好的。这个视频讲的是用特征向量和特征值求矩阵的幂,我会告诉你们为什么我们要求矩阵的幂。下个视频将会用特征值和特征向量来解微分方程。这两大应用。
这是第一个应用。让我回忆一下主要事实。如果A——如果。这一点很重要。并不是每个矩阵都有n个独立的特征向量可以进入矩阵V,记住V是特征向量矩阵,我需要n个独立的特征向量来得到V逆,来使这个公式正确。这就是使用特征值和特征向量的关键公式。
我们可能缺少特征向量的情况是当一个特征值是重复的。它是一个二重特征值,也许只有一个特征向量与之匹配。每个特征值至少有一行特征向量。但是当特征值是重复的时候我们可能没有2。所以有些情况下这个公式不适用。因为我必须能取V逆,我需要n个独立的列。好的。
但当它起作用时,它就真的起作用了。所以n次方,记住,是V V逆,V V逆,n次。但每次我有V逆和V,这就是恒等式。所以我在开始时把V移出去。我有,有,有n个,最后还有一个V逆。这是矩阵的n次方的很好的结果。
现在我要向你们展示如何使用这个公式,如何使用特征值和特征向量。好的。我们知道我们可以求矩阵的幂。首先,什么样的方程?这是一个方程。这叫做差分方程。从第k步到第k + 1步再到第k + 2步。它一次一步,每次都乘以a,所以在k步之后,我从原来的u0乘以了a k次。
所以不是微分方程,而是阶跃差分方程u0是给定的。这就是解决方案。这是最快的解法。A的k次方,这就是我们想要的。但是如果我们有一个大矩阵,只写A的k次方,求它的100次方是很荒谬的。但是有了特征值和特征向量,我们就有了这个公式。
好的。但现在我想思考。让我试着把这个公式变成你能自然看到的东西。我们知道会发生什么。如果u0是一个特征向量,如果u0是一个特征向量,那可能不会发生因为只有n个特征向量方向。但如果它恰好是一个特征向量,那么每一步我们都乘以,我们就会得到答案,k乘以。
但是对于所有的初始向量u0它可能不是特征向量,我们该怎么做呢?我该怎么做?当我的初始向量不是一个特征向量时我如何使用特征向量?答案是,它将是特征向量的组合。
让这个公式实数是从这个开始的。所以我把u0写成特征向量的组合。我可以这样做,因为如果我有n个独立的特征向量,那就是一组基。每个向量都可以写成基。所以我在看一个特征向量的组合。
现在重点是,当我取u1时,u1是多少?u1是Au0。所以我乘以A,当我乘以A时,会发生什么?这才是重点。c1 A * x1等于1 * x1。它是一个特征向量。c2告诉我第二个特征向量有多少。当我乘以A时,它乘以2,以此类推,cn n xn,这就是问题所在。每个特征向量都有自己的方向,我只是把它们加在一起。
好的。那么A的k次方呢?这就得到了uk。如果我这样做k次会发生什么?你也见过我做过一次之后的下场。如果我做k次,这个1乘以它的特征向量会发生k次。
所以我有1的k次方。你看到了吗?每一步都有一个因子1。每一步都有一个因子2。每一步都会带来——这就是答案。这个答案肯定和这个答案相同。我马上会举一个例子。
现在,我只是把公式弄清楚。所以我有了最快的公式,但它并没有多大帮助。我用特征向量和特征值公式。这里我有它,实际上,它是同样的东西写成特征向量的组合。这就是我的答案。这就是我的答案,这就是我的解uk。就是这样。所以这个和这个是一样的。
你们愿意花一分钟思考一下为什么这个答案和那个答案是一样的吗?我们需要知道c是多少?c来自于u0。如果我写出c的方程,你看到我得到的c的方程了吗?U0是特征向量的组合。
这是矩阵乘法。这是特征向量矩阵乘以系数向量c,对吧?这就是矩阵乘以向量的方法。列,也就是x,乘以c1 c2 cn。就在那儿。这个和这个是一样的。u0 = Vc。所以c等于V逆u0。哦,太好了。它告诉我们系数是什么,数字是什么,u0中每个特征向量的数量是多少。 This is the equation.
