今天开始讲特征值和特征向量。我们需要这些的原因是解线性方程组。方程组意味着不止一个方程,n个方程。在例子中N = 2。
特征值是一个数字,特征向量是一个向量。它们都隐藏在矩阵中。一旦找到他们,我们就可以利用他们。我来告诉你们为什么特征值是被创造出来的,被发明出来的,被发现出来的是解微分方程,这是我们的目的。
那么为什么现在是一个向量,这是一个方程组。我等下会举个例子。A是一个矩阵。所以我们有n个方程,y的n个分量,A是一个n × n的矩阵,n行,n列。好。
现在我可以马上告诉你特征值和特征向量在哪里得到了回报。它们进入了解决方案。我们寻找这样的解。金宝搏官方网站当我们有一个方程时,我们寻找的是e ^ st的解,我们找到了那个数字s,现在我们金宝搏官方网站有e ^ t,我们把s变成了,没问题,但是乘以一个向量,因为未知量是一个向量。这是一个矢量,但与时间无关。这就是它的美妙之处。所有的时间依赖性都是指数函数,一如既往。x就是这个指数的倍数,你们会看到。
所以我要像这样寻找解。金宝搏官方网站我把它代入微分方程,会发生什么?这是我的方程。我代入e ^ (tx)这是y,这是A乘以y。现在,y的导数,时间导数,带一个下来。为了得到导数,我包含了。
你们看到了吗用这个漂亮的符号代入这个方程就是这个必须是正确的。我的方程变成了这种形式。现在我可以消掉t,就像我经常消掉e ^ st一样,我可以消掉e ^ t因为它不为零。我有一个大方程,Ax,矩阵乘以特征向量,等于x,这个数,特征值,乘以特征向量。不是线性的,请注意。两个未知数相乘。一个数乘以向量x。
我要找的是什么?我在寻找向量x,特征向量,所以乘以A——用A乘以x得到一个数字乘以x,它和x方向相同只是长度改变了。如果= 1,Ax = x,这是允许的。
如果= 0,那么Ax = 0。没关系。我不想让x = 0。这是无用的。这对知道0是一个解没有帮助。所以x不为0。可以是任意数。它可以是实数,也可以是复数,你们会看到。即使矩阵是实数,也可以是复数。不管怎样,Ax = x,这是个大方程。 It got a box around it.
现在我准备举个例子。在这个例子中,首先,我要找出特征值和特征向量在没有系统的情况下,在2 × 2的情况下。我将给出一个2 × 2矩阵a,我们将找到和x,然后我们将得到微分方程组的解。好。
有系统。这是y1的第一个方程,'的意思是导数,d比dt,时间导数,是线性的,常系数。第二个,线性,常系数,3和3。这些数,5 1 3 3,代入矩阵。这个问题就是y ',向量的导数,等于A乘以y,这就是我的问题。
现在特征值和特征向量将解出它。我只看这个矩阵。矩阵的问题。特征值是什么,这个矩阵的特征向量是什么?记住,我想让Ax = x。
我发现了第一个特征向量。1、1。我们可以检查一下它是否有效。如果我用A乘以这个特征向量,你看到当我乘以1时会发生什么吗?得到6。得到6。所以A乘以这个向量是。这是6乘以。好了。找到第一个特征值。 If I multiply A by x, I get 6 by x. I get the vector 6, 6.
