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h2syn

H2LTI装置的控制合成

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[K CL GAM,信息]= H2SYN (P, n mea, NCON)

描述

[K CL GAM,信息]= H2SYN (P, n mea, NCON)计算一个稳定H2最优控制器K用于分区的LTI工厂P：

线性时不变系统P输入在哪里被分割B1扰动是输入吗B2控制输入、输出是否为C1误差是否要保持在小的范围内，输出是多少C2是提供给控制器的输出测量值。B2列大小(NCON),C2有行大小(n mea)．控制器,K，是状态空间(党卫军)模型，并具有与之相同数量的状态P．

如果P是由mktito，则可以省略n mea和NCON从参数。

闭环系统返回CL和实现H2成本γ在GAM．信息是一个结构体数组，该数组返回有关设计的附加信息。

H2控制系统CL =融通(磷、钾)=．

输出参数

描述
K

LTI控制器
CL =融通(磷、钾)

LTI闭环系统 T y 1 u 1

GAM =规范(CL)

H2最优成本γ＝ ‖ T y 1 u 1 ‖ 2

信息

额外的输出信息

附加的输出结构数组信息包含可能的附加信息，取决于方法）

信息。规范

四个不同数量的规范，完全信息控制成本(FI)，输出估计成本(OEF)，直接反馈成本(DFL)和完全控制成本(FC)。规格= [fi oef DFL fc];
信息。KFI

全信息增益矩阵(持续反馈)

u 2 （ t ） ＝ K F 我 x （ t ）

信息。GFI

完整信息闭环系统GFI = ss (B1, b2 * KFI C1-D12 * KFI,这里)
信息。HAMX

X哈密顿矩阵(状态反馈)
信息。HAMY

Y哈密顿矩阵(卡尔曼滤波器)

例子

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用三个状态，两个测量信号和一个控制信号稳定一个4x5不稳定的设备。

在实践中，P是您通过将一个系统模型与适当的H2加权函数相结合来控制而构建的一个扩充的工厂。对于本例，使用一个随机生成的模型。

rng (0,“旋风”）;P = rss(3、4、5);

这个命令创建一个4输出5输入的稳定模型，然后取它的厄米共轭。这个操作产生了一个5输出4输入的不稳定模型。对于这个例子，假设一个输入是控制信号，两个输出是测量值。

确认P不稳定。所有的极点都在右半平面上。

极(P)
Ans = 0.2593 15.9497 20.7994

设计稳定控制器，假设NMEAS = 2和NCON = 1。

[K CL GAM] = h2syn (P 2 1);

检查闭环系统以确认装置稳定。

极(CL)
Ans = -26.8951 -22.4817 -20.6965 -17.6041 -0.8694 -2.6697
打开脚本

形成灵敏度的奇异值图$ s = (i + gk)^{-1}$和互补的敏感性$ T = GK (I + g·)^ {1}$．

为此，找到一个稳定控制器K这最小化了H_2美元规范:

$ $ {T_ {{y_1} {u_1}}}识别左\ buildrel \δ\ / = \[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA; {{W_1}年代}\ \ & # xA; {({W_2} / G) T} \ \ & # xA; {{W_3} T} & # xA;结束\{数组}}\右]。$ $

假设下列植物和重量:

$ $ G (s) = \压裂{{s - 1}} {{s - 2}}, {\ rm {}} {W_1} = \压裂{{0.1 (s + 1000)}}{{100年代+ 1}},{\ rm {}} {W_2} = 0.1 {\ rm {}} {W_3} = 0。$ $

利用这些值，构建扩增的植物P，如mixsyn参考页面。

s = zpk (“年代”）;G = 10 * (s - 1) / (s + 1) ^ 2;G.u =“u2”；G.y =“y”；W1 = 0.1 * (s + 1000) / (100 * (s + 1);W1。u =“日元”；W1。y =“去年”；W2 =特遣部队(0.1);W2。u =“u2”；W2。y =“日元”；S = sumblk ('y2 = u1 - y'）;P =连接(G S W1 W2, {‘u1’，“u2”}，{“去年”，“日元”，“日元”}）;

使用h2syn来生成控制器。注意，这个系统有NMEAS = 1和NCON = 1。

[K CL GAM] = h2syn (P, 1,1);

检查生成的循环形状。

L = G * K;S =发票(1 + L);T = 1;sigmaplot (L,“k -”。年代,“r”T‘g’)传说(“开环”，“敏感”，“闭环”）

限制

  • （一个，B2，C2)必须积和检测．

  • D12必须有完整的列秩和D21必须有完整的行秩

算法

的H2最优控制理论起源于频域解释，与时域状态空间LQG控制理论相关的代价函数［1］．这里所用的方程式和相应的命名法取自道尔的著作et al。, 1989年［2］-［3］．

h2syn解决了H2最优控制问题的观察，它是等价于一个常规的线性二次高斯最优控制问题。为简单起见，我们将只描述连续时间情况下的算法细节，在这种情况下代价函数JLQG满足