但是看,你看到V逆u0,这是公式的第一部分。我试着把这个公式和那个匹配起来。我要进一步认识到公式的这一部分就是c,你们可能需要考虑一下。再播放一次这个视频,看看这一步。
现在我们要做什么?我们得到了。所以我要考虑c,你可以说。现在我需要的k次方,1的k次方,2的k次方,n的k次方。这就是这里的内容。所以这个因子产生了的k次方。
最后,这个因子,大家都记得。V是特征向量矩阵x1 x2到xn,当我乘以V时,它是一个矩阵乘以一个向量。这是一个矩阵。这是一个向量。我得到了这个组合,我把它们加起来。我在重构解。
首先我把u0分解成x。我把它们乘以,然后把它们放在一起。我重建了英国。希望你们喜欢。这个公式,就像常识公式一样,正是代数公式,矩阵公式所表达的。
好的。我要举个例子。让我用一个例子来结束。好的。这是一个矩阵的例子。A等于——这是一个特殊的矩阵。我要让第一列相加等于1,我要让第二列相加等于1。我用的是正数。它们和1相加。这叫做马尔可夫矩阵。 So it's nice to know that name-- Markov matrix.
线性代数的美妙之处在于矩阵的多样性——正交矩阵,对称矩阵。我们会看到越来越多种类的矩阵。有时它们是以某些人的名字命名的,这些人明白它们的重要性,发现了它们的特殊属性。马尔科夫矩阵是一个列相加等于1的矩阵没有负数,没有负数。好的。顺便说一下。
但是它告诉了我们一些关于特征值的东西。我们可以找到这两个特征值。我们可以做行列式。你们还记得如何求特征值。行列式(I - A)等于什么。很容易就能算出来。总有²,因为它是2 × 2,减去trace。0.8和0.7等于1.5,加上行列式。0.56 - 0.06等于。把它设为0。
你得到一个结果其中一个特征值是,这个分解成- 1 - 1/2。关于马尔可夫矩阵一个很酷的事实是= 1总是一个特征值。所以= 1是一个特征值。我们称它为1。2是一个特征值,这取决于数字,它是1/2 0.5 0.5。这些是特征值。1 + 1/2 = 1.5。迹线是0.8 + 0.7 = 1.5。对这两个特征值合适吗?是的。
然后我们找到对应的特征向量。我认为这个特征向量是。我可以查一下。如果相乘,得到0.48 + 0.12 = 0.60,也就是0.6。特征值是1。我认为这个特征向量是。也许对于2乘2的马尔可夫矩阵总是这样。也许它总是第二个特征向量。我认为这可能是好事。正确的。 OK. Yeah.
好吧。现在该做什么?现在该做什么?我想用特征值和特征向量,现在我要写出uk。所以如果我对u0应用ak,得到uk。这是c1 1的k次方,这个1是1,乘以它的特征向量加上c2,不管第二个特征向量在这里有多少,乘以它的特征值,1/2的k次方乘以它的特征向量,第二个特征向量,1,负1。
这是一个公式。C1 1的k次方x1加上c2 2的k次方x2。c1和c2由u0决定,我还没选u0。我可以。但我可以说明这一点,因为我想说明的这一点对于每个u0,每个例子都成立。这就是重点。当k变大时会发生什么?如果马尔可夫一遍又一遍地乘他的矩阵,会发生什么呢,这就是马尔可夫过程中发生的事情,一个马尔可夫过程?
这就像——实际上,整个谷歌算法的页面排名是基于一个马尔可夫矩阵。这就像一个价值数十亿美元的公司建立在马尔可夫矩阵的基础上。你不断地重复。这只是意味着谷歌在网络中循环,如果它经常看到一个网站,排名就会上升。
如果它从来没有看到过我的网站,那么,当它在谷歌某些特殊主题时,它从来没有到过你的网站和我的网站,我们没有得到排名。好的。所以这个趋于0。1/2的。快到0,快到0。所以它趋于0。当然,它就在原来的位置。所以这是一个稳态。
如果页面排名只有两个网站排名,如果谷歌只是排名两个网站,会发生什么?然后是最初的排名,他们不知道是什么。但是通过重复马尔可夫矩阵这部分趋于0,因为1/2的k次方趋于0,这是排名,0.6 0.4。这就是谷歌,所以第一个网站的排名会在第二个网站之上。
好的。这是一个反复的过程的例子,所以就有了马尔可夫矩阵。加起来等于1意味着没有损失。没有什么是被创造出来的。你只是在移动。每一步都是马尔可夫步。问题是,你会在哪里结束?你继续移动,但是这个向量告诉你你在两个可能的位置上花费了多少时间。这个趋于0。
好的。矩阵的幂,马尔可夫矩阵的幂。谢谢你!
您也可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。