用。解一个平方线性方程组bicgstabl使用默认设置，然后调整解决方案过程中使用的公差和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵A.密度为50%。同时创建一个随机向量B对于右侧的 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$．

rng默认的A=南坡（400400，.5）；A=A'*A；b=兰特（400,1）；

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$使用bicgstabl．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{B}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{B}\Vert }$．

x = bicgstabl (A, b);

bicgstabl在迭代20时停止，但未收敛到所需公差1e-06，因为已达到最大迭代次数。返回的迭代（数字20）的相对残差为0.095。

默认情况下bicgstabl使用20次迭代和一个公差1 e-6，算法在这20次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

使用以下公差再次求解系统：1的军医和100的迭代。

x=双表（A、b、1e-4100）；

Bicgstabl在迭代100时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号100)的相对残差为0.028。

即使有更宽松的容忍度和更多的迭代，残余误差也不会改善很多。当迭代算法以这种方式停滞时，很好地表明需要一个预处理矩阵。

计算不完全Cholesky分解A.，并使用L '作为预条件输入的因子bicgstabl．

L = ichol(一个);x = bicgstabl (A, b, e - 4100 L ');

Bicgstabl在迭代15.5时收敛到一个相对残差为2.5e-05的解。

使用预处理器可以充分改善问题的数值性质bicgstabl能够收敛。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果bicgstabl解线性方程组。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义B这样才能真正解决问题 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$是所有1的向量。

b =和(2);

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用bicgstabl在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = bicgstabl (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0=1

it0

it0 = 0

fl0是1.因为bicgstabl不符合要求的公差1 e-12在要求的20次迭代中。其实，这种行为bicgstabl是如此的可怜以至于最初的猜测x0 = 0(大小(2),1)是最佳解决方案，并返回，如所示it0 = 0．

为了帮助缓慢的收敛，你可以指定一个预处理矩阵。自A.是不对称的，使用ilu生成预处理程序 $\mathit{M}=\mathit{L}\mathit{U}$．指定一个drop tolerance以忽略值小于的非对角线项1 e-6. 求解预条件系统 ${\mathit{A.}\mathit{M}}^{-1.}\mathit{M}\mathit{x}=\mathit{B}$通过指定L和U作为输入,bicgstabl．

设置=结构(“类型”,“ilutp”,“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = bicgstabl (A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 1.0652 e15汽油

it1

it1 = 2

an的使用ilu预处理剂产生的相对残留小于规定的耐受性1 e-12在第二次迭代中。输出rv1 (1)是规范(b)，输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

您可以跟踪bicgstabl通过绘制每次迭代的相对残差。用指定公差的线绘制每个解决方案的残差历史。

符号学（0：长度（rv0）-1，rv0/范数（b），“-o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“-o”)叶林（tol，“r——”）;传奇(“没有先决条件”,ILU预处理的,“宽容”,“位置”,“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的)

检查供应的效果bicgstabl对解有一个初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

使用bicgstabl解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两个解决方案使用20次迭代和默认容忍。金宝搏官方网站指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

麦克斯特= 20;x1 = bicgstabl (A, b,[],麦克斯特);

Biggstable在迭代9.2收敛到相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = bicgstabl(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

Bicgstabl在迭代2时收敛到一个相对残差为5.4e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测是可行的bicgstabl更快地聚合。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;对于k=1:4[x，flag，relres]=biggstabl（A，b，tol，maxit，[]，[]，[]，x0）；x（：，k）=x；R（k）=relres；x0=x；终止

通过提供解一个线性方程组bicgstabl使用计算的函数句柄* x代替系数矩阵A.．

其中一个威尔金森测试矩阵由画廊是一个21乘21的三对角矩阵。预览该矩阵。

A=画廊(“wilk”, 21)

A=21×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01.2.1.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，因此可以表示运算* x使用函数句柄。当A.乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素A.．而且，只有主对角线上有不等于1的非零。

表达式 $\mathrm{斧头}$变成：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{cccccccccc}10& 1.& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1.& 9& 1.& 0& & & & & & 0\\ 0& 1.& 8.& 1.& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1.& 7.& 1.& 0& & & & \\ & & 0& 1.& 6.& 1.& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1.& 5.& 1.& 0& & \\ & & & & 0& 1.& 4.& 1.& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1.& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1.\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1.& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{1.}\\ {\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_{4.}\\ {\mathit{x}}_{5.}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_{1.}+{\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{1.}+9{\mathit{x}}_{2.}+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_{2.}+8.{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$．

结果向量可以写成三个向量之和：

$\mathrm{斧头}=\left[\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_{1.}+{\mathit{x}}_{2.}\\ {\mathit{x}}_{1.}+9{\mathit{x}}_{2.}+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_{2.}+8.{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_{4.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_{1.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_{1.}\\ 9{\mathit{x}}_{2.}\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{x}}_{2.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值* x:

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);终止

(这个函数在示例的最后保存为一个本地函数。)

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}=\mathit{B}$提供bicgstabl使用计算的函数句柄* x. 使用公差为1 e-12和50次迭代。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = bicgstabl (@afun, b,托尔,麦克斯特)

Bicgstabl在迭代5.2处收敛到一个相对残差为2e-15的解。

x1=21×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun（x1）产生一个1的向量。

afun（x1）

ans=21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = [0;x (1:20)] +．..[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +．..[x (21);0);终止