微分方程与线性代数，2.6c:参数的变化gydF4y2Ba

吉尔伯特·斯特朗，麻省理工学院gydF4y2Ba

组合零解金宝搏官方网站gydF4y2BaygydF4y2Ba_1gydF4y2Ba而且gydF4y2BaygydF4y2Ba_2gydF4y2Ba与系数gydF4y2BacgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba而且gydF4y2BacgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba求任意的特解gydF4y2Baf (t)。gydF4y2Ba

好的。今天是求解线性微分方程的一种特殊方法。我以二阶方程为例。这种方法叫做参数变分，它会引导我们得到答案的公式，一个积分。这是很大的一步，从微分方程得到y (t)等于某个积分。这个积分会涉及到右边，当然，源。如果我们能做积分，就能得到完整的答案。但无论如何，我们得到了一个很好的形式。好的。gydF4y2Ba

那么这个想法是什么呢?我们要找一个特解。今天讲的是一个特解。我们必须知道两个零解才能开始。金宝搏官方网站所以我们必须知道f = 0时，y和y是零解。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

当然我们知道两个零解当系数b和c是常数时。金宝搏官方网站我们会把它作为一个很好的例子，最重要的例子。但有时我们可以找到零解当B和t随时间变化时，这是很好的。金宝搏官方网站这些问题不容易解决。但我们知道它确实是常系数的。gydF4y2Ba

好的。这是什么想法?所以思路是用零解y和y。金宝搏官方网站如果我们乘以常数，我们得到另一个线性零解。但是这个想法是用函数来乘以它们。变化的，这些常数不是常数，它们是变化的参数。gydF4y2Ba

这就是解的形式。我们想求出关于t的c1和c2，这样上面的微分方程就解出来了。gydF4y2Ba

当然，我要把它代入微分方程找出c1和c2的条件。我可以直接说结果吗?这个满足方程。我们知道y和y满足右边的0。所以我们只需要——c1 (t)和c2 (t)来处理f。gydF4y2Ba

这是放入后的结果。我发现t的导数，是c1 '乘以y + c2 '乘以y2等于0得到c1 '和c2 '的一个方程。gydF4y2Ba

另一个方程是c1 '乘以。y ' + c2 ' y '当然，撇的意思是导数。当我把这些代入方程时，右边会有一个f (t)gydF4y2Ba

每次都有两个方程。在每个时刻，我有两个普通的线性方程。它们是c1 c2平面上的直线。他们相交。我们知道如何解线性代数中最基本的问题，解两个方程和两个未知数。对每个t都这样做，就得到了答案。gydF4y2Ba

这就得到了c1和c2，它们依赖于t，因为，实际上这就得到了c1 '和c2 '的导数。当我们代入它的时候，c和c消失了因为它们是零解。金宝搏官方网站所以我们知道c1常数很好，但是当我们把它代入这里，我们得到的方程每次都包含c1 '所以我把它拿走。每次都是。gydF4y2Ba

好吧。两个方程，两个未知数，我们解出来了。好的。gydF4y2Ba

当我们解出它们的时候，我们把它们代回y (t)现在就可以写出答案了。我写下来。我不做血淋淋的计算。我把答案写下来。所以y (t)等于，为了确定，我看这里。这就是我要写的，我要把c1和c2分解成——c1和c2来自这两个方程。好的。gydF4y2Ba

所以有y1 (t) * c1。现在，从它里面出来的c恰好是，从它里面出来的c '所以我要积分。我要对c1 '积分。所以c1 '由它得到是- y2乘以f, dt，然后有一个分母，因为如果我有两个方程和两个未知数，有一个小的2 × 2行列式。就叫它W吧。gydF4y2Ba

它在微分方程中有一个著名的名字。我会告诉你这个名字。W (t)是这个的行列式，y1 y2 y1 ' y2 '两个方程，它们必须是独立的。它们必须是可逆的，这个行列式才是关键。这是(y, y ') - (y, y ')这就是函数。gydF4y2Ba

记住，我们知道y和y。整个过程是从零解y和y开始，然后组合它们。金宝搏官方网站这是第一次。这是c1，现在我要加上c2。它看起来有点乱，但它只是一个积分。它只是一个积分。gydF4y2Ba

那么y2 (t)乘以什么呢?它乘以c2，因为这个方程给出了c2 '我需要积分得到c2。结果是y1 (t) f (t) dt，除以相同的行列式W (t)gydF4y2Ba

