从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一个二阶方程可以改变其初始条件y (0)和dy / dt (0)上边界条件y (0)和y (1)。
好的。今天我的问题有点不同。因为我没有两个初始条件,我们通常有一个二阶微分方程。相反,我有两个边界条件。
让我告诉你。所以我改变t x,因为我想这是一个空间,而不是时间的问题。这是二阶导数。负号是为了方便。这是加载。
但这是新事物。我在一个间隔0到1。在0——让我带两个边界条件。
所以我的解决方案在某种程度上确实是这样的。也许回去。所以它是0,0,在解决了微分方程。不是一个很大的区别,但你会发现这是一个全新的类型的问题。
好的。至于这个方程的解,非常新。我仍然有一个y。一个特定的解决方案,解决了方程。然后我还有y null,齐次解,任何解决方案,解决了方程0在右边。
在这个例子——这尤其简单——零方程是二阶导数等于0。线性函数,这些函数二阶导数等于零。这是通用的解决方案。
现在我不得不,而不是初始条件,边界条件。好的。所以我代替x = 0。我代替x = 1。我必须找到y。
我用两个例子。我用两个例子。但总的原则是这些数字,这些常量C1和C2、边界条件。
我把x = 0。然后我会有y(0),这是y特定(0)仍然定义,+ C * 0, + d。解决方案在左端,这应该是0。
然后在右端,最终,我不管这个特定的解决方案是,加上现在我将在x = 1。我只是代入x = 0,然后x = 1。x = 1,我有C + d C + d,给我0。两个0来自那里。
好的。两个方程。他们给我C和d .所以我都解决了。一旦我知道——我知道一旦我找到一个特定的解决方案。
所以我只做两个例子。他们会有两个特别的解决方案。金宝搏官方网站他们是最重要的例子应用程序。我先从第一个例子。
所以我的第一个例子是方程- D第二y, Dx的平方,等于1。那将是我的负载。f (x)是1。
所以我寻找一个方程的特解。当然我可以找到一个函数的二阶导数是1或者- 1。函数将——好吧,如果我想要二阶导数1,然后可能1/2 x的平方是正确的事情。给我一个-。所以我认为我有一个- 1/2 x的平方。这种方法解决了方程。
现在我有残雪+ d .齐次,零的解决方案。现在我插入。再一次,我总是以y(0)为0,和y (1 0。边界条件。边界条件,初始条件。
好的。代入x = 0。在x = 0处,我学习什么?x = 0。这就是0,0,所以我知道D = 0。
在x = 1,我学习什么?这是- 1/2。D = 0。和x = 1。所以我认为我们学习C + 1/2。好了吗?
在x = 1,我应该从边界条件得到0。所以我有- 1/2 + 1/2 + 0。我做得到0。这是很好的。
那么,这答案是,残雪是1/2 x - 1/2 x的平方。就是这样。这是我的解决方案。这个函数是0两端,它解决了微分方程。
这是一个简单的例子。也许我可以给你一个应用程序。假设我有一杆。这里有一个酒吧。这些线我把顶部和底部的边界条件给我就行了。
我有一个重量。重量为1。也许酒吧本身。它给——弹性力。取代,重力会把杆向下,因为它的重量。它是有弹性的。
这个功能给我解决方案,给我分配。如果我去一个距离x,然后告诉我,这个酒吧的一部分,最初在x,将额外的y。动作。这是现在在x + y (x, y。,底部是0,0,和积极的。
好的。这是一个非常快速的应用程序的描述。,更重要的是,很快解决这个问题。我能做第二个例子,不会那么容易吗?
