好的。这里有个例子,或多或少是为了好玩。因为你会看到我试着去做。你可以做得更好。我把这个问题叫做滚落的石块。只是在这个例子中,在我的演示中,它将是一本翻滚的书。
我要拿一本书,神圣的书,把它扔到空中。我会用三种不同的方式扔。问题是,旋转书是否稳定?我来告诉你们这三种方法然后给出三个由欧拉推导出来的方程。
这就是三个方程。你会发现它们不是线性的。这些是角动量。这些方程式背后有一些物理原理。但对我们来说,这是三个方程。
所以第一次投掷会绕着很短的轴旋转,只有书的厚度,也许一英寸。所以当我把它扔出去的时候,就像我现在做的那样,你们会看到我是否能扔出去,我希望不要太紧张。它来了——它很稳定。那本书毫不动摇地回到了我的手中。
当然,我的神经会让它有点动摇,而且这种动摇会持续下去。它只会是中性稳定的。摆动并没有消失。但它不会演变成一场混战。好的。这是一个轴,短轴。
然后我把它也扔到长轴上,像这样翻转。我认为这也是稳定的。最后,在中间轴上,是中长轴。注意把书绑在一起的橡皮筋。这样书页就不会打开。而这个,我想我们会看到,是不稳定的。
同样地,扔足球,扔其他飞盘,不管你扔什么。任何3D物体都有这三个轴:短轴、中轴和长轴。方程告诉我们短轴和长轴应该有一个稳定的旋转。中间的轴是不稳定的。
我们如何决定微分方程的不动点,不动点,是临界点,是稳态,我们必须找到这个稳态,然后对每个稳态线性化。我们求稳态下的导数。这就得到了稳态下的常数矩阵。然后特征值就确定了。
首先,找到临界点。其次,求出临界点处的导数。第三,对于该矩阵的导数,求其特征值并确定其稳定性。这就是步骤的顺序。好的。这是我们第一次做3 × 3矩阵。也许是最后一次。好的。
在我开始之前,在我找到临界点之前,注意一些很好的性质。如果我把这个方程乘以x,这个乘以y,这个乘以z,然后相加,这些加起来等于0。当这里有x, y, z,我得到1 - 2和1它们加为0。所以x乘以dx / dt。Y乘以dy / dt。Z乘以dz / dt加上0。
这是一个重要的事实。它告诉我们某一项的导数是0。它是一个常数。这里整个式子的导数可能是1 / 2的导数。X²,因为X²的导数是1 / 2。它的导数是xdx / dt。y²和z²的导数是0。这条直线的导数就是这条直线。是0。所以这是一个常数。
毫无疑问,这可能告诉我,总能量,动能,是恒定的。我把那本书扔到空中后,就不会碰它了。它在做它自己的事情。它不会改变能量因为它没有发生任何变化。它就在那里。还有其他的。这很好。这是一个常数。
现在还有另一种方法。如果我把这个乘以2x,把这个乘以y,把这两个相加,就消掉了。2x dx / dt, 2x乘以第一个,y乘以第二个,结果是0。再一次,我看到一些东西是恒定的。某物的导数,它是x²+ 1/ 2y²是常数。另外一个很好的事实。另一个守恒的量。
当我在空间中飞行时,这个(x²+ 1/ 2y²)没有变化。这涉及到所有的xyz。当然这就是球面的方程。在能量空间中,或者xyz空间中,解是绕着一个球体旋转的。我想这是一个椭圆的方程。球面上有一个椭圆它实际上停留在这个椭圆上。
事实上,这里还有一个椭圆因为我可以把这个乘以2z,这个乘以y,然后加上。然后这些就消掉了。减去2xyz加上2xyz。这也告诉我们,它可能是z方+ 1/ 2y方等于一个常数。这是另一个椭圆。Z方加上1/ 2y方。你看到了吗?对它求导,得到2z * dz / dt + y * dy / dt。添加为0。导数是0。 The thing is a constant.
但是!但是,但是,但是!如果我用这个减去这个,取这两个的差。假设我用这个减去这个。1/ 2y²。这就告诉我们x²- z²是常数。哦,男孩!我还没解出我的三个方程。但我发现了很多关于解决方案的东西。解在球面上,以某种方式徘徊。 It also at the same time stays on that ellipse. And it stays on that ellipse. But this is not an ellipse, not an ellipse. That's the equation of a hyperbola. And that's why-- which, of course, goes off to infinity. And that's why the-- well, it goes off to infinity, but it has to stay on the sphere. It wanders. This will be responsible for the unstable motion.
