这是一个我认为很有趣的话题。我喜欢这个。这是关于稳定状态的稳定性或不稳定性。让我给你们看微分方程。它可以是线性的,也可以是非线性的。dy / dt等于f (y)我把它放在右边不依赖于t,它只是y的函数,什么时候是稳态?当导数为0时,有一个稳态。如果f (y) = 0时导数为0,这些特殊的y用大写字母表示。大写Y是一个数字,一个起始值,方程右边是0。如果方程右边是0,方程左边是0,dy / dt是0,没有变化。
所以解,如果f或y等于0,那么y保持在y,它一直是常数,我的问题是,如果我们从y附近开始,随着时间的推移,我们会接近y吗?在这种情况下,我会说,它是稳定的,或者说当我们在y附近开始时解会远离y吗?从大写Y?离开稳态?在这种情况下,我称之为稳态不稳定。所以是稳定的还是不稳定的,知道哪个是非常重要的。我来举几个例子,你们就会明白了。
首先从线性方程开始。这里Y是什么?这是f (y)所以如果我把它设为0,稳态是Y,在这种情况下等于0。结果是0。如果从0开始,就一直是0。这是第二个例子,logistic方程,我取系数为1。逻辑方程的稳态是什么?同样,我把右边设为0。我找到了两种可能的稳态,Y = 0或1。 That right hand side is 0 for both of those, so in both cases, those are both constant solutions, steady states. If the solution starts at 0, it stays there because the derivative is 0. Has no reason to move.
最后,令y - y³= 0。我解出y = y³,得到三个解,三个稳态。金宝搏官方网站Y也可以等于0。它可以是1,也可以是- 1。Y = Y³。y可以是这三组中的任意一组,当然,这些都是例子。实际的问题可能有正弦,余弦和指数,但这是三种明确的情况,当然,线性情况总是很好的指导。
在线性情况下,什么时候解在0附近?如果我从小开始,什么时候到0,什么时候离开?我已经准备好回答了。所以,稳定与否。在这个例子中,y = 0。这是稳定的,如果,你们看到了吗?解是e ^ (at)如果我开始,或者常数乘以e ^ (at)它什么时候趋于0?什么时候接近稳态?我需要a是负的。 That's going to be the key to everything. That number a should be negative.
在这里,我们没有a,关键是看看在这些例子中它应该是负的。我能告诉你答案吗?所以要看的是,负的还是正的,稳定的还是不稳定的,就是导数。看右边y在稳态处的导数。如果df / dy的导数是负的,那么是稳定的。这在线性情况下是正确的。ay的导数是a,我们知道当a为负时方程稳定因为解有e ^ at。A是负的。到0。
例子二和例子三呢?通过这两个例子,你就能理解整个概念。看第二个例子,y - y²。F = y - y²。我们看它的导数。它的导数是1 - 2y。求导,这里是1 - 2y。这是df / dy,这说明了什么?如果y = 0,导数是1 + 1不稳定。所以y = 0是不稳定的,另一种可能,y = 1,是稳定的,因为当y = 1时,1 - 2y,我们检查的导数,1 - 2y出来了- 1,负的,这就是稳定性的检验。 So capital Y equals 1-- you remember how those S curves went up and approached the horizontal line, the steady state capital Y equals 1? So OK with two different steady states there-- one unstable and one stable. And now here we have three steady states, and in other examples, we could have many, or they might be hard to find, but here we can see exactly what's happening.
现在看一下df / dy的导数,它是y - y³的导数。也就是1 - 3y²。同样,y = 0是个坏消息。y = 0得到1,正数,不稳定。y = 0,不稳定。而y = 1或- 1,这是另外两个稳态,然后是1- 3y ^ 2。在这些情况下Y²等于1。我有1 - 3 - 2。——它是负的。所以它们是稳定的。
你知道这个测试有多简单了吗?计算稳定状态下的导数df / dy,看它稳定还是不稳定,这就给出了,看它是负的还是正的。这决定了稳定还是不稳定。现在,我只是想简单地说明为什么,然后通过扔书给你们看一个例子,这是一个三维空间中的例子当我们在做方程组的时候会用到。对于在三维空间飞行的物体,我们需要三个微分方程,所有这些讨论,都是一阶方程的最后一个。稳定性是一个很好的话题。
这背后的原因是什么呢?测试的背后?这是我们的测试。如果df / dy = 0,这就是检验,为什么呢?我可以在这里解释一下吗?我想看看y和稳态之间的差值。我的问题是,如果它趋于0,我有一个稳定的东西。如果它爆炸了,如果y远离稳态,它就不稳定了。dy / dt等于f (Y) d大y / dt,实际上是0。大写Y是常数的稳态,同时,f (Y) = 0。 So I've just put a 0 on the left side and a 0 on the right side, remembering that capital Y solves the equation with no movement at all. It's just steady.