好的。再一次,我的方程是-二阶导数等于负载。但现在,这将是一个负载。一个点负载。这是一个点负载x =。
这是我的朋友,δ函数。δ函数,你记住,是0,除了在一个点,这是0。这是在点x = 0。
在我的小的物理问题,现在我在酒吧里没有任何重量。酒吧是薄。轻便。但是我穿上,在x = A,在这一点上,我把重量。
所以这个距离是x = a。这是我的体重,我的负载,挂在这一点上。所以我可以看看会发生什么。负载悬挂在那儿会拉伸杆上方的部分,上面加载和压缩加载下面的部分。这是一个点负载。非常重要的应用。
好的。现在我有这个方程来解决。好的。我可以解决它的一边,x = A我可以解决它的另一面x = A让我这样做。
x不到一个,我已经减去二阶导数。下面的δ函数x,飙升的左边?0。右边和x的负载,0。
零方程的解决方案是什么?金宝搏官方网站y是残雪+ D左边的负载,在那里。现在这里可能有一些不同的常数。我说,y = E x + F,右边的负载。
现在我有四个数字。C, D, E, f .我知道什么?我知道两个边界条件。总是我知道y(0) = 0,固定杆的顶部。y为0等于0。
当我把x = 0,会告诉我D = 0。然后y (1 = 0。这将是这边的负载。所以当我在x = 1,会告诉我,E + F是0,x = 1。所以告诉我,F - E,对吧?
我现在知道什么?D是一去不复返了。0。F - E .所以我能改变这个F - E .所以我E x - E E x - 1照顾的边界条件。在x = 1,消失了。
好的。但我仍然有两个,C和E,。所以我的跳两个进一步的条件是什么?到目前为止我在跳,左边的飙升,冲动,δ函数。并在右边。
但是现在我不得不说,在脉冲发生了什么吗?δ函数。或在负载。
好的。这里发生了什么?我需要两个方程。我还有C和E。
所以我的第一个方程是负载,酒吧不会解体。它就是上面和下面的压缩。但它不会解体。所以在负载,是x = A。现在我准备x = A。
好的。在x =会发生什么呢?这是一样的。我画一个解决问题的方法,在这里。
这里是x。这是x。这是y。这是x = 0。这是x = 1。
我看到一个线性函数。残雪到x = a .这里我有一个线性函数回到0。你看到了什么?
这是解决方案的图片。解决方案的图形。它有这个0在左边边界。0在正确的边界。之间,残雪在x - e和我连续x = a酒吧不是分开来。
所以,这个解决方案遇到的解决方案。这很好。这是一个条件。
但我需要另外一个,最后一个条件。我必须用δ函数。δ函数告诉我什么?我要去给你答案,而不是δ函数的理论。
这个方程。所以你看我的解决方案是什么。这是一个变化的折线斜率。这是一个斜坡。它有一个角落。所有这些词描述这样的功能。
所以我有一些斜坡,和一些斜坡,让我来告诉你。我会告诉你这些斜坡是什么。我告诉你这些斜坡。所以我会告诉你答案,然后我们将检查。
C是1 - A。在这个地区,我有1 - ax。。
在这个地区,下面,伸展。正排量意味着它的伸展。现在这部分是在压缩,负斜率。我认为在这一地区1 - x乘以一个,将来自那里。
这是我的解决方案。因为δ函数,我需要一个两部分的解决方案。左边的δ函数,点荷载。和右边的点负载。
然后我们可以检查负载,x = A这是1 - A乘以A .这是1 - A见面。
现在是这个神秘的第四个条件的斜坡上。斜率下降1。这里的斜率为1 - A . 1 -一个是斜率。这里斜率是-你看到- x乘以A,所以导数- A。
这是1 - a 1下降,给我留下- a的解决方案是什么样子。
现在我不得不说一个词为什么斜率下降1。斜率下降了1,从1 - A - A和来自这个δ函数。
当然你还记得关于δ函数。关键是如果你把δ函数,得到1。当我把这个方程,我得到一个从δ1右边。左边,我积分二阶导数,得到一阶导数。
太好了。一阶导数在终点,减去起始点的一阶导数,应该是1。这是1的下降。
我会做一个全面的工作δ函数在另一个视频。我想控制这个。我们看到新的想法是边界条件,在这里,我们看到一个δ函数方程边值问题。谢谢你!
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