我来告诉你们它的名字。它是以一个叫朗斯基的人命名的，所以叫做朗斯基行列式。你可以这么说，也可以不这么说。就是这个。gydF4y2Ba

我们知道y和y。这意味着我们把它们代入，就得到了朗斯基行列式。我们把它代入积分中。我们有y2和y1已知f，然后积分。如果我们可以积分。我不打算再讲太多了。我就讲到这里。这就是答案的公式。gydF4y2Ba

好吧，我不会完全停在这里。我举个例子。我举个例子。我们来看看。我想我的例子是一个常系数方程。gydF4y2Ba

常系数方程的零解是什么?金宝搏官方网站你们还记得常系数的情况吧。代入。得到s²+ b + C乘以，你要找的是指数，这是可行的。gydF4y2Ba

所以我代入，这是寻找零解，因为我们必须有这些开始。金宝搏官方网站它们是公式中的y和y。所以我的变量和参数，整个新的东西，在这里完成了。如果我想举个例子，我必须解微分方程，为了这个，相信我，我要让B和C是常数。gydF4y2Ba

解这个方程。这就得到了，当然，我可以消去e ^ st，因为它永远不为0。所以这个必须是0。它有两个根，二次公式告诉我们这两个根s1和s2。零解是y1 = e ^ s1t y金宝搏官方网站2 = e ^ s2t。gydF4y2Ba

现在，我准备好了。我要把它们代入这个公式。我要做朗斯基行列式，我需要另一块黑板。对不起。这是目前唯一一个在三板上播放的视频。gydF4y2Ba

你们还记得吗，我需要朗斯基行列式然后我要复制它，我再复制一遍。gydF4y2Ba

Y1等于e ^ (s1t) y2等于e ^ (s2t)现在朗斯基行列式是(y, y ') - (y, y ')结果是什么呢?gydF4y2Ba

Y1等于e ^ (s1t)Y2 '是它的导数，所以是s2 e ^ (s2t)这是这一项的结果。然后减去y2，在这里。y '是它的导数，得到一个s1。你可以看到这些公式的美妙之处。公式很漂亮，但不是每个人都喜欢。好的。gydF4y2Ba

现在我知道了所有的项，我准备重新写出y (t)的解的公式。这是现在的高潮。我将使用由参数变分得到的公式。我要代入这个函数，这个函数，还有W，我要看看我得到了什么。好的。gydF4y2Ba

记得吗，它是y1乘以一个积分。哦，我最好在这里用一个积分变量。我不想把t放在这里，因为t是积分的极限。所以y1，你们还记得吗，它是- y2 e到s2，我用大写T，时间除以W。gydF4y2Ba

记住，这里有一个f (t)和一个dT，我用大写的t作为哑变量。下面是W，等于(s2 - s1) e ^ (s1T) e ^ (s2T)gydF4y2Ba

这是第一项。这是c1乘以y。现在，我要记住y2，第二个零解，乘以它的c2。这就是积分。gydF4y2Ba

再一次，我想现在我有一个加号，所以它是——在这里加个括号。下面是W。gydF4y2Ba

所以它是e ^ (s1T) f (T) dT dT，下面的W, s2 - s1 e ^ (s1T) e ^ (s2T)好的。gydF4y2Ba

这就是这些零解的参数变化公式。金宝搏官方网站没有比这更好的了。事实上，我想我可以消去e ^ (s2T)我可以消去e ^ (s1T)我可以用负指数表示。gydF4y2Ba

哦，是的，会很不错的。会很好的。gydF4y2Ba

所以这是常数s2 - s1，两项都一样。然后我把这个写成负指数，所以这里有e ^ (s1t)我就得到，你可能会看到这个。得到1 / (s2 - s1)然后是积分。gydF4y2Ba

这里两个积分中都有f (T)我把f (T)写下来。还有dT。然后我还能得到什么?我可以把这个式子代进去但是t很小，我没有对它积分。我想如果你看这里，你有e ^ (s1t)然后这里会有一个负号。你觉得这对第一学期有好处吗?gydF4y2Ba

然后第二项同样是1 / (s2 - s1)现在，我得到了什么?e ^ (s2T)会得到一个负号，所以我得到了e ^ (s2, t - t)的积分，我想这里有个负号。哈哈。别忘了那个减号，斯特朗教授。还有f (T) dT。gydF4y2Ba

