从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
波动方程∂2u/∂t2=∂2u/∂x2展示了波浪是如何沿着x轴,从波的形状开始u(0)及其速度∂u/∂t(0)。
好的。本视频讲的是三大偏微分方程中的第三个。拉普拉斯方程是第一个。这叫做椭圆方程。热方程是第二个。这就是抛物方程。现在我们得到波动方程。这是第三个,叫做双曲方程。这三个方程让我们想起了椭圆,抛物线和双曲线。
他们有不同类型的解决方案。金宝搏官方网站拉普拉斯方程,在一个圆内或某个封闭区域内求解。热方程和波动方程,时间进入,时间向前移动。热方程在时间上是一阶的,du / dt。波动方程,全尺寸波动方程,在时间上是二阶的。它表示二阶导数,d2u / dt²。它将空间中的二阶导数与速度系数c的平方相匹配。
我在一维空间。如果我在三维空间中,我们有声波和光波以及生命中所有最重要的东西,那么就会有一个uxx,一个uyy和一个uzz,在所有空间方向上的二阶导数。但这已经足够做1D了。
首先,热方程和波动方程有什么不同?所以我说热与波的方程。最大的区别是什么?热量,信号传播得非常快。在波动方程中,信号以有限的速度传播,这个速度就是速度为c的数字。
所以声波,幸运的是,波来我们,或者当我和你说话,我的声音是旅行的麦克风声音的速度,速度c。实际上,另一个好处是它后,它的流逝,流逝的,不只是呆在那里把未来的声音。它的旅行。它死了。
然而,热量。我来举个例子。假设初始条件是脉冲函数。如果u等于一个函数,一个点源,这很正常。点热源,非常热的东西,或者点声音源,我的声音。也就是t = 0时。对于热方程,有一个著名的解。
记住,热方程是DU DT等于UXX,最初的衍生。和从Delta函数开始的解决方案?哦,我知道它是什么吗?我认为有一个1岁 - 有一个4 pi t的平方根。有一个e to minus x平方超过4t。我想也就是这样。也许这就是它。
我从中看到了什么?我看到大阻尼了。我认为马上就能旅行。只要时间略大于0,那么对于每一个x,我们就能得到答案,但答案非常非常小。E ^ (- x²)非常快地趋近于0。这是一个非常小的答案。只有很少的热量会很快地穿过海洋。但从理论上讲,还是有一点。
而对于波动方程,穿越海洋需要时间。海啸来了。我们有一个波。它在那里。它到达了另一边。事实上,这非常重要。那波的速度是多少来告诉人们海啸要来了,你可以这样做,但对于热方程你不能这样做。
对于波动方程,一维的脉冲函数会产生什么?一个波向右,一个波向左。这是发生了什么。这些波是函数的1/2。所以解是1/2的运动函数。我看一下,我写一下另一边的部分,(x + ct)
这是一个很酷的解决方案。这意味着一维的声音,一半向一个方向,一半向另一个方向。每个方向都有一个声音尖峰。你什么也听不到,然后在一个特定的时间,取决于你的位置x,在一个特定的时间当你的位置是0,你听到了信号。一旦时间过去了,它就会离开你。所以你得到一个大电击,它以速度c向你袭来。
如果你看这个表达式x - ct,它告诉你波的速度dx / dt是c,好的。这是一个非常特殊的初始条件下的对比——一堵水墙,一声巨响,一声大爆炸。好的。
我想解波动方程,进一步研究它的其他初始条件。当然,初始条件是复数因为波动方程在时间上是二阶的。已知u (t = 0)以及所有的x和du / dt。我已知了水壁的初始分布,它的速度,是正常的。
当我有一个二阶方程时,我有一个初始条件和一个初始速度。当然,因为这是一个偏微分方程,对于每一个x我都给出了这些,所以我们有函数而不是只有两个数字,这就是傅里叶级数可以用到的地方。
所以我们可以通过一个傅里叶系列来解决这个问题,如果我们在一个有限之上,就像一个小提琴字符串。你已经采摘了一个小提琴字符串,开始在字符串中来回走出的波浪。他们解决了波浪方程。如果它是一个很好的声音,你会听到音乐,很棒的音乐。或者我们可以在没有边界的无限线上解决它,如在基本上无限的海洋或空间中的波浪中。据我们所知,空间中的光波正在求解没有边界的波浪方程。
好的。那我该怎么办?我会在自由空间中写下解决方案,然后我将为小提琴字符串写下来。所以在太空中 - 嗯,这是这里的一维空间。因此,这将是少于x小于无穷大的无限远。
那么波浪方程的解决方案是什么样的?它看起来像x plus ct的一些功能的一些功能。嗯,这正是我们在达达职能的情况下我们在这里的表格。这里,通常,它们不必是Delta函数。我选择了这个功能f,这个功能g使得在t等于0,我很好。因此,在t等于0--所以我设置了等于0.在t等于0,u的0和x为x的f of x。好的。
但这只是一个条件,我要找到f和g。开始时也可以用du / dt。时间导数是什么?它是- cf ' (x)它的时间导数是+ cg ' (x)好的。没什么大不了的。我有两个函数。我在答案中找到了两个函数,还有两个方程。我可以解出f和g,它给出了一个叫做达朗贝尔公式的公式,以把这些组合起来的人的名字命名。
我宁愿去小提琴,到一个有限的字符串。好的。所以现在我有一个有限的字符串,我持有你的结尾等于0。好的。我的解决方案仍将是依赖于x减去CT波的函数。我的解决方案仍将是波浪。
我要写的这个解来自于一个非常非常重要的方法叫做分离变量。我想把x和t分开,我需要给你们一个关于分离变量的完整视频。这是求解很多方程的最好工具。金宝搏官方网站
让我只是跳到这里解决方案的形式。我想象小提琴字符串休息。所以它开始 - 我想象的是,让我们说在我们的特殊问题中,这是0,初始速度。这是采摘的。起始位置是 - 用你的手指你把它移开0.好的。
解是什么样的,u (t,金宝搏官方网站 x)好的。它们是一些简洁的,特殊的,方便的,分离解的和,分离的意思是t和x分离,我想我们会有cos (nct)金宝搏官方网站我将得到一个和。哦,我们会有一个系数,a下标,或者b,或者c,甚至d, d换一个新字母,d下标n,我想,好吧,我把这里写完。我把它和sinnx分开了。好的。
如果我们只是看一下这一点,那就是这个视频的重点。所以这是x等于0.这是说,x等于pi。为方便起见。假设我们的小提琴字符串具有长度pi,然后,我认为,这就是解决方案的样子。它从T等于0开始0.在T等于0时,余弦为1.如此,在T等于0,这是我们必须匹配的初始条件。这将告诉我们D'S将是DN SINE NX的总和。这告诉我们d's。然后我们有答案。
所以初始条件 - 记住,它开始休息。因此,初始速度为0,这就是为什么我没有任何正弦型,因为我从初始速度0开始0.我只有T方向上的余弦。但我只有X方向上的阳亮,因为小提琴字符串正在两端被阻止,它是完美匹配的正弦函数。
这就是分离变量,t和x分离,我真的需要对这个非常重要的解的方法做一个适当的解释。金宝搏官方网站谢谢你!
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