来自系列:gydF4y2Ba微分方程和线性代数gydF4y2Ba
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)gydF4y2Ba
脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba为当力为脉冲(脉冲函数)时的解。这也解决了一个非零初始条件的零方程(无力)。gydF4y2Ba
好的。所以这是一个视频,其中我们用于二阶方程,恒定系数。我们寻找脉冲响应,这在整个业务中的关键功能,以及阶跃响应。gydF4y2Ba
这些就是响应。所以我叫g,它是脉冲响应,右边是一个脉冲函数,一个脉冲,在t = 0时刻一个突然的力。这就是方程。这是冲动。g是响应,我们需要一个公式。gydF4y2Ba
另一种可能性,非常有趣的可能性是,右边是一个阶跃函数。然后我们要求这个函数的响应。我按了一下开关。机器开始工作了,反应很平稳。解从0开始。gydF4y2Ba
它从r (0) = r '(0) = 0开始。阶跃响应从静止开始。当我在t = 0点点击一个开关时,这个动作就发生了,然后r (t)将上升到一个常数。非常非常重要的解决方案。金宝搏官方网站但我们会特别关注这个。gydF4y2Ba
好的。这就是等式的右边。当然,右手边不是很熟悉,不像e ^ (st)那么好,但是有一些东西-,有另一种方法来接近它-,这是一个关键的思想-,它从解一个零方程得到这个非常重要的函数。这是怎么回事?gydF4y2Ba
我从一个零方程开始,但现在它没有初始条件。这个从g(0)和g '(0)开始都是0。所有的事情都是从函数开始的。这是同一个函数。但是当我观察t = 0时发生了什么,发生的是g '立即跳到1。gydF4y2Ba
求g的另一种方法,求g的计算,就是求一个零解。我在寻找从0开始的零解。但初始导数是1,斜率是1。所以我知道g是一个组合。我知道怎么解这样的方程,零方程。还记得s1和s2吗?我看一下s²,我让这个系数是1,所以s²+ b + C = 0。得到s1和s2。gydF4y2Ba
现在我要告诉你们g是什么。这就得到了零解中的s1和s2,我们要找的是零解。所以g (t)是e ^ (s1t)和e ^ (s2t)的组合。好吗?它是这些的某种组合。我们想让它等于0。毫不奇怪,如果我减去这些,我从t = 0开始。这是1 - 1。是0。gydF4y2Ba
现在我只需要修复初始斜坡,第一个衍生,要做1.好吧,这是什么衍生物?这会带下S1。这会带下S2。在T等于0时,我得到S1减去S2。所以我会除以那个,S1减去S2。你去了。这是脉冲响应 - 一个满足这些特殊初始条件的空解决方案。gydF4y2Ba
所以这是数学中的功能,有时称为基本解决方案。这是一个解决方案,您可以从中创建所有解决方案。金宝搏官方网站这真的是对这个二阶微分方程的解决方案之母。金宝搏官方网站因为如果我有另一个强迫功能,这告诉我增长率。gydF4y2Ba
它就像一阶方程的e ^ (at)还记得利率系数为a的一阶方程的增长率e ^ at吗?现在我们有两个。不是a,而是s1和s2,这是一个特殊的函数。gydF4y2Ba
好的。我们需要更深入地了解具体情况。我给你们看一下没有阻尼时的相同函数。从最简单的情况开始。当B = 0时,B是阻尼系数,微分方程的一阶导数。我能把微分方程写下来吗?gydF4y2Ba
当B在这里0时,这没有阻尼。我只有第二个衍生品和功能。那是事情永远振荡的时候。这就是会发生什么。BY B等于0,我有纯振荡。S1和S2是振荡的余弦和凸丝。或者是那些留下指数,我omega和少量I Omega的餐厅,那是欧米茄,自然频率。gydF4y2Ba
现在,如果我把s1和s2代入,加的是s1,减的是s2,代入这里,我就得到了g (t)的一个很好的公式,这就是无阻尼时g (t)的样子。它只是震荡。gydF4y2Ba
好的。下一个例子是欠阻尼。每次都很高兴看到这些案例。这是一个很小的b值,低阻尼意味着有一些阻尼,但它足够小所以现在有一个实部,但仍然有一个虚部。gydF4y2Ba
因此,在某种程度上,当S复杂时,诀窍就是这种情况。如果我随着阻尼,增加了B进一步增加,那么我将击中有两个真实解决方案的点。金宝搏官方网站如果我推出b超出,我已经过度调整了,并且这两个真实解决方案分开了。金宝搏官方网站他们是不同的,但它们是真实的。然后我的公式,在这种情况下,过度调整,这将是最好的公式。gydF4y2Ba