J l 问 G ＝ lim T → ∞ E ｛ 1 T ∫ 0 T y 1 T y 1 d t ｝ ＝ lim T → ∞ E ｛ 1 T ∫ 0 T ［ x T u 2 T ］ ［ 问 N c N c T R ］ ［ x u 2 ］ d t ｝ ＝ lim T → ∞ E ｛ 1 T ∫ 0 T ［ x T u 2 T ］ ［ C 1 T D 12 T ］ ［ C 1 D 12 ］ ［ x u 2 ］ d t ｝

与植物的噪音u1强度I通道，通过矩阵[B1;0;D12]产生与植物ξ相关的等效白和白测量噪声θ具有联合相关函数

E ｛ ［ ξ （ t ） θ （ t ） ］ ［ ξ （ τ ） θ （ τ ） ］ T ｝ ＝ ［ Ξ N f N f T Θ ］ δ （ t − τ ） ＝ ［ B 1 D 21 ］ ［ B 1 T D 21 T ］ δ （ t − τ ）

的H2最优控制器K（年代)因此可以以通常的LQG方式作为全状态反馈来实现KFI以及带有残差增益矩阵的卡尔曼滤波器K足球俱乐部．

  1. 卡尔曼滤波器

    x ＾ ˙ ＝ 一个 x ＾ + B 2 u 2 + K F C （ y 2 − C 2 x ＾ − D 22 u 2 ） K F C ＝ （ Y C 2 T + N f ） Θ − 1 ＝ （ Y C 2 T + B 1 D 21 T ） （ D 21 D 21 T ） − 1

    在哪里Y＝YT≥0是卡尔曼滤波Riccati方程的解

    Y 一个 T + 一个 Y − （ Y C 2 T + N f ） Θ − 1 （ C 2 Y + N f T ） + Ξ ＝ 0

  2. 全状态反馈

    u 2 ＝ K F 我 x ＾ K F 我 ＝ R − 1 （ B 2 T X + N c T ） ＝ D 12 T D 12 ） − 1 （ B 2 T X + D 12 T C 1 ）

    在哪里X＝XT≥0解状态反馈Riccati方程

    一个 T X + X 一个 − （ X B 2 + N c ） R − 1 （ B 2 T X + N c T ） + 问 ＝ 0

    最后一个积极的反馈H2最优控制器 u 2 ＝ K （ 年代 ） y 2 有熟悉的封闭形式吗

    K （ 年代 ） ： ＝ ［ 一个 − K F C C 2 − B 2 K F 我 + K F C D 22 K F 我 K f − K F 我 0 ］

    h2syn实现连续最优H2控制设计计算使用道尔，et al。［2］；对离散时间的植物,h2syn使用相同的控制器公式，只是替换了相应的离散时间Riccati解(dare)金宝搏官方网站X和Y．通过黎卡提方程得到了一个哈密顿量。在连续时间的情况下，最优H2常模是无限大时的植物D11与输入干扰和输出误差相关的矩阵为非零;在这种情况下，是最优的H2控制器返回的h2syn是按先设定算的吗D11为零。

  3. 最优成本联欢

    全信息成本由方程给出 （ 跟踪 （ B ” 1 X 2 B 1 ） ） 1 2 ．输出估计成本(OEF)由 （ 跟踪 （ F 2 Y 2 F ” 2 ） ） 1 2 ,在那里．扰动前馈代价为 （ 跟踪 （ l ” 2 X 2 l 2 ） ） 1 2 ,在那里l2被定义为 − （ Y 2 C ” 2 + B 1 D ” 21 ） 完全控制成本(FC)为 （ 跟踪 （ C 1 Y 2 C ” 1 ） ） 1 2 ．X2和Y2解决方案是什么金宝搏官方网站X和Y黎卡提微分方程,分别。对于无馈通项的连续时间设备(这里= 0)，对于所有离散时间植物，最优H2成本γ＝是

GAM =根号(FI^2 + OEF^2+ trace(D11*D11'));

否则,GAM＝正．

参考文献

［1］A.J. Laub和G. Hartmann，《多变量系统的反馈性质:回报差矩阵的作用和使用》，IEEE反式。自动售货机。来讲.， AC-26，第47-65页，1981。

［2］道尔，j.c.， K. Glover, P. Khargonekar，和B. Francis，“标准H金宝搏官方网站2和H∞控制问题。”IEEE自动控制学报，34卷,没有。8, 831-847页，1989年8月。

［3］Glover, K.和J.C. Doyle，“满足H的所有稳定控制器的状态空间公式∞规范约束和风险敏感性的关系，"系统和控制信件，1988.第11卷，167-172页，1989年8月。

另请参阅

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