平衡

基于平方根法的平衡模型截断

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GRED=balancmr（G）GRED=balancmr（G，订单）[GRED，redinfo]=balancmr（G，key1，value1，…[GRED，redinfo]=balancmr（G，订单，key1，value1，…）

描述

平衡返回降阶模型格雷德的G和一个结构数组redinfo包含简化模型的误差界和原系统的Hankel奇异值。

错误界限是根据的汉克尔奇异值G．对于一个稳定的系统，这些值表示系统各自的状态能量。因此，通过检验系统汉克尔奇异值，可以直接确定系统的降阶。σι．

只有一个输入参数G，该函数将显示原始模型的Hankel奇异值图，并提示减少模型订单号。

方法的无穷范数上保证有一个错误界添加剂错误∥格雷德∥ ∞ 关于条件良好的模型约化问题[1]：

${为 G - G r e d 为}_{\infty} \leq 2 \sum_{k + 1}^{n} σ_{我}$

此表描述了的输入参数平衡．

论点	描述
`G`	LTI模型需要简化。在没有其他输入的情况下，`平衡`将绘制`G`并提示减少订单
`顺序`	(可选)用于简化模型的所需顺序的整数，或可选的包含批处理运行所需顺序的向量

通过指定，可以生成一系列不同的简化订单模型的批处理运行顺序=x:y，或正整数向量。默认情况下，系统的所有反稳定部分都保留，因为从控制稳定性的角度来看，消除不稳定状态对系统建模是危险的。

“MaxError”是否可以以相同的方式指定＇顺序＇.在这种情况下，当Hankel奇异值的尾部之和达到“MaxError”．

该表列出了输入参数“关键”及其“价值”．

论点	价值	描述
`“MaxError”`	不同误差的实数或向量	减少实现H_∞错误。当礼物,`＇``MaxError``＇`覆盖`顺序`输入。
`“重量”`	`{Wout，Win}`单元阵列	可选的1 × 2单元数组的LTI权重`不会`(输出),`赢`（输入）。权重必须稳定、最小相位和可逆。当您提供这些权重时，`平衡`找到使模型的Hankel范数最小化的简化模型 $W_{o u t}^{- 1} （ G - G_{r e d} ） W_{我 n}^{- 1} ．$ 您可以使用加权函数使模型简化算法聚焦于感兴趣的频带。看到的: 专注于特定频带的缩减基于频率相关误差轮廓的模型约简作为替代，您可以使用`balred`在不定义加权函数的情况下，将模型简化集中在特定的频带上。使用`平衡`提供自己的加权函数可以更精确地控制误差分布。默认权重都是相同的。
`“显示”`	`“上”＇`或`“关”`	显示汉克尔奇异图(默认)`“关”`)．
`“订单”`	整数、向量或单元格数组	简化模型的顺序。仅当没有指定作为第二个参数时使用。

此表描述了输出参数。

论点	描述
`格雷德`	LTI降阶模型。当输入是一系列不同模型的阶数数组时，变为多维数组
`雷迪福`	一个包含三个字段的STRUCT数组: `REDINFO.ErrorBound`(绑定∥格雷德∥∞) `REDINFO.StabSV`（G稳定部分的Hankel SV） `REDINFO。UnstabSV`（G不稳定部分的Hankel SV）

G可以是稳定的或不稳定的，连续的或离散的。

例子

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简化模型的排序

如果您没有为简化模型指定任何目标订单，平衡显示模型的Hankel奇异值，并提示您选择简化的模型顺序。

对于本例，使用随机30阶状态空间模型。

rng（1234，“旋风”）;%固定随机种子，例如重复性G=rss（30,5,4）；G1=balancmr（G）

请输入您想要的顺序:(>=0)

检查汉克尔奇异值图。

图中显示系统的大部分能量可以用20阶近似捕获。在命令窗口中输入“20”。平衡返回G1．

检查原始模型和简化模型的响应。

σ(G, G1)

20阶近似与原始30阶模型的动力学相当吻合。

模型简化为指定顺序

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当您考虑特定的目标订单时，可以使用balancmr将高阶模型简化为这些订单。例如，使用随机30阶状态空间模型。

rng（1234，“旋风”）;%固定随机种子，例如重复性G=rss（30,5,4）；

使用标量输入参数将模型简化为单阶。例如，计算20阶近似值。

[G1, info1] = balancmr (20 G);σ(G, G1)

图中包含一个Axis对象。Axis对象包含8个line类型的对象。这些对象表示G、G1。

使用向量生成多个近似值。下面的命令返回从10到18的偶数阶模型数组。

[G2，info2]=balancmr（G[10:2:18]）；sigma（G，G2）

图中包含一个轴对象。axis对象包含24个类型为line的对象。这些对象代表G, G2。

模型简化到指定的最大误差

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获得最低阶近似值，使截断状态的Hankel奇异值之和不超过指定值。对于本例，使用随机30阶状态空间模型。

rng（1234，“旋风”）;%固定随机种子，例如重复性G=rss（30,5,4）；

计算两个近似模型，其中一个误差不超过0.1，另一个误差不超过0.5。为此，请在数组中提供这些值。平衡返回一个近似模型数组。

Gr = balancmr (G,“MaxError”，[0.1 0.5]）；尺寸（Gr）

2x1状态空间模型数组。每个模型有5个输出，4个输入，24到26个状态。

检查结果。

西格玛（G，Gr）

图中包含一个轴对象。axes对象包含12个line类型的对象。这些对象表示G，Gr。

专注于特定频带的缩减

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将四阶系统简化为二阶近似，并强调频段为10 rad/s - 100 rad/s。考虑以下系统。

sys =特遣部队([1 0.5 - 1])+特遣部队(100 * 1/10 [1],[1 1000]);波德(系统)

