从系列:了解卡尔曼过滤器
Mathworks Melda Ulusoy
该视频介绍了非线性状态估计后面的基本概念,包括扩展卡尔曼滤波器,无创的卡尔曼滤波器和粒子过滤器。
卡尔曼滤波器只适用于线性系统。如果你有一个非线性系统,想要估计系统状态,你需要使用非线性状态估计器。这个视频探索了不同的非线性滤波器,以帮助您选择一个将工作的非线性系统。扩展卡尔曼滤波器将当前估计均值周围的分布线性化,然后在卡尔曼滤波算法的预测和更新状态中使用这种线性化。无迹卡尔曼滤波器从高斯分布中选择最小样本点集(也称为sigma点),并将它们传播到非线性系统中。然后计算新的转换样本点集的均值和协方差,并使用这些来找到新的状态估计。粒子滤波器的工作原理与无迹卡尔曼滤波器相似,但粒子滤波器可以近似任意分布。为此,粒子过滤器需要更大的点集(称为粒子)。
一般来说,我们希望我们的生活是线性的,就像这张图所示。这可能是关于成功、收入或幸福。但实际上,生活不是线性的。它充满了起伏,有时甚至变得更加复杂。如果你是工程师,你经常需要处理非线性系统。为了帮助你们,我们将讨论非线性状态估计。
以前,我们使用简化的线性汽车模型来讨论通过卡尔曼滤波器的状态估计。但是,如果该系统被建模,使得由于道路摩擦而考虑到非线性,则状态转换功能变为非线性。这里,噪声线性进入系统,但是可能存在噪声不是添加的系统。在一般系统中,状态转换函数或测量功能或两者可以是非线性的。对于所有这些情况,我们需要使用非线性状态估计器而不是卡尔曼滤波器,因为Kalman滤波器仅定义为线性系统。以下是使用Kalman滤波器进行非线性系统估计的Kalman滤波器的问题。卡尔曼滤波器假定高斯分布。如果状态转换功能是线性的,则在进行线性变换之后,该分配保持其高斯性质。虽然这里未示出,但测量函数g(x)也是如此。但是,如果f(x)是非线性的,则产生的状态分布可能不是高斯。 And therefore, the Kalman filter algorithm may not converge. In this case, you can implement an extended Kalman filter (EKF), which linearizes the nonlinear function around the mean of the current state estimate. At each time step, the linearization is performed locally and the resulting Jacobian matrices are then used in the prediction and update states of the Kalman filter algorithm.
当系统是非线性的,并且可以用线性化方法很好地逼近时,扩展卡尔曼滤波器是状态估计的一个很好的选择。然而,它也有以下缺点:由于复杂的导数,用解析方法计算雅可比矩阵可能比较困难;2.数值计算可能会有很高的计算成本;3.你不能将扩展卡尔曼滤波器应用到不连续模型的系统中,因为系统是不可微的,雅可比矩阵也不存在;和4。线性化不能为高度非线性系统提供一个很好的近似。在最后一种情况下,线性化变得无效,因为非线性函数不能用线性函数很好地逼近,而且不能描述系统动力学。
为了解决扩展卡尔曼滤波器的问题,您可以使用另一种称为无迹卡尔曼滤波器(UKF)的估计技术。你知道吗,过滤器的发明者是在注意到同事桌上的除臭剂后想出这个名字的?现在回到滤波器:不像扩展卡尔曼滤波器那样近似非线性函数,无迹卡尔曼滤波器近似概率分布。我们的意思是,这是概率分布。无迹卡尔曼滤波器选择样本点的最小集合,使它们的均值和协方差与这个分布相同。这些点被称为∑点,并围绕平均值对称分布。每个sigma点然后通过非线性系统模型传播。计算非线性变换点的均值和协方差,并计算经验高斯分布,然后使用它来计算新的状态估计。注意,在线性卡尔曼滤波算法中,误差协方差P是在预测步骤中使用状态转移函数计算的,然后使用测量值更新。然而,在无气味卡尔曼滤波器中,我们不以同样的方式计算它,因为我们是根据经验得到它的。
基于非常相似的原理的另一非线性状态估计是粒子滤波器(PF)。它还使用称为粒子的样本点。与Unscented Kalman滤波器的显着差异是粒子滤波器近似于任意分布,因此不限于高斯假设。并且代表明确已知的任意分布,粒子滤波器需求的粒子的数量远远大得比您需要无需的卡尔曼滤波器。
为了进行比较,下面是我们到目前为止讨论过的过滤器的属性。卡尔曼滤波器只对线性系统有效。对于非线性系统的状态估计,可以使用EKF、UKF或PF。注意,对于精确估计状态的EKF,需要对非线性系统模型进行良好的线性化。否则,滤波器提供较差的估计。粒子过滤器是唯一适用于任意分布的过滤器。我们可以看到计算成本随着我们往下移动而增加。粒子滤波器是计算上最昂贵的滤波器,因为它需要大量的粒子来近似任意分布。
在此视频中,我们讨论了不同非线性状态估计后面的基本概念。现在,如果您需要处理汽车示例中的道路摩擦等任何非线性,您知道如何估算非线性系统的兴趣状态。有关EKFS,UKFS和PFS的更多信息,请探索此视频的描述中的资源。
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