在这方面比我做得更好的教授,他在1803年的演讲,微分方程,就是这样。我花了整整一个小时告诉你关于翻滚的盒子的一切。所以我要做示范,写下主要的事实,理解稳定性,稳定性的讨论。我准备好开始讨论稳定性了。
这是我的三个方程。我们有三个方程,所以我们有一个3 × 3矩阵。首先我要找出临界点,运动的稳态。我怎么才能把它完全抛出去呢?答案是,绕轴。
如果我扔得很好,不紧张,它就会在我扔的时候旋转。x y z都是常数。现在,当我把它扔到这个轴上。这是我的右手边。YZ - 2XZ和XY。我用大写字母写因为这些是我的稳态。现在我要找的是什么都没发生的点。
如果方程右边这三个是0,我就不动了。Xyz将保持不变。你们能看到这三个方程的解吗?金宝搏官方网站它们是非常特殊的方程。我得到一个解,例如,解可以是1 0 0/金宝搏官方网站
如果三个中有两个,如果y和z是0。y = 0 z = 0 y和z = 0,得到0。所以这肯定是稳态。X = 1 y和z = 0和0。这个稳态是围绕一个轴旋转的。实际上,也可以是- 1。我找到了,两个y和z0的稳态。然后还有两个x和z0。这可能是,它会绕中轴旋转。然后是(0,0,1或- 1)它会绕着第三个轴旋转,长轴。
这些是稳态。我想,仔细想想,0 0 0也是稳态。我想我都找到了。这些是xy。这些是x y z稳态。好的。
一旦你知道了稳态,通常会很有趣,就像这里一样。现在不那么有趣的步骤是求出所有的导数,求出雅可比矩阵的导数。我有三个方程。三个未知数,xyz。三个右边。我要找到一个3 × 3矩阵的导数。这雅可比矩阵。雅可比矩阵的J,一阶导数矩阵。
那么矩阵的一阶导数是什么?我写一下雅可比矩阵。它以雅各比的名字命名。它是一阶导数矩阵。第一行是第一个函数关于x的导数,关于x的导数是0。对y的导数是z,对z的导数是y,这些都是偏导数。题目告诉我第一个未知的x移动了多少。题目告诉我第一个未知的x在临界点附近会发生什么。
好的。那么第二个方程的偏导数呢?它的偏导在这一行。所以x是- 2z。Y的导数是0。Z的导数是- 2x。第三个,z的导数是0。y对x的导数,x的导数是y,我已经找到了3 × 3矩阵有9个偏一阶导数。好的。
是矩阵在这些点的特征值决定了稳定性。我把它写下来。J在x y z临界点处的特征值这就是我需要的。这决定了稳定性。
取第一个临界点。矩阵是什么?我要算出这一点的矩阵是什么?取(1,0,0)1, 0, 0。如果x = 1,这是在x = 1处。Y和z是0。如果x = 1,那么这是- 2和1。其他的都是0。
所以这个矩阵的特征值决定了这个不动点的稳定性。记住,这是绕窄轴旋转。这是绕短轴的抛掷。好的。
那么这个矩阵的特征值呢?好吧,我可以在这里看到它实际上是3乘3。但是实际上,对于所有的0,它给了我一个特征值为0。所以这里的特征值是0。然后我将得到这个矩阵的特征值,这个矩阵是2 × 2的。这里是= 0。这里有两个特征值。
我看着它,我看到了什么?这是一个2 × 2的问题。我看到轨迹是0。0 + 0。我的特征值是一个正负对因为它们加起来是0。它们相乘得到行列式。这个矩阵的行列式是2。这个矩阵的行列式是2。好的。
所以它的行列式是正的。这有利于稳定。但是轨迹只有0。它不是完全消极的。这不是积极的。它在0处。这是一个中性稳定性的例子。特征值将会是。从这里我有一个0特征值。这个2 × 2的特征值会是,会有根号2乘以i和a减去根号2乘以i,我想这些就是特征值。
我看到的是它们都是虚构的。这是一个纯振荡。摇摆不断地摇摆。不会变得更糟。不会消失。这是中性的稳定性。所以中性稳定性是我们希望再次看到的。是的。我想,如果我在长轴上翻转。好。 Did you see that brilliant throw? It's neutral stability. It came back without doing anything too bad.
最后我要画出我们都热切期待的中轴。中轴是书开始翻滚的时候,问题是我能不能抓住它。我可以试一试吗?然后我能在中立轴上找到什么呢?我希望不稳定。我想这应该是一个鞍点。但是会有一个正的特征值。
会有一个正的特征值。它负责翻滚,你会看到疯狂的翻滚。它与这个双曲线上的点相连这个点离我现在要做的就是这个。这个是——我在它周围画个框——两个框。这是不稳定的,我要演示一下。
准备好了吗?好的。哎呦。好的。要用两只手才能抓住它。让我再试一次。重点是它开始翻滚,向四面八方扩散。就像一个足球,一个扔得很糟糕的足球。就像一个足球被扔到另一端。整个飞行过程都中断了,球变得一团糟。 Catching it is ridiculous. And I'm doing it with a book. Yes. You saw that by watching really closely. OK. Better if you do it.
我将以这一点的特征值结束。那么这一点的特征值,我能把矩阵擦掉吗?所以这是一个中性稳定的,是稳定语言的中心。这是一个中心,你可以绕着它转啊转啊转。但是现在我要让x z = 0 y = 1。我能把这个矩阵擦掉吗
如果x和z是0,y是1,下面是1。上面是1。而不是其它。其他的都是0。好的。这是我的3 × 3矩阵。它的特征值是什么?这个3 × 3非常特殊的矩阵的特征值是什么?
这是,这是一阶导数矩阵,雅可比矩阵,在这一点,对应于中轴。好的。再一次,我看到一些0。我把这个矩阵化简成这个2 × 2矩阵和这个矩阵。这个2 × 2矩阵在xz中,这个在y中,那这个呢?
你知道我们在看这个矩阵。有了这个矩阵,我可以告诉你特征值。我们可以看到轨迹是0。特征值加起来等于0。它们乘以行列式。行列式是- 1。所以这里的特征值是1和- 1。然后这个是0。
1的特征值是不稳定的。1的特征值是不稳定的。好的。所以数学证明了实验的结果:一个不稳定的旋转绕着中轴旋转。谢谢你!
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