图中包含2个轴对象。轴对象1包含一个line类型的对象。此对象表示系统。轴对象2包含一个line类型的对象。此对象表示系统。

要将模型简化算法重点放在高频动力学上，请指定一个具有带通剖面的函数。

s=tf(“年代”）;w1 = (s + 1) / (s / 10 + 1) / (s / 60 + 1) * (s / 600 + 1);bodemag (w1)

图中包含一个axes对象。axes对象包含一个line类型的对象。该对象表示w1。

该图证实了加权函数w1具有所需的轮廓，峰值在10 rad/s和100 rad/s之间。要执行缩减，请使用“重量”选择平衡．

权重={1/w1,1}；wrsys=平衡mr（sys，2，“重量”、重量);

将结果与未加权的二阶模型进行比较。

rsys = balancmr (sys, 2);波德(sys、rsys wrsys)传说(“原件”，“未加权”，“加权”）

图形包含2个轴对象。轴对象1包含3个line类型的对象。这些对象表示原始、未加权、加权。轴对象2包含3个line类型的对象。这些对象表示原始、未加权、加权。

使用加权函数得到的模型在10 rad/s-100 rad/s频带内提供了更好的动力学匹配。

基于频率相关误差轮廓的模型约简

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利用加权函数控制原始模型和简化模型之间误差的频率依赖性。

对于本例，加载一个48状态的SISO模型，并将其减少到6阶。

装载(“balancmrData.mat”，“bplant”)bplant6=平衡mr（bplant，6）；bode（bplant、bplant6、bplant-bplant6、日志空间（0,2200））图例(“原件”，“减少”，“错误”）

图中包含2个轴对象。轴对象1包含3个line类型的对象。这些对象表示原始、简化、错误。轴对象2包含3个line类型的对象。这些对象表示原始、简化、错误。

误差在频率上是均匀分布的。创建一个权重函数，允许在低于100 rad/s的频率下产生较大的误差。在这种情况下，使用双固有函数，在低频有单位增益，但在较高的频率下降到-40 dB。

W = tf(0.01*[1 1.4e2 1e4]，[1 14 100]);bplant bodemag (W)

图中包含一个Axis对象。Axis对象包含两个line类型的对象。这些对象表示W，bplant。

使用此加权函数，再次将模型降为6阶。因为植物是一个SISO模型，您可以使用该函数作为输入或输出权重。

bplant6W = balancmr (bplant 6“重量”，W，1}）；bode（bplant，bplant6W，bplant-bplant6W，logspace（0,2200））图例(“原件”，“降低w /重量”，“错误”）

图中包含2个轴对象。坐标轴对象1包含3个类型为line的对象。这些对象代表原始，减重，误差。axis对象2包含3个类型为line的对象。这些对象代表原始，减重，误差。

现在，低频时的误差更大，原始模型和简化模型在高频时的匹配也相应更好。

算法

给定状态空间(A、 B、C、D)的系统和k，所需的降阶，以下步骤将产生一个相似变换，将原始状态空间系统截断为k^th降阶模型。

求能控能观文法的奇异值分解

P = U_pΣ_pV_p^T

Q = U_问Σ_问V_问^T
求文法数的平方根（左/右特征向量）

l_p= U_pΣ_p^½

l_o= U_问Σ_问^½
查找的SVD(l_o^Tl_p）

l_o^Tl_p= UΣV^T
然后左右变换为最终结果k^th降阶模型为

年代_{五十、大的}L =_oU(:,1:k) Σ(1;k,1:k） )^–½

年代_R,大L =_pV(:,1:k) Σ(1;k,1:k） )^–½
最后,

$［ \begin{matrix} \overset{＾}{一个} & \overset{＾}{B} \\ \overset{＾}{C} & \overset{＾}{D} \end{matrix} ］＝［ \begin{matrix} {年代}_{l ， B 我 G}^{T} 一个 {年代}_{R ， B 我 G} & {年代}_{l ， B 我 G}^{T} B \\ C {年代}_{R ， B 我 G} & D \end{matrix} ］$

平方根平衡截断算法的证明见［2］．

工具书类

[1] Glover，K.，“线性多变量系统的所有最优Hankel范数逼近及其Lµ误差界”，《国际控制杂志》，第39卷，第6期，1984年，第1145-1193页

[2] Safonov，M.G.和R.Y.Chiang，“平衡模型简化的Schur方法，”IEEE反式。自动售货机。来讲。，第34卷，第7期，1989年7月，第729-733页

另请参阅

balred|减少|舒尔姆|汉克尔默|bstmr|中心|汉克尔斯夫

之前介绍过的R2006a

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