圈。但是现在因为- 1,即因子e - t的解决方案,我们绕进来。这个词,螺旋曲线。
这是中心,绕成一个圈。现在假设我们从这里开始。假设我们从y = 1, y '等于0,开始在时间为0。让时间走。我们去的地方。这个y, y ',是点,y, y ' ?好的。
我开始在,所以我可能以c1为1,和c2 0。所以我在这里开始。然后我会沿着,取决于正弦。我就去,我想,也许这种方式。所以它将旅行——它非常快,当然可以。因为指数是一个功能强大的家伙,e - t。这就是解决方案,阻尼为0。
这是加号,加阻尼,使负号的年代,在指数。然后这是一个螺旋下沉。水槽的意义就像水在浴缸里流动,这是发生了什么。
现在发生在我们螺旋来源与一个负号。现在我们有一个1。现在我们有一个e + t。一切都在增长。而不是腐烂,我们周围但增长——好的。我要离开董事会,董事会与螺旋。它将继续,但爆炸无穷。
这是三种可能性对于复杂的根源,中心,螺旋源,循环水槽。真实的根普通的来源,和普通沉,没有螺旋。然后另一种可能性是一个鞍点,几乎肯定我们出去。但是有一个方向,来到鞍点。
好的。这六个图片要控制整个问题的稳定,这是我们下一个话题。谢谢你！
