解决一个平方线性系统使用bicg使用默认设置，然后调整在溶液方法中使用迭代的公差和数量。

创建一个随机稀疏矩阵一种用50％的密度。还创建一个随机向量b对于右手边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。

rng默认的A = sprand（400400，0.5）;A = A'* A;B =兰特（400,1）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$使用bicg。输出显示器包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{b}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{b}\Vert }$。

X = BICG（A，B）;

bicg在迭代20停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为达到了最大的迭代次数。返回的iterate(第7个)相对剩余值为0.45。

默认情况下bicg使用20次迭代和公差1 e-6，该算法对该矩阵在20次迭代中无法收敛。由于剩余值仍然很大，这是需要更多迭代(或预调节矩阵)的一个好指标。您还可以使用更大的容差来简化算法的收敛。

解决再次用宽容的系统1的军医和100的迭代。

X = BICG（A，B，1E-4100）;

BICG停在迭代100而未收敛到所需的公差0.0001，因为达到迭代的最大数量。返回的iterate(第7个)相对剩余值为0.45。

即使有一个更宽松的容错和更多的迭代，残余误差并没有改善太多。当迭代算法以这种方式停滞时，这很好地表明需要一个预处理矩阵。

计算出的不完全Cholesky分解一种，并使用L '因子如预处理器输入到bicg。

L = ichol（A）;X = BICG（A，B，1E-4100，L'）;

BICG会聚在迭代60与相对残余9.9E-05的溶液。

使用预调节器可以充分改善问题的数值性质bicg可以收敛。

检查使用预调剂矩阵的效果bicg解一个线性系统。

加载west0479，一个479乘479的实非对称稀疏矩阵。

加载west0479A = west0479;

确定b所以，真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$是所有1的向量。

b =和(2);

设置宽容和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用bicg发现在所要求的公差和迭代次数的解决方案。指定五个输出返回有关求解过程的信息：

[X，FL0，RR0，IT0，RV0] = BICG（A，B，TOL，麦克斯特）;FL0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 1

IT0

it0 = 0

FL0是1,因为bicg不收敛到要求的容忍1 e-12在请求的20次迭代中。事实上，的行为bicg是如此的可怜以至于最初的猜测x0 = 0(大小(2),1)是最好的解决方案，并返回，由所指示的it0 = 0。

为了帮助缓慢收敛，您可以指定一个预调节矩阵。自一种是不对称，利用ILU生成预条件 $\mathit{中号}=\mathit{大号}\mathit{ü}$。指定落忍忽略非对角项与值小于1 e-6。解决预处理系统 ${\mathit{中号}}^{-1}\mathit{一种}\mathit{X}={\mathit{中号}}^{-1}\mathit{b}$通过指定大号和ü作为输入,bicg。

安装=结构（“类型”，'ilutp'，“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = bicg (A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

RR1 = 4.1374e-14

IT1

it1 = 6

an的用法ILU预调剂产生的相对残留小于规定的耐受性1 e-12在第六次迭代。输出RV1（1）是规范(b)，以及输出RV1（端部）是规范(b * x1)。

您可以按照进度bicg通过在每一次迭代绘制的相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史与指定容忍线。

semilogy（0：长度（RV0）-1，RV0 /范数（b）中，'-o')举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),'-o'）YLINE（TOL，'R--'）;传说（“不预条件”，“ILU预调节器”，'公差'，“位置”，“东”)包含(“迭代次数”) ylabel (“相对残存”）

检查供应的效果bicg对解决方案有初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为的右边的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$所以的期望解 $\mathit{X}$是那些的向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e]，-1:1,n,n);b =和(2);

使用bicg解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$两次：一次用默认的初始猜测，有一次与解决方案的一个很好的初始猜测。使用200次迭代，两种解决方案的默认公差。金宝搏官方网站指定在第二溶液作为载体的初始猜测与所有元素等于0.99。

麦克斯特= 200;x1 = bicg (A, b,[],麦克斯特);

BICG会聚在迭代35与相对残余9.5e-07的溶液。

x0 = 0.99 * e;x2 = bicg(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

BICG会聚在迭代7与相对残余8.7E-07的溶液。

在这种情况下，提供一个初始猜测将启用bicg更快地收敛。

X0 =零（尺寸（A，2），1）;TOL = 1E-8;麦克斯特= 100;对于k = 1:4 [x,国旗,relres] = bicg (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供解一个线性系统bicg带有一个可计算的函数句柄* x和斧头代替系数矩阵的一种。

创建一个非对称三对角矩阵。预览矩阵。

A =画廊（“威尔克”21) +诊断接头(1(20日1),1)

A =21×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，你可以表示这个操作* x带有函数句柄。什么时候一种乘以一个向量，大多数在所得矢量的元素是零。在结果所对应的非零元素具有非零三对角元素一种。

表达式 $\mathit{一种}\mathit{X}$变为：

$\mathit{一种}\mathit{X}=\left[\begin{array}{ccccccc}10& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+2{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+2{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20.}+2{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$。

将得到的载体可被写为三个矢量的总和：

$\mathit{一种}\mathit{X}=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+2{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+2{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20.}+2{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1\\ {9\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{X}}_{20.}\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$。

同样，表达式为 ${\mathit{一种}}^{\mathit{Ť}}\mathit{X}$变为：

${\mathit{一种}}^{\mathit{Ť}}\mathit{X}=\left[\begin{array}{ccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {2\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {2\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$。

${\mathit{一种}}^{\mathit{Ť}}\mathit{X}=\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {2\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20.}+{\mathit{X}}_{21}\\ {2\mathit{X}}_{20.}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{10\mathit{X}}_1\\ {9\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{X}}_{20.}\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$。

在MATLAB®中，编写一个函数，创建这些向量并将它们加在一起，给出的值* x或斧头，视标志输入而定:

函数Y = afun（X，标志）如果比较字符串(国旗,“notransp”）%计算* x(y = 0;x (1:20))…+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x…+ 2 * [X（2：结束）;0);elseif比较字符串(国旗,“运输”）％计算A'* Xy = 2 * [0;x (1:20))…+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x…+ (x(2:结束);0);结束结束

(在示例的最后，该函数被保存为一个本地函数。)

现在，解这个线性方程组 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$通过提供bicg用函数处理计算* x和斧头。使用的公差1 e-6和25次迭代。指定 $\mathit{b}$的行和 $\mathit{一种}$因此，对于真正的解决办法 $\mathit{X}$是那些的向量。

B =全（总和（A，2））;TOL = 1E-6;麦克斯特= 25;X1 = BICG（@ afun，B，TOL，麦克斯特）

bicg在第19次迭代时收敛到相对残差为4.8e-07的解。

X1 =21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = afun（X，标志）如果比较字符串(国旗,“notransp”）%计算* x(y = 0;x (1:20))…+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x…+ 2 * [X（2：结束）;0);elseif比较字符串(国旗,“运输”）％计算A'* Xy = 2 * [0;x (1:20))…+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x…+ (x(2:结束);0);结束结束