现在，我把答案写在这里。我会把答案写出来，对我来说，这是整个过程中最精彩的部分。我不知道参数的变化会带来什么。我不是，我根本不是这方面的专家。但我只是遵循规则，放入这两个零解，计算W，全部放入，最终得到这个答案，然后我很高兴认识到这个答案是什么。金宝搏官方网站这个答案是某个积分乘以——这是从0到t的某个积分乘以f (t) dT。那是什么呢?它来自于这一项除以这个带负号的项，这一项除以这个带负号的项，当你把它们代入，除了脉冲响应，你得到了什么。我称之为g (t)就是t - t。gydF4y2Ba

给你。这是一个重大时刻。gydF4y2Ba

g (t - t) f (t) dT。把相机和注意力集中在最后一个结果上。这就是我们最后得到的公式由参数的变化应用到常系数问题。它给了我们已知的东西。它告诉我们解，特解，y (t)是输入的积分，右边，强迫项，f (t)乘以增长项，脉冲响应。gydF4y2Ba

我们可以想象在每一个时间T，我们有一个大小为f (T)的脉冲，这个脉冲随着脉冲响应g而增长，在剩下的时间里，直到它到达这里。gydF4y2Ba

让我来清理一下。gydF4y2Ba

然后我们要取所有的输入，对所有的输入进行积分，就得到了答案。这就是常系数线性微分方程的终极解。所以我们在一种情况下复制了这个公式，常数系数的情况下，当我们能找到零解并把这个参数的变化公式一直运行到最后，这就是结束。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

谢谢你！gydF4y2Ba

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简介gydF4y2Ba

14:03gydF4y2Ba

1.1:微分方程概述gydF4y2Ba线性方程包括gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba= -gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba2泰gydF4y2Ba．这个方程gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2BaygydF4y2Ba＊gydF4y2BaygydF4y2Ba是非线性的。gydF4y2Ba

14:47gydF4y2Ba

1.2:你需要的微积分gydF4y2Ba和法则、乘积法则和链式法则可以从的导数中得到新的导数gydF4y2BaxgydF4y2Ba^ngydF4y2Ba罪(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BaegydF4y2Ba^xgydF4y2Ba．微积分基本定理说的是积分求导数的倒数。gydF4y2Ba

一阶方程gydF4y2Ba

13:19gydF4y2Ba

1.4b:响应指数输入，exp(s*t)gydF4y2Ba有了指数输入，gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba，从外部和指数增长，gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba从内部看，解y(t)是两个指数的组合。gydF4y2Ba

15:54gydF4y2Ba

1.4c:对振荡输入的响应，cos(w*t)gydF4y2Ba一个振荡的输入cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)产生具有相同频率ω(和相移)的振荡输出。gydF4y2Ba

13:58gydF4y2Ba

1.4d:任意输入q(t)的解gydF4y2Ba要解线性一阶方程，需要将每个输入相乘gydF4y2Ba问(s)gydF4y2Ba通过它的增长因子，并整合这些产出gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

15:40gydF4y2Ba

1.4e:阶跃函数和增量函数gydF4y2Ba单位阶跃函数从0跳到1。它的斜率是一个函数:除了在跳跃处无穷大之外，其他地方都为零。gydF4y2Ba

12:50gydF4y2Ba

1.5:复指数响应，exp(i*w*t) = cos(w*t)+i*sin(w*t)gydF4y2Ba对于线性方程，的解gydF4y2Baf =gydF4y2Bacos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)是解的实部gydF4y2BaF = egydF4y2Ba^{我ωtgydF4y2Ba}．这个复解有大小gydF4y2BaGgydF4y2Ba(获得)。gydF4y2Ba

13:46gydF4y2Ba

1.6:恒速率积分因子，agydF4y2Ba积分因子gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}乘以微分方程，y ' =ay+q，得到gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}Y:准备整合。gydF4y2Ba

11:22gydF4y2Ba

1.6b:变速率积分因子，a(t)gydF4y2Ba不同利率的积分提供了增长解(银行余额)的指数。gydF4y2Ba

13:26gydF4y2Ba

1.7: Logistic方程gydF4y2Ba当gydF4y2Ba——gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba减缓增长，使方程非线性，解接近稳定状态gydF4y2Bay (gydF4y2Ba∞gydF4y2Ba) a/b。gydF4y2Ba

