行。所以这是关于对称矩阵和复杂矩阵的“准备方式”视频。我们将在微分方程的二阶系统中看到对称矩阵。
对称矩阵是最好的。他们有特殊的属性,我们希望看到特征值和特征向量的特殊属性是什么?我猜这个讲座的标题告诉你这些属性是什么。因此,如果矩阵是对称的 - 并且我将使用大写矩阵 - 第一个点是特征值是真实的,这不是自动的。但如果矩阵是对称的,它总是如此。而第二个,甚至更特殊的点是特征向量彼此垂直。不同特征值的不同特征向量出现垂直。那些是美丽的财产。他们还清了。
这就是对称矩阵,这就是我刚才说的。实的,正交x。
此外,我们可以看看反对称矩阵。转置是减去矩阵。在这种情况下,我们没有真正的特征值。事实上,我们肯定有纯粹的虚构的特征值。我在虚构的轴上倍。
但再次,特征向量将是正交的。但是,它们也将很复杂。当我们有反对称矩阵时,我们进入复杂的数字。即使矩阵是真实的,也无法帮助它。
然后最后是正交矩阵的家庭。这些矩阵具有1大小的特征值,可能是复杂的。但是数量的数量是1.再次,特征向量是正交的。这是实际,虚构和单位圈的大家庭,为特征值。
行。我想做例子。所以我只有一个例子。
所以有一个对称矩阵。有一个反对称矩阵。如果我转移它,它会改变符号。这是一种组合,不对称,而不是反对称,但仍然是一个很好的矩阵。并且存在正交矩阵,正交列。这些列有长度1.这就是为什么我有2的平方根。
所以这些是这里的特殊矩阵。我可以绘制复杂飞机的一点图片吗?有真正的轴。这是虚构的轴。这是单位圈,不是很大的圆形,而是关闭。
当S转置等于S时特征值在实轴上,当A转置等于- A时特征值在虚轴上,当Q转置Q是单位圆时特征值在单位圆上。Q转置在这种情况下等于Q逆。Q转置等于Q逆。这里的转置就是这个矩阵。这里的转置是负的矩阵。你可以看到特征值的漂亮图像,它们在哪里。所有这些的特征向量都是正交的。让我找到他们。
这个对称矩阵有= 2和4。轨迹是6。行列式是8。这是正确答案。等于2和4。x = 1, 2 = - 1。对于4,是1和1。
正交。正交特征向量 - 采用那些的点产品,你得到0和真正的特征值。
怎么样?反对二手。等式I--当我做λ减去A的决定因素时,我得到了Lambda Squared Plus 1等于0。这让我带来了Lambda Squared加1等于0.因此,给我lambda是我和负责的,在想象中的轴上。我猜该矩阵也是正交矩阵。那些特征值,我和减去我也在圈子上。这样A也是一个Q. OK。
那个特征向量是什么?我认为特征向量结果是1我和1减1。哦。那些是正交的。我必须告诉你关于复杂向量的正交性。让我完成这些例子。
这个特征值呢?好吧,这是一个简单的。你能把它连接到a吗?B只是一个加上3倍的身份 - 将3放在对角线上。所以我期待在这里lambdas是 - 如果在这里,他们就是我和减去我。我所做的只是加3倍的身份,所以我只是在增加3.我正在转移3.我有3加我和3减去我。和相同的特征向量。
所以这是一个复杂的数字。该矩阵并不完全反对。它并不完全对称。所以给了我一个3加我的地方不在轴或该轴或圆圈上。其中 - 3加我和3减去我。
最后,这个,正交矩阵。它的特征值是什么?让我们来看看。我可以看到,这里我加上了1乘以恒等式,就是加上恒等式。再一次,我有这个(- 1,1)加上恒等式。那么矩阵中就有1 + I和1 - I。然后除以根号2,根号2。这些数字,当你看到这个数字时,你会认出来,它在单位圆上。它在单位圆上的什么位置?1加i, 1加i除以根号2。 Square root of 2 brings it down there. There's 1. There's i. Divide by square root of 2. That puts us on the circle. That's 1 plus i over square root of 2. And here is 1 plus i, 1 minus i over square root of two. Complex conjugates.
