从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
临界点是常数解Y微分方程y ' = f (y).附近,Y…的标志df / dy决定稳定还是不稳定。
好的。我现在把注意力集中在稳定的关键问题上。线性方程的解是金宝搏官方网站否趋于0 ?在非线性方程中,它们是否接近某个常数,某个稳态?
今天是非线性的开始。我从一个方程开始。Dy / dt是y的函数,可能不是线性函数。第一个问题,什么是稳态或临界点?简单的问题。我看的是特殊的点Y,右边是0,函数是0的特殊点。我称之为临界点或稳态。
有什么意义?在临界点,这是解。这是一个常数。它是稳定的。我只是检查一下方程是否满足。导数是0,因为它是常数,f是0,因为它是临界点。0 = 0。微分方程很好。如果从一个临界点开始,一直保持在那里。
这不是我们的中心问题。我们的关键问题是,如果我从其他点开始,我是接近临界点,还是远离临界点?临界点是稳定的和吸引的,还是不稳定的和排斥的?
所以回答这个问题的方法是当你非常接近临界点的时候看看这个方程。在临界点附近,我们可以使方程线性化。我们可以线性化方程,这就是全部技巧。我之前讲过,现在我要再做一遍,解一个方程。但真正的信息,真正的内容是由两个或三个方程式组成的。这是我们在自然界中经常看到的,我们想知道,这个问题稳定吗?
好的。线性化是什么意思呢?通过显微镜观察,每个函数都是线性的。也许我应该说,如果你把它在y = y附近放大,每个函数都是线性的。这是f (y)这是f (y)的图像,不管它是什么。如果这是点Y,这就是函数值为0的地方。
在这一点附近,函数几乎是一条直线。tan的斜率就是系数,一切都取决于它。一切都取决于斜率是这样上升的,可能会不稳定,还是下降。如果是向下的,那么在临界点处斜率是负的,很可能是稳定的。好的。
我只需要做一点微积分。线性化是微积分的核心思想。我们有曲线,但在一点附近,我们可以假设——如果我们聚焦,如果我们放大,它们本质上是直的。这是一个放大的问题,线性化。好的。如果我把y点处的函数放大,我把y点处的函数放大,但是要记住切线是y点处的函数,所以y是附近的某个点。大写Y是交叉点。
这是y - y乘以斜率,这是斜率,临界点处的斜率,你们可以看到,右边是线性的。实际上,f (Y) = 0。这正是问题的关键。这样我就得到了这个斜率和一个简单函数的线性近似。好的。
我用这个近似。我把它代入方程,然后得到一个线性方程,很容易解出来。我能做到吗?我的计划是,取微分方程,关注稳态附近,临界点y附近,这是对f很好的近似,我就用它。所以我打算马上用它。
这是线性化的。所以d / dt (y) = f (y)但我要近似等于这个y - y乘以斜率。所以斜率就是一阶线性方程中的系数a。回到第一章对一个方程进行线性化。下一节课我们将讨论两个甚至三个方程。我们先从这个开始讲,但这是下个视频。
好的。这就是方程。注意,我可以把dy / dt写成,这个常数的导数是0,所以我可以把它写在这里。这告诉了我什么?我把这个数记作a,所以我可以解这个方程,解是y - y,它是线性的。它的导数是这个东西本身乘以a。
这是稳定增长或稳定衰退的纯模型。y - y等于e ^ (at)对吧?当我在线性方程中有一个系数ay,我在指数中看到它。所以a小于0是稳定的。因为a小于0,这是负的,指数下降到0。它告诉我们y接近y,它到达临界点,达到稳态,而不是离开。
例子,例子。举一个你们以前见过的例子,logistic方程,右边是3y - y²。好的。不是线性的。所以我打算在找到临界点后进行线性化。临界点,这是0。它等于0,我想会有两个临界点因为我有一个二阶方程。当它等于0时,它在y = 0或y = 3处为0。所以有两个临界点,每个临界点都有自己的线性化,也就是临界点处的斜率。
可以看到,如果我画出f (y)的图像,这个3y - y²有,这是3y - y²。有一个临界点,0。另一个临界点是3。这里斜率是正的,不稳定。这里斜率是负的,稳定的。所以这是稳定的,不稳定的。
让我把这些数字写出来。df / dy是斜率。所以我要对它求导。注意这不是我的微分方程。这就是我的微分方程。这是线性化的步骤,导数和斜率的计算。
它的导数是3 - 2y,有两个临界点。在Y = 0处,这是3。Y = 3时,是3 - 6,是- 3。这些是我们在图上看到的斜率。斜率向上,抛物线向上。向下的。所以这对应于不稳定。
那么不稳定意味着什么呢?它的意思是解Y = 0,常数0,解出方程,没问题。如果Y保持在0,它是一个完美的解。导数是0。一切都是0。
但如果我离0移动一点,如果我离0移动一点,那么3y - y²,它是什么样的?如果我离Y = 0移动一点点,离这个不稳定点,Y的平方会非常小。所以实际上是3y。y的平方在y = 0附近很小。忘记这一点。我们有指数增长,e ^ 3t。我们离开0稳态,继续。
现在,最终我们会移动到另一个稳态附近。在Y = 3处,斜率是- 3,负的是稳定点。所以y - 3,距离稳态,临界点会变得像e mi,会腐烂,对不起,我说的成长,我的意思是衰变,衰变像e - 3 t因为- 3在斜率为- 3指数。
好的。这不是火箭科学,尽管它对火箭非常重要。我先说一下接下来会发生什么然后在后面的视频中做。接下来是两个方程,dy / dt和dz / dt。我有两件事。Y和z,它们相互依赖。y的增长或衰减是由某个函数f给出的,而这个是由某个不同的函数g给出的,所以是f和g。
什么时候是稳态?当这是0时。当它们都是0时。它们都是0。然后dy / dt = 0,所以y是稳定的。Dz / dt等于0,所以z是稳定的。我要找两个数字。我有两个方程,f (y)我用大写的y,大写的Z,这些是数字,等于0。我要解,等于0,g (Y, Z)等于0。是的,是的。 So both right-hand sides should be 0, and then I'm in a steady state.
但是这个线性化会更有趣。这就是下一集的内容,如何线性化?线性化后的结果是什么当你有两个函数依赖于两个变量Y和Z时?你会有,我们等着瞧,[?斜坡——好吧,你会看到的。这就是将要发生的事情。我们得到了一个2乘2矩阵因为我们有两个方程,两个未知数,这比经典的单方程更令人兴奋,比如logistic方程。
好的。起两个。
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