21:14gydF4y2Ba

1.7c:稳态的稳定性和不稳定性gydF4y2Ba稳态解可以是稳定的，也可以金宝搏官方网站是不稳定的——一个简单的测试就能决定。gydF4y2Ba

13:06gydF4y2Ba

1.8:可分离方程gydF4y2Ba可分离变量方程可以通过两个独立的积分来解，一个在gydF4y2BatgydF4y2Ba另一个在gydF4y2BaygydF4y2Ba．最简单的是gydF4y2BaDy /dt = ygydF4y2Ba,当gydF4y2Bady / ygydF4y2Ba=gydF4y2BadtgydF4y2Ba．然后ln (gydF4y2BaygydF4y2Ba) =gydF4y2Bat + CgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

二阶方程gydF4y2Ba

19:19gydF4y2Ba

2.1:二阶方程gydF4y2Ba对于无阻尼无强迫的振动方程，所有解具有相同的固有频率。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

15:31gydF4y2Ba

2.1b:强迫谐波运动gydF4y2Ba与强迫gydF4y2BafgydF4y2Ba= cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)，则特解为gydF4y2BaYgydF4y2Ba* cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)．但如果强迫频率等于固有频率，就会产生共振。gydF4y2Ba

14:03gydF4y2Ba

2.3:非强迫阻尼运动gydF4y2Ba对于常系数微分方程，基本解是指数金宝搏官方网站gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba．指数gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba解一个简单的方程，比如gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b + C = 0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

16:01gydF4y2Ba

2.3c:脉冲响应和阶跃响应gydF4y2Ba脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba是力为脉冲时的解(脉冲函数)。这也解决了一个初始条件非零的零方程(无力)。gydF4y2Ba

12:19gydF4y2Ba

2.4:指数响应-可能的共振gydF4y2Ba共振发生时，固有频率匹配强迫频等指数从内部和外部。gydF4y2Ba

13:13gydF4y2Ba

2.4b:二阶阻尼方程gydF4y2Ba一个阻尼强迫方程有一个特解gydF4y2Bay = GgydF4y2Bacos(ωgydF4y2Bat -gydF4y2Baα)。阻尼比提供了洞察零解。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

16:32gydF4y2Ba

2.5:电力网络:电压和电流gydF4y2Ba电流在RLC环路上流动，求解一个带系数的线性方程gydF4y2BalgydF4y2Ba(电感),gydF4y2BaRgydF4y2Ba(电阻),gydF4y2Ba1 / CgydF4y2Ba（gydF4y2BaCgydF4y2Ba=电容)。gydF4y2Ba

16:31gydF4y2Ba

2.6:待定系数方法gydF4y2Ba具有常系数和特殊的强迫项(的幂gydF4y2BatgydF4y2Ba，余弦/正弦，指数函数)，特解的形式是一样的。gydF4y2Ba

15:48gydF4y2Ba

2.6b:待定系数法的一个例子gydF4y2Ba这种方法也适用于力和解，如金宝搏官方网站gydF4y2Ba(在gydF4y2Ba^2gydF4y2Bac) egydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba:代入方程求gydF4y2BaA b cgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

19:21gydF4y2Ba

2.6c:参数变化gydF4y2Ba组合零解金宝搏官方网站gydF4y2BaygydF4y2Ba_1gydF4y2Ba而且gydF4y2BaygydF4y2Ba_2gydF4y2Ba与系数gydF4y2BacgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba而且gydF4y2BacgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba求任意的特解gydF4y2Baf (t)。gydF4y2Ba

22:37gydF4y2Ba

2.7:拉普拉斯变换:一阶方程gydF4y2Ba变换线性微分方程中的每一项，生成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解，gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

16:30gydF4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程gydF4y2Ba二阶导数变换为gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^2gydF4y2BaYgydF4y2Ba代数问题涉及到传递函数gydF4y2Ba1 / (gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b +C)。gydF4y2Ba

10:28gydF4y2Ba

2.7c:拉普拉斯变换和卷积gydF4y2Ba当力是脉冲δ时gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba，脉冲响应为gydF4y2Bag (t)gydF4y2Ba．当力是gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba，响应为的“卷积”gydF4y2BafgydF4y2Ba而且gydF4y2Bag。gydF4y2Ba

图形和数值方法gydF4y2Ba

21:00gydF4y2Ba

3.1:方案图片金宝搏官方网站gydF4y2Ba的方向场gydF4y2BaDy /dt = f(t,y)gydF4y2Ba箭头有斜率gydF4y2BafgydF4y2Ba在每个点上gydF4y2Bat、ygydF4y2Ba．斜率相同的箭头位于等斜线上。gydF4y2Ba