但在阻尼不足的情况下,我能看到振荡。如果我只是代入s1和s2的两个解,你会看到e ^ (- 金宝搏官方网站B / 2t)出现在整个式子中。然后是sin /,和之前一样,只是现在阻尼频率比固有频率稍慢。阻尼降低了频率。在另一个视频中,我们有阻尼的公式。gydF4y2Ba
然后增加了更多的阻尼,然后这个部分 - 这个omega阻尼进入了0.我们没有看到解决方案中的任何虚构部分。我们看到两个相同的真实值。他们很简单。他们必须只是减去B / 2。gydF4y2Ba
所以这是两个人的案例。当两件事汇集在一起时,我们习惯于看到一个因素t出现。所以我有他们在减去B / 2一起聚集在一起。所以我有一个指数。但是我有一个因素T来自两者的合并。然后,如果B超出了这一点,那就是我的公式。两个s是真实的。gydF4y2Ba
我不认为一个人记住这一切。在开始这个视频之前,我不得不在板上写下它们并在板上写下它们。但我希望你能看到他们非常好。没有阻尼案例[?纯净?]频率和衰减案例,衰减衰减。当你进一步增加B时临界阻尼,你就没有振荡而没有。然后超越这是过度推进的。好的。所以我们对脉冲响应有利。gydF4y2Ba
现在我只需要问,阶跃响应是什么?我能不能回到我的方程来结束这段视频?我得把黑板拿下来给你看。现在我要处理阶跃响应。方程是一样的。我把响应的解称为r。关键是,右边现在是一步,而不是。gydF4y2Ba
我们想从静止开始解这个方程。一个开关打开了,我想要r (t)的公式,这就是剩下的。实际上,你可以看到特解是什么。我们看一个特解。右边是1。右边是t = 0之后的1。所以我要找一种方法从它中得到1。也可以只是一个常数。gydF4y2Ba
特解是我们接近的稳态。还有一件很酷的事。有时人们在脑海中清楚地知道了物体的尺寸和单位就会在这里写上C。这样做的好处是把C写在这里因为现在r的单位是一样的,r要变成1。gydF4y2Ba
稳态是1因为Cr = C * 1。在无穷远处,简单解是r = 1。当r = 1时,它的导数是0。二阶导数是0。R = 1是一个解。它是一个特解。它是稳态解。好。gydF4y2Ba
但是r (t) = 1的开始并不正确。从0开始,斜率为0。所以我要减去其中一个特解e ^ (s1)金宝搏官方网站现在我要把它减去,使它从0开始。gydF4y2Ba
让我看看我能不能做到。我想也许我可以用s2 e ^ s1t减去s1 e ^ s2t。你看到他的成就了吗?在t = 0时,我有。至少在t = 0时,我把导数设为0因为导数会在这里写一个s1。它的导数会使s2下降。当t = 0时,得到s1 s2 - s1 s2。好,好,好。好的。gydF4y2Ba
现在我认为它们在一起他们都是正确的。我需要除以S1减去S2。让我只是说,我觉得这就是。我想是的。如果我刚检查过,这不是一个坏主意。并检查过,我了解到这是一个加号。好的。gydF4y2Ba
所以r的图表。这是T的r图。它从0开始,它升到1.渐近上它是1.这是T的图表。在实践中,这是一个非常重要的数字。什么是上升时间?在它上升之前,你必须走多远,让我们说,1岁的95%?所有这些问题都是工程师的非常实际的问题。什么是上升时间?而你正在玩这个公式。gydF4y2Ba
我再讲一遍r (t)阶跃响应。我的另一个评论是,我强调了g (t)脉冲响应对一切都负责。它总是与我们同在。这些是如何联系起来的?这是本期视频的最后一个问题。r (t)和g (t)是怎么联系的?gydF4y2Ba
我来问一下右边。阶跃函数和脉冲函数是怎么联系起来的?阶跃函数是函数的积分。函数的积分是0只要你在函数为0的地方积分。但是一旦过了这个大峰,积分就跳到1,就得到了一个阶跃函数。gydF4y2Ba
阶跃函数是函数的积分。阶跃响应是响应的积分。它是脉冲响应的积分。R是g的积分,R是g的积分在正确的初始条件下,最终趋向于1。gydF4y2Ba
这就是两个关键的解决方案。金宝搏官方网站脉冲响应在理论和实践中都很重要。阶跃响应在实际中非常重要,因为在工程中,打开开关是最基本的操作。好。谢谢你!gydF4y2Ba
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