当我说“复杂的缀合物”时意味着我每次我都会减去一个减去我。我翻转真正的轴。我想在一分钟内做到这一点。
这些例子还有更多的经验教训吗?再一次,真正的特征值和真伊龄观察团 - 没问题。在这里,虚构的特征值。这里,复杂的特征值。在这里,圆上的复杂特征值。在圈子上。行。和每个事实,我刚才说了特征值的位置 - 它有一个简短的证据,但也许我不会在这里给出证据。这是你想记住的事实。
我可以再次下来,只是片刻,这些主要的事实?真实的,来自对称的 - 虚构,来自反对称 - 幅度1,来自正交。行。
现在我觉得我在讨论复数,我真的应该说,我应该注意这一点。复数。我有= a + ib。
这个数字的“大小”是什么意思?a + ib的模是多少?再一次,从a到b,这是复数。我想知道它的长度。每个人都知道它的长度。谢天谢地,毕达哥拉斯和他的团队还活着。它是√(a ^ 2 + b ^ 2)
注意,我怎么从这个数得到这个数?这很重要。如果我乘以(a + ib)乘以(a- ib)我有,这是(a + ib)乘以共轭,这是(a- ib)如果我把它们相乘,得到a²+ b²。所以我取平方根,这就是我所说的的大小。
所以数字的幅度是正长度。可以找到它 - 您将复杂的数字乘以缀合物。这给你一个平方加b平方,然后采取平方根。关于复杂数字的基本事实。
行。复杂的矢量呢?什么是圆点产品?什么是正确的x翻转x?好吧,它不是x转置x。假设x是向量1 i,因为我们认为这是一个特征向量。那个矢量的长度是多少?该载体的长度不是1个平方加我平方。1个平方加我平方是1加上1个是0。
这个向量的长度等于这个向量的长度的平方加上这个向量的长度的平方,再开根号。我们开始吧。x长度的平方,向量长度的平方,就是这个向量。和往常一样,我可以从点积中找到它。但我要取它的共轭。如果我想求x的长度,我要取x转置x,对吧?如果我有一个实向量x,然后我找到它与自身的点积,毕达哥拉斯告诉我我有长度的平方。
但如果事情很复杂 - 我想要减去我的时间我。我想得到lambda witts lambda酒吧。我想获得一个积极的数字。减去我的时间我是加号1.减去我的时间我加上1.所以我必须,必须这样做。
所以这真的是“正交”意味着什么。“正交复合载体”均值 - “正交向量”意味着x缀合物倾斜y是0.这就是当那些特征向量复杂时,即“正交特征向量”是什么意思。我必须记得采取复杂的共轭。而且我也为矩阵做。
所以,如果我有一个对称矩阵 - s转塞S.我知道这意味着什么。但假设s是复杂的。假设s是复杂的。然后对于一个复杂的矩阵,我将看SAR转置等于S。
每次我迁移,如果我有复杂的数字,我应该采取复杂的共轭。matlab自动做到这一点。如果您要求X Prime,它将产生 - 不仅仅是它会将一列更改为带有那个转置的一排,那个素数。它将采用复杂的共轭。
所以我们必须永远记住这样做。是的。事实上,如果S是一个复矩阵但它有这个性质,我举个例子。这是一个S的例子。1 2 i和- i,这是一个复矩阵。如果我转置它,取复共轭,就回到了s,这被称为厄米矩阵。
Hermite是一个重要的数学家。他研究了这个复杂的案例,他被理解服用共轭和转置。有时候我会把它写成他的荣誉。所以,如果我想要一个符号来做它 - Sh。在工程中,有时有一个明星告诉我,当你转移矩阵时拿缀合物。
因此,这是关于 - 让我再次下跌的主要事实 - 正交的特征向量和特征值的位置。
现在我已经准备好解决微分方程。谢谢你。
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