18:25gydF4y2Ba

3.2:相平面图片:源，沉鞍gydF4y2Ba金宝搏官方网站二阶方程的解可以趋于无穷或零。鞍点包含一个正的和一个负的指数或特征值。gydF4y2Ba

13:45gydF4y2Ba

3.2b:相平面图:螺旋和中心gydF4y2Ba具有纯振荡的虚指数在相平面中提供了一个“中心”。这一点gydF4y2Ba(y, dy / dt)gydF4y2Ba绕着椭圆永远运动。gydF4y2Ba

10:31gydF4y2Ba

3.2c:两个一阶方程:稳定性gydF4y2Ba二阶方程给出了两个一阶方程gydF4y2BaygydF4y2Ba而且gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba．矩阵变成了一个伴矩阵。gydF4y2Ba

15:07gydF4y2Ba

3.3:临界点的线性化gydF4y2Ba临界点是常数解gydF4y2BaYgydF4y2Ba微分方程gydF4y2BaY ' = f(Y)gydF4y2Ba．附近,gydF4y2BaYgydF4y2Ba的标志。gydF4y2Badf / dygydF4y2Ba决定稳定还是不稳定。gydF4y2Ba

21:40gydF4y2Ba

3.3b: y'=f(y,z)和z'=g(y,z)的线性化gydF4y2Ba对于两个方程，临界点有gydF4y2Baf (Y, Z)gydF4y2Ba= 0和gydF4y2Bag (Y, Z)gydF4y2Ba= 0。在常数解附近，两个线性化的方程使用2 ×金宝搏官方网站 2矩阵的偏导数gydF4y2BafgydF4y2Ba而且gydF4y2BaggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

19:29gydF4y2Ba

3.3c:特征值和稳定性:2 × 2矩阵，AgydF4y2Ba两个方程gydF4y2Bay ' = AygydF4y2Ba是否稳定(解趋近于零)时金宝搏官方网站的痕迹gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是负的，行列式是正的。gydF4y2Ba

22:53gydF4y2Ba

3.3 3d: 3d的翻滚盒子gydF4y2Ba在空中的盒子可以绕其最短轴和最长轴旋转。围绕中轴，它疯狂地翻滚。gydF4y2Ba

向量空间和子空间gydF4y2Ba

12:43gydF4y2Ba

5.1:矩阵的列空间，agydF4y2Ba一个gydF4y2Ba米gydF4y2Ba通过gydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba有gydF4y2BangydF4y2Ba列各在gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．捕获这些列的所有组合Av就得到列空间-的子空间gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

13:19gydF4y2Ba

5.4:独立性、基础和维度gydF4y2Ba向量v1到v d是一个子空间的基，如果它们的组合张成整个子空间并且相互独立:没有基向量是其他基向量的组合。维数d =基向量的个数。gydF4y2Ba

15:57gydF4y2Ba

5.5:线性代数的大图gydF4y2Ba一个矩阵产生四个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。gydF4y2Ba

15:26gydF4y2Ba

图5.6:gydF4y2Ba一个图表有gydF4y2BangydF4y2Ba连接节点gydF4y2Ba米gydF4y2Ba边(其他边可能缺失)。这对于互联网、大脑、管道系统等等都是一个有用的模型。gydF4y2Ba

19:50gydF4y2Ba

5.6b:图的关联矩阵gydF4y2Ba关联矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba每条边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(两列gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)由这条边相连。gydF4y2Ba

特征值和特征向量gydF4y2Ba

19:00gydF4y2Ba

特征值和特征向量gydF4y2Ba特征向量gydF4y2BaxgydF4y2Ba乘上矩阵(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2BaλgydF4y2BaxgydF4y2Ba)．一个gydF4y2BangydF4y2BaxgydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2BangydF4y2Ba特征值。gydF4y2Ba

11:36gydF4y2Ba

6.2:对角化矩阵gydF4y2Ba一个矩阵可以对角化gydF4y2BangydF4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵Λis特征值矩阵。gydF4y2Ba

17:53gydF4y2Ba

6.2b:幂，A^n和马尔可夫矩阵gydF4y2Ba整个思想gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba同时斜向移动gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^ngydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2Ba^ngydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

15:47gydF4y2Ba

6.3:求解线性系统gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba/dt = AgydF4y2BaygydF4y2Ba包含解决方案金宝搏官方网站gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^λtgydF4y2BaxgydF4y2Ba在哪里gydF4y2BaλgydF4y2Ba而且gydF4y2BaxgydF4y2Ba特征值/特征向量对是gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

