微分方程和线性代数,6.4 B:矩阵相似,A和B = M ^(1) * *米
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一个和B”类似“如果吗B=米1我对于一些矩阵米。B然后有相同的特征值一个。
好的,谢谢。这是第二个视频,涉及到矩阵指数。但它有一个新想法,一个基本的新想法。这想法是两个矩阵被称为“相似”。So that word "similar" has a specific meaning, that a matrix A, is similar to another matrix B, if B comes from A this way. Notice this way. It means there's some matrix M-- could be any invertible matrix. So that I take A, multiply on the right by M and on the left by M inverse. That'd probably give me a new matrix. Call it B. That matrix is called "similar" to B. I'll show you examples of matrices that are similar. But first is to get this definition in mind.
一般而言,很多矩阵是相似的,如果我有一定的矩阵a,我可以把任何,我会得到一个类似矩阵b,有很多相似的矩阵。重点是所有这些相似矩阵有相同的特征值。所以有小矩阵的家庭,所有相似和相同的特征值。为什么他们有相同的特征值?一行,我就告诉你。
假设B的特征值λ。所以B M逆。所以我有这个。M逆AMx Bx是λx。。B的特征值λ。我想表明,有一个特征值λ。好的。
所以我看这个。我两边同时乘以m .取消这个。所以当我乘以M,这是走了,我有AMx。但是M出现在右边,我有λMx。现在我想看,我说,是的。一个有一个特征向量与特征值λ- Mx。这一次向量是λ乘以向量。所以λ是a的特征值都有不同的特征向量,当然可以。如果矩阵有相同的特征值和特征向量,这是相同的矩阵。但如果我这样做,让一个M矩阵,特征向量变化。 Here they were originally x for B. And now for A, they're M times x. It does not change the eigenvalues because of this M on both sides allowed me to bring M over to the right-hand side and make that work. OK.
这里有一些相似的矩阵。让我带一些。所以这将是相似的。说2、3 0 4。好吗?这是我可以看到它的特征值矩阵a是2和4。好吧,我知道这将是类似于对角矩阵。所以有一些矩阵M,连接这个和这个,连接这A与B, B是资本λ。我们知道矩阵连接原其特征值矩阵。米,这是什么? It's the eigenvector matrix. So to get this particular-- to get this guy, starting from here, I use M is V for this example to produce that. Then B is lambda.
但也有其他的可能性。所以让我看看。我认为可能是一个矩阵,矩阵,一个转置。这是类似于一个吗?是转置类似?回答,是的。
转置矩阵有相同的特征值,2和4,不同的特征向量。和这些特征向量将连接的原始或转置。所以一个矩阵的转置矩阵相似。
如果我改变订单呢?4,0,0,2。所以我刚刚翻2和4,当然我没有改变特征值。你可以找到这样的M。你可以找到一个M,这样如果我左边右边乘以M和M逆,它会翻转。这是另一个矩阵相似。哦,可能会有更多。
所有我想做的是特征值是4和2。我只是创建一些更多的吗?这是一个0,6。我想获得正确的跟踪。4 + 2匹配0 + 6。现在我必须得到正确的决定因素。有8的行列式。一个2 - 4呢?我认为我有跟踪正确——6。和我有行列式正确——8。 And there the determinant is 8. So that would be a similar matrix. All similar matrices. A family of similar matrices with the eigenvalues 4 and 2.
所以我想做的另一个例子相似矩阵。有什么不同在这个例子会失踪的特征向量。所以我说,2 2 0 1。所以,特征值2和2但只有一个特征向量。
这是另一个矩阵。说,所以跟踪应该4。行列式应该4。所以我把一个2 - 2。我认为,正确的跟踪,4,和伟大的行列式,也4。这样会有特征值2和2和只有一个特征向量,这是类似的。
这是重点。你可能会说,2 2 0 0。正确的特征值,但这不是相似。没有矩阵M,连接与其他矩阵对角矩阵。特征向量矩阵没有失踪。这些矩阵有一个失踪的特征向量。
所谓的约旦的形式。约旦的形式。不属于。这不是家庭。约旦形式——你可能会说,这将是约旦的形式。最美丽的家庭成员是约旦河形式。
所以我有很多的矩阵是相似的。这是最美丽的,但它不是在家里。相关但不是在家里。这不是类似。和最好的人会是这个。所以乔丹形式是一个对角线上的特征值。但是因为有缺失的特征向量,必须有一个原因的。在1,我不能有一个0。好的。这是相似矩阵的概念。
现在,我确实有一个更重要的注意,对矩阵指数的谨慎。我可以告诉你这谨慎,这警告?
如果我看e / A e B乘以B的指数的指数我谨慎,通常这不是e B, e / A。如果我把B和相反的顺序,我得到不一样的东西。它也不是e的A + b .这些都是不同的。如果我有1×1,只是数字,当然,这是伟大的规则指数。但对于矩阵指数函数,规则是行不通的。这是不一样的e / A + b,我可以告诉你为什么。
e是我+ + 1/2一方等等。e B + B + 1/2 B方等等。我做乘法。我得到我,我得到一个a,一个B倍。现在我得到1/2 B方和AB和1/2的平方。我可以放下那些吗?1/2的平方,有一次有1/2 B方。
好的。这使得这一点。如果我用指数在这个订单,我得到一次b。如果我把他们在另一个顺序,这个顺序吗?如果我用e B乘以e / A, B就会在前面的。这将成为一个英航,它可以是不同的。
我已经看到,这两个是不同的。是e, e的B。它有一个B。如果我这样做之前,它会有B之前如果我这样做,它会有一个混合物。e的A + B将有一个我和一个A和B和1/2 (A + B)的平方。这将1/2方+ AB + BA + B方。不同了。
现在我有一种对称的a和B的混合物在这种情况下,我之前有一个B。在这种情况下,B的左边。
所有三个是不同的,即使在这个系列的术语定义的指数。这意味着系统的方程,如果系数随时间变化的,绝对是困难。我们能够解决dy dt等于说,cos (t y。
你还记得为1×1——这是可以解决的。我们把指数——解决方案是y = e的——我们集成t,得到正弦余弦t y为0。e的正弦t—
我能想的到的微分方程,它的导数。的导数e的正弦t e的正弦t。我用链式法则。e的正弦函数的导数t将再次e的正弦t, t乘以正弦函数的导数,因为t,所以它的工作原理。这很好解决方案。
但是如果我在这里矩阵——如果我有矩阵,然后整个事情出错。你可以说链式法则是错误的。你不能把积分然后求导,期望它回来了。链式法则不会工作矩阵指数函数,简单的链式法则。事实是我们没有很好的公式与时变系数线性系统的解决方案。金宝搏官方网站已经成为一个困难的问题,当我们从一个方程的系统方程。
这是谨慎关于矩阵指数下滑。他们是美丽的。他们工作非常如果你只有一个矩阵a。但如果两个矩阵或不同的矩阵,然后你失去好的规则,你失去了解决方案。
好的。谢谢你!
你也可以从下面的列表中选择一个网站:
表现最好的网站怎么走吗
选择中国网站(中文或英文)最佳站点的性能。其他MathWorks国家网站不优化的访问你的位置。