现在,第二个问题。再一次,我提前做了,得到了这个特征向量,我想它是1 - 3。我们乘以a,试试第二个特征向量。我应该称第一个为x1和。我应该称这个为x2和2。我们可以找出2是什么,当然,一旦我找到特征向量。我只是用A乘以x来识别特征值。
所以5 1乘以这个等于5减去3等于2。这是一个2。这里是2。从,3 - 9 = - 6。这就是我给Ax买的。这是x,当我做乘法时,Ax得到2 - 6。好。
输出是输入的两倍。特征值是2。对吧?我在寻找输入,特征向量,所以输出是一个数字乘以那个特征向量,那个数字是,特征值。现在我找到了这两个。对于2 × 2矩阵,我希望是2。你很快就会明白为什么我期望有两个特征值,每个特征值应该有一个特征向量。
这就是这个矩阵。所以我现在有答案了。y (t)代表y1和y2 (t)这是e ^ (tx)记住,这就是我们要找的图像。
第一个是e ^ (6t * x)也就是(1,1)如果我把它代入方程,方程就解出来了。还有,我还有一个。E的2次方是2t。E的t次方乘以它的特征向量,1 - 3。这也是一个解。一个解决方案,另一个解决方案。
我怎么处理线性方程呢?我带的组合。这个的任意c,加上这个的任意c仍然是一个解。这就是叠加,给线性方程加解。金宝搏官方网站这些是零方程。在这些方程中没有力项。我不是在处理一个力项。我在寻找零解,方程本身的解。金宝搏官方网站
我有两个解,两个系数要选。金宝搏官方网站我该如何选择呢?当然,我满足初始条件,所以在t = 0时。在t = 0时。t = 0时,y (0)这是已知的初始条件,y和y。
我让t = 0,这当然是1。当t = 0时,这是1。就得到c1 * (1,1)c2,还是t = o时的1,乘以1 - 3。这决定了c1和c2。和往常一样,C1和c2来自于初始条件。
所以我在解两个一阶常系数线性方程,齐次的,意思是没有力项。所以我得到一个零解,它有常数可选,和往常一样,这些常数来自于匹配初始条件。所以初始条件是一个向量。举个例子,如果y(0) = 2 - 2,那么我想要其中一个和另一个。好的。
我用特征值和特征向量来解线性方程组,这是它们的首要和主要目的。好的。但是我怎么找到那些特征值和特征向量呢?那其他属性呢?特征值和特征向量是怎么回事?我可以多花几分钟时间来讨论特征值和特征向量吗?基本事实,下节课我会讲如何找到它们。好的,基本事实。
基本的事实。从Ax = x开始,假设我们找到了。你能告诉我A方的特征值和特征向量吗?我想知道A方的特征值和特征向量是什么。它们和这些有联系吗?假设我知道x和A的,那么A的平方呢?
好的是特征向量对于A²是相同的。让我来演示一下。我说的是相同的x,所以这是相同的x,相同的向量,相同的特征向量。特征值是不同的,当然,对于A的平方,特征向量是相同的。我们看看A ^ 2会发生什么。
这是A乘以Ax,对吧?一个A,另一个Ax。但Ax = x,你们懂吗?这就是A乘以Ax。这是好的。现在是一个数。我喜欢把它拿出来,让我看得到。所以我什么都没做。这个数乘以所有的数所以我把它放在前面。
现在斧子。这里还是Ax。还是x,因为我看到的是相同的x,所以得到相同的。这是x,另一个。有²x,这就是我想要的。A ^ 2 x等于x ^ 2。
结论。特征向量保持不变,到的平方。特征值是平方的。
如果我再举一个例子,哦,让我找到那个矩阵。假设我有相同的矩阵我对A的平方感兴趣,那么特征值就是36和4,平方。我假设我在看一个矩阵的n次幂。你可能会问为什么要看n次方?但是有很多例子可以考虑矩阵的n次幂,一千次幂。
我们把结论写下来。同理,A的n次x次方是。x是一样的,每次乘以A,都乘以。得到n乘以。这是一个简单的规则。
这就告诉了我们特征值的用处。特征值对随时间移动的物体很有用。微分方程,它在时间中移动。N = 1是第一次,或者N = 0是开始。一步让n = 1,再一步让n = 2。继续。每一步都要乘以。
这是一个非常有用的规则。另一个方便的规则是A加恒等式是什么?假设我把单位矩阵加到原始矩阵上。特征值发生了什么?特征向量发生了什么?基本的问题。或者我可以用一个常数乘以单位矩阵,2乘以单位矩阵,7乘以单位矩阵。
我想知道它的特征向量是什么。答案是一样的,同样的x。同样的x,我通过求出这里的值来证明。这是Ax,也就是x,这是c乘以恒等式乘以x,恒等式没有任何作用,所以就是cx。
现在我得到了什么?我知道特征值是+ c,所以这是特征值。我把它看成是将A平移一个单位矩阵的倍数。移动A,加上5倍的恒等式。如果我对任何矩阵加上5乘以单位矩阵,这个矩阵的特征值就增加5。特征向量保持不变。
所以只要我继续处理这个矩阵a取幂,加上单位矩阵的倍数,然后取指数,不管我做什么,我都保持相同的特征向量,一切都很简单。
如果我有两个矩阵,A和B,有不同的特征向量,那么我不知道A + B的特征向量是什么。我不知道这些。我不能说出A乘以B的特征向量因为A有它自己的小特征向量B有它自己的特征向量。除非它们是相同的,否则我不能轻易地将A和b结合起来。但一如既往,我只使用一个A,它的幂和步骤就像这样,没有问题。
好的。我就讲到这里先看看特征值和特征向量。
你也可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(中文或英文)以获得最佳网站性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。