15:31gydF4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)gydF4y2Ba解的最短形式使用矩阵指数gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^在gydF4y2BaygydF4y2Ba（0)gydF4y2Ba．矩阵gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba有特征值gydF4y2BaegydF4y2Ba^λtgydF4y2Ba的特征向量gydF4y2Ba一个。gydF4y2Ba

14:50gydF4y2Ba

6.4b:相似矩阵，A和B=M^(-1)*A*MgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba而且gydF4y2BaBgydF4y2Ba是否“相似”gydF4y2BaBgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba米gydF4y2Ba^{－1gydF4y2Ba}我gydF4y2Ba对于某个矩阵gydF4y2Ba米gydF4y2Ba．gydF4y2BaBgydF4y2Ba然后有相同的特征值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

15:54gydF4y2Ba

6.5:对称矩阵，实特征值，正交特征向量gydF4y2Ba对称矩阵有gydF4y2BangydF4y2Ba垂直特征向量和gydF4y2BangydF4y2Ba真正的特征值。gydF4y2Ba

16:49gydF4y2Ba

6.5b:二阶方程组，y " +Sy=0gydF4y2Ba振荡方程gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2Bay / dtgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ Sy =gydF4y2Ba0的gydF4y2Ba2 ngydF4y2Ba金宝搏官方网站解(sin和cos)。金宝搏官方网站解使用的特征向量gydF4y2Ba年代。gydF4y2Ba

应用数学与ATAgydF4y2Ba

21:40gydF4y2Ba

7.2:正定矩阵，S=A'*AgydF4y2Ba一个正定矩阵S具有正的特征值，正的枢轴，正的行列式，和正能量vgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba每个向量的Sv v S = AgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba如果A有独立的列，A总是正定的。gydF4y2Ba

14:10gydF4y2Ba

7.2b:奇异值分解，SVDgydF4y2BaSVD分解每个矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba变成正交矩阵gydF4y2BaUgydF4y2Ba乘以一个对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba:旋转乘以拉伸乘以旋转。gydF4y2Ba

17:02gydF4y2Ba

7.3:边界条件取代初始条件gydF4y2Ba一个二阶方程可以改变它的初始条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba而且gydF4y2Bady / dt (0)gydF4y2Ba上的边界条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba而且gydF4y2Bay (1)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

13:16gydF4y2Ba

7.4:拉普拉斯方程gydF4y2Ba偏微分方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba^2gydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba描述圆形、正方形或任何平面区域内的温度分布。gydF4y2Ba

傅里叶变换和拉普拉斯变换gydF4y2Ba

16:35gydF4y2Ba

8.1:傅里叶级数gydF4y2Ba傅里叶级数分离周期函数gydF4y2BaF (x)gydF4y2Ba变成所有基函数cos(gydF4y2Banx)gydF4y2Ba和罪恶(gydF4y2Banx)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

13:55gydF4y2Ba

8.1b:傅里叶级数的例子gydF4y2Ba偶函数只使用余弦(gydF4y2BaF(-x) = F(xgydF4y2Ba)而奇函数只使用sin。系数gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_ngydF4y2Ba而且gydF4y2BabgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba来自于积分gydF4y2BaF (x)gydF4y2Bacos (gydF4y2BanxgydF4y2Ba),gydF4y2BaF (x)gydF4y2Basin (gydF4y2BanxgydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

14:03gydF4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解gydF4y2Ba在一个圆里面，是解gydF4y2BaugydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba， θ)结合gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Bacos (gydF4y2BangydF4y2Baθ),gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Basin (gydF4y2BangydF4y2Baθ)。边界解结合傅里叶级数中的所有项来匹配边界条件。gydF4y2Ba

10:47gydF4y2Ba

8.3:热方程gydF4y2Ba热方程∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba从温度分布开始gydF4y2BaugydF4y2Ba在gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0，并跟随它gydF4y2BatgydF4y2Ba> 0，因为它很快变得光滑。gydF4y2Ba

15:13gydF4y2Ba

8.4:波动方程gydF4y2Ba波动方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba显示了波如何沿着gydF4y2BaxgydF4y2Ba轴，从波形开始gydF4y2BaugydF4y2Ba(0)和速度∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba(0)。gydF4y2Ba