几年来我们认为阿达玛矩阵显示最大元素增长与完整的旋转高斯消去法。我们错了。

内容

完成旋转生长因子

我想继续讨论以前的博文元素的增长在高斯消去法。假设我们是解决线性方程组涉及矩阵秩序$ n美元美元。让美元现代{i, j} ^ {(k)} $表示矩阵中的元素k美元后一步的消除。回忆,生长因子旋转的过程中,我们使用$ $ \ rho_n数量= {\ max_ {i, j, k} |现代{i, j} ^ {(k)} | \ / \ max_ {i, j} |现代{i, j} |} $ $完成旋转是为了控制生长因子通过使用两行和列交换每一步减少带来的最大元素在整个不可约矩阵到主的位置。在他1962年的舍入误差分析高斯消去法,j·h·威尔金森证明了生长因子完全旋转满足$ $ \ rho_n \ le g (n)的$ $生长函数$ $ g (n) = (n \ 2 \ 3 ^ {5} 4 ^ {1/3} \ cdots n ^ {1 / (n - 1)}) ^{5} \大约1.8 \ n ^ {5} n ^ {1/4 \ log {n}} $ $威尔金森的分析清楚地表明增长从来没有真正可以接近这个大。我们发现部分旋转的生长因子2美元^ {n} $。完整的旋转,它的更少。现在,去感受,表达g (n)美元作为一个MATLAB一行程序

g = @ (n)√n * prod ((2: n)。^ (1. / (1: (n - 1)))))

g = function_handle值:@ (n) sqrt (n * prod ((2: n)。^ (1. / (1: (n - 1)))))

查看n = 100美元

g (100)

ans = 3.5703 e + 03

这里g n (n) \约35美元。

阿达玛矩阵

雅克·阿达玛是一位法国数学家生活从1865年到1963年。他在许多领域作出了贡献,从数论偏微分方程。矩阵以他的名字命名的条目+ 1和- 1和相互正交的行和列。张成的n维超平行体美元阿达玛矩阵的行中最大可能的体积超平行体由矩阵与张成条目有界。我们感兴趣的是阿达玛矩阵在MATLAB世界因为他们的基础阿达玛变换,傅里叶变换是密切相关的。他们也适用于错误校正码和统计方差估计。所以MATLAB已经有一个阿达玛函数。这是8-by-8哈达玛矩阵。

H =阿达玛(8)

H = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

检查行是互相垂直。

H的* H

ans = 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8

行导致元素的正交性增长在高斯消去法。如果我们要求的LU分解H,没有旋转真正需要的地方,但同样的结果将由完整的旋转,解决支持现任总统的关系。

陆[L U] = (H)

L = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 U = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 8

这就是一个矩阵n = 8美元$ $ $ $ \ rho_n = n

ρ(n)等于n ?

近30年来每个人相信阿达玛矩阵是极端情况下,生长因子\ rho_n美元与真实完整的旋转矩阵等于n美元。在不同时期在1960年代和70年代我个人做了数值实验寻找矩阵与大主增长。电脑我当时有限的几十个矩阵。我从来没有发现任何\ rho_n > n美元。的一个工作人员的问题是伦纳德Tornheim雪佛龙在加州的研究。他还做了大量的数值实验。他发现一个复杂3×3矩阵\ rho_3 > 3美元。他也证明了真正的矩阵,\ rho_3 = 2 \ 1/4美元。1968年,科林·克莱尔官方推测\ rho_n等于n美元美元真正的矩阵。简,布莱恩·彼得森于1988年发表的一篇论文提供了一个很好的调查的是什么知道,时间对元素增长与完整的旋转。

尼克·古尔德的惊喜

然后在1991年,从牛津,尼克•古尔德惊讶我们所有人宣布真正的发现矩阵的完全旋转\ rho_n大于n美元美元。n——- n美元美元的矩阵,与n 13 - 16美元,尼克建立一个大型的、稀疏、非线性优化问题,涉及大约$ n ^ 3/3 $变量,并解决兰斯洛特包,他和他的同事安迪康涅狄格州和菲利普Toint发达。他大部分的论文是关于一个13-by-13矩阵$ $ \ rho_{13} = 13.0205 $ $这个刚刚超过$ \ rho_n = n猜想美元。但他也发现了一些稍大的矩阵,把工作做得更好。$ $ \ rho_ {14} = 14.5949 $ $ $ $ \ rho_ {15} = 16.1078 $ $ $ $ \ rho_ {16} = 18.0596 $ $ 16 x16尤其引人注目,因为它不是一个阿达玛矩阵。所以,据我所知,这就是这件事今天仍然有效。没人感兴趣的是运行较大的实验。我不知道美元\ rho_{100} $和$ \ rho_ {1000} $。当然,我们不需要知道,因为我们不使用完整的旋转。