现在我有f (y) - f (y)我要用微积分。这一点上的函数与附近一点上的函数之差近似于,中值定理告诉我它确实是,近似于df / dy (y- 1)的导数。这就是微积分的意义——能够估计两点处f的差值。这是f,如果你喜欢,这是Y, f / Y近似等于df / dy,近似意味着越来越近似,越来越接近,当Y和Y越来越接近时。
换句话说,我得到的是一个近似的线性方程,线性方程的检验是这是a,这是a,它只是一个近似因为这不是一个真正的线性方程。我们允许更多的项,但是微积分告诉我们越接近越好,所以我们的问题是,我们会越来越接近还是不接近?答案是当a是负的时候,它就像线性方程一样。at的指数趋于0。y - y趋于0,稳定,当这个是正的,甚至是0。0是一种边缘情况。我不知道是直线上升还是趋于0,所以我只说如果它是负的,它是稳定的,如果它是正的,那么e ^ (at)就会爆炸。e ^ (at)等于y - y,它变得越来越大,不稳定。这就是这个漂亮,简单,容易应用的检验背后的推理,如果导数是负的,那么是稳定的。
很好,现在我准备给你们展示一个翻滚箱的例子。也就是说,我差不多准备好了。我要拿一本书,然后把它扔到空中。嗯,我用橡皮筋把它固定在一起,因为这本书很珍贵,不能到处扔。我想说,我是从Alar Toomre教授那里了解到这个实验的,就在今天,我问他愿意在视频中做这个实验吗?如果是,那么他会做得很好。如果没有,当我们有三个方程的时候,我会做更多的处理,因为我们是在三维空间中,但是让我给你们展示一下这个点。
所以重点是我要把这本书扔起来。它是到处摆动——不稳定——还是在轴上很好地旋转?我要把它放在窄轴上,细轴上,半英寸左右。对我来说,这是稳定的。我不像图默尔教授那样擅长接住它,但我用橡皮筋接住了。现在,这是一个轴,但我是在3D中。还有一种扔球的方式,就是这样。现在,你可以在别人的书上试试这个。
我现在要这样扔了。我要这样开始,问题是,它会稳定地这样转动吗?不。绝对不是。到处都是。要我再做一次吗?你看到它是怎么翻滚的了吗?不是那么容易抓到的。所以这是不稳定的,然后还有第三个方向。让我们来看看。 I've done the very narrow one, the middle one. Probably the third direction is this one, and if I do it-- I'm going to leave well enough alone-- it will come out stable. So two directions-- stable, one unstable-- for a tumbling box, and the website and the book have lots more details, and we'll do more.
对于这三个例子,我还想在黑板上补充一点——我能做到吗?还有一件事。我想要一张图,这是一条到正无穷远的直线,这条到负无穷远的直线。如果我举这个例子,在例子一中,dy / dt = - y a是稳定的。它是稳定的。所以这里的解趋金宝搏官方网站于0。第一个例子是dy / dt = - y,我画一条y的直线。y = 0,解,无论从哪里开始,都趋近于0。
现在我要做逻辑方程了。Dy / dt = y - y²。现在y = 0是不稳定的。Y = 0是不稳定的。Y不再趋于0。它从0开始。它会变成什么?另一个稳态,如果你记得的话,是y = 1。1 - 1 = 0。导数是0。 That's a steady state. Let me put it in here-- 1-- and that was a stable steady state. So that arrow is correct, and it goes to 1, and it's also going to 1 from above. So there is the stability line. Let me call this the stability line of y's that shows in the simplest possible picture what direction what direction the solution moves, which is the same as showing me the sine of dy dt. The sine of dy dt is positive, and this y minus y squared is positive for y between 0 and 1. Between 0 and 1, 1/2 would be a 1/2 minus 1/4 positive. So it increases, but it approaches 1.
最后,我能画出y - y³的稳定线吗?这仍然是正确的。Y = 1仍然是一个稳定点。0是一个不稳定点,但是现在我有了,或者另一种可能,- 1。我代入图中- 1。这是一个稳定的。对于y - y³的例子,我是稳定的,不稳定的,你可以看到箭头指向1和- 1,然后它们从两边都指向。这是不是一个简单的图,可以把我们从这三个点的导数(1 - 3y²)中得到的东西结合起来?此时,导数为负。我们去了。 At this point, the derivative, one minus 3y squared, was positive. We leave it. At this point, this is another stable one. The derivative df dy is negative there, and the solution approaches y equals 1. We didn't have any formula for the solution. That's the nice thing. We're getting this essential information by just taking the derivative of that simple function and looking to see is it negative or positive and getting that picture without a formula. So tumbling book, stability, and instability, and more to do in higher dimensions. Thank you.
您也可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。