P ^ 8

这让我想起了一个故事,我想告诉。我不确定它是真实的。彼得用校车接送学生是一个斯坦福大学研究生在数学和计算机科学的同时我在60年代早期。他曾与基因Golub编写的算法程序首次出版使用户主反射矩阵QR分解。彼得离开斯坦福加入乔特劳布集团在贝尔实验室,生产他们所称港口库的数学软件。他们从其他人进口程序,运行例程在贝尔实验室的机器,彻底测试软件,决定哪些代码是最好的,并产生一个统一的库。彼得负责矩阵计算。他检查了所有的进口解决线性方程,包括我的。他决定没有一个是令人满意的,因为这种旋转增长问题。所以他自己编写了一个程序,部分旋转,并监控增长。 If the growth was too large, the program switched to complete pivoting. At the time, Bell Labs was trying to patent software, so Peter named his new subroutine "P^8". This stood for "Peter's Pseudo Perfect Partial Pivot Picker, Patent Pending". In my opinion, that is one of the great all time subroutine names. The experience inspired Peter to go to law school at night and change jobs. He switched to the Bell Labs patent department. I've lost contact with Peter, so I can't ask him if he really did name the routine P^8. If he didn't, he should have.

车绕轴旋转

Les福斯特,最后一篇文章中提到的,我寻找的例子指数增长与部分旋转,推动他所说的“车旋转”。搜索的列最大的元素,如部分旋转,但后来也搜索这一行最后一个元素。这是之间的中间部分,完整的旋转。莱斯能够证明一些关于主增长的结果。但该算法不能很好地概括来一块形式。

阿达玛的92。

我出席一个里程碑在阿达玛矩阵的历史。正交性条件容易意味着订单$ n哈达玛矩阵必须是1美元,2或4的倍数。但问题依然存在,阿达玛矩阵的n = 4 k美元存在每个k美元吗?这是数论中一个悬而未决的问题。它是相当容易的创建阿达玛矩阵的大小。漂亮的方法生成一个订单2的幂的阿达玛矩阵递归。

H = 1;为n = 2, 4, 8日…H = (H H H - H);结束

如果一个和B那么,阿达玛矩阵吗

克隆亚麻(A, B)

到1961年,这些和其他类似的结构,结果表明它是知道如何构造哈达玛矩阵的所有订单n \勒100美元四的倍数除了n = 92美元。在1961年我有一个暑期工作在喷气推进实验室,加州理工学院喷气推进实验室,我的办公室在一个临时的拖车,拖车是Len Baumert交配。Len自豪地向我展示了一个彩色图形,他刚拍完,他提议的封面科学美国人。这是一个92 -,- 92矩阵由23-by-23块交替光明与黑暗代表+ 1和- 1细胞。图形不让的封面科学美国人,但我复制了很长一段时间。兰在喷气推进实验室的机器上做了计算,在过去n小于100美元的价值。他的论文和他的同事索尔Golomb,南加州大学教授和马歇尔大厅,Jr .,加州理工学院的教授,发表在著名的《AMS。事实证明,我报名参加了一个课程差集,生成矩阵的数学,从加州理工学院。这是一个MATLAB的照片Baumert92。你可以得到的函数这个链接。

H = Baumert92;pcolor92 (H);

让我们检查我们得到预期的主增长。

陆[L U] = (H);unn = U(结束,结束)

unn = 92.0000

引用

这本书引用Trefethen和鲍起静应该包括在我上一次发布的关于部分旋转。22日有一个讲座在实践中解释部分转动的稳定性。劳埃德·n . Trefethen和大卫Bau三世,数值线性代数,< http://bookstore.siam.org/ot50>、暹罗、1997、362页。彼得用校车接送学生,“监控的数值稳定高斯消去法”,< http://link.springer.com/article/10.1007/BF021650064 >、Numerische Mathematik 16日,1971年,360 - 361。简和布莱恩·彼得森,高斯消去法的“增长”,< http://www.jstor.org/stable/23227556 >,美国数学月刊,95年,1988年,489 - 513。尼克•古尔德”的增长与完整的旋转高斯消去法”,< http://www.numerical.rl.ac.uk/people/nimg/pubs/Goul91_simax.pdf>暹罗《矩阵分析与应用12日,1991年,351 - 364。莱斯利·福斯特,”的生长因子和效率与车旋转高斯消去法”,< http://www.math.sjsu.edu/福斯特/ gerpwithcor.pdf>、计算和应用数学学报,86,1997,177 - 194。莱斯利·福斯特,“车旋转LURP:高斯消去法”,matlabcentral / fileexchange / 37721 -车-旋转,2012年MATLAB中央文件交换。伦纳德Baumert、s . w . Golomb和马歇尔大厅,Jr,“发现订92的阿达玛矩阵”,< http://dx.doi.org/10.1090%2fs0002 - 9904 - 1962 - 10761 - 7>,美国数学学会简报》68 (1962),237 - 238。

得到了MATLAB代码发表与MATLAB®R2018a