特解的方法计算一个高度精确的近似特征值我们一直寻找金宝搏官方网站,并保证在精度范围。它还提供了灵活性,包括边界条件导致MathWorks标志。

内容

科技Hochschule Eidgenossische苏黎世

在1965 - 66年,研究生毕业后,我花了一年博士后乙,在苏黎世瑞士联邦理工学院。当时,教师中包括三名世界著名数值分析,爱德华·施蒂费尔,亨氏Rutishauser,彼得Henrici。此外,IBM在Ruschlikon他们的研究的一个分支部门,苏黎世郊区,他们偶尔举行研讨会。去年10月,莱斯利·福克斯,从牛津,参观了IBM中心和谈论工作了他的两个学生,琼·沃尔什和约翰•里德在做l型膜。扩张涉及贝塞尔函数匹配的凹角附近的本征函数的奇点是耦合在剩下的有限差分网格域。福克斯的讲话后不久,我用贝塞尔函数扩展在整个域,避免有限的差异。在几周内我做了计算1604年疾控中心主机的ETH让我非常激动。庆祝,我做了一个l形装饰圣诞树的铝箔在我们的公寓。Henrici贡献了我在做什么工作相关的一些理论背景的Stephan伯格曼和俄罗斯数学家I n . Vekua。和狐狸一起,我们出版一篇论文在暹罗杂志在1967年的数值分析。

特定解决方案的方法金宝搏官方网站

你不需要了解贝塞尔函数欣赏特定的解决方案的方法。金宝搏官方网站使用极坐标,一个特解的任何函数形式$ $ v_ \α(λ\ r \θ=αB_ \ \√{\λ}r)罪\{α(\ \θ})$ $首先注意到美元罪\{α(\ \θ)}部分美元确保该解决方案满足边界条件$ $ v_ \α(λ\ r \θ= 0 $ $沿着两条射线\θ= 0美元和美元\θ={\π}/{\α}$。为l型域可重入的角落有一个角美元\压裂{3}{2}\π美元,所以我们会想要$ $ \α= \压裂{2}{3}j $ $ $ j $是一个整数。B_ \α美元的贝塞尔函数被定义为一个普通的微分方程这意味着任何v_ \α满足偏微分方程美元$ $ \δv_ \α+ \λv_ \α= 0 $ $如果\α美元不是整数,那么B_ \α(r)美元的另一个重要属性。其衍生品炸毁r趋于0美元。这种渐近奇异性正是我们需要匹配特征函数的奇点。我们也可以利用对称性。第一个本征函数是对称中心线的l .我们也可以消除组件来自子域的单位正方形的特征函数。这意味着美元第一本征函数\α= \压裂{2}{3}j $, $美元是一个奇数,不是3的倍数,这是$ $ \ alpha_j = \压裂{2}{3}j, \ \ j = 1, 5、7、11、13日……$ $

边界条件

形成特定的线性组合的解决方案。金宝搏官方网站$ $ u(λ\ r \θ= \ sum_ \αc_ \αv_ \α(λ\ r \θ)$ $这个函数满足我们的整个领域,微分方程满足边界条件在凹角的两条边,和所需的奇异行为。所有我们要做的就是选择\λ和美元系数αc_ \美元u美元满足边界条件,u = 0美元,剩下的边缘l .总的想法是选择外边界上的点和研究矩阵获得的评估特定的解决方案在这些点的线性组合。金宝搏官方网站不同\λ矩阵之前,美元几乎是不足。由此产生的零向量提供所需的系数。如何执行这个总体规划的细节有不同。最好的方法是在函数实现membranetx,可以在这里中描述,PDE章of与MATLAB数值计算。它使用矩阵计算主力,圣言,奇异值分解。相关矩阵的行数是边界上的点数量,列数中术语的数量之和。以下数据来自46-by-9矩阵。让(r_i \ theta_i)美元边界上的点选择。矩阵元素是$ $现代{i, j}(\λ)= B_ {\ alpha_j} \√{\λ}r_i)罪\ {(\ alpha_j \ theta_i)} $ $函数fmintx用于不同\λ和美元找到这个矩阵的奇异值分解的最低。由此产生的矩阵本质上是等级不足和由此产生的右奇异向量是一个零向量提供系数。找到最低$ $ \λ= 9.639723844 $ $这是第一个四个特定的解决方案。金宝搏官方网站垂直规模反映了相应系数的大小。

mps_figs

所有的四个方面

没有这四个方面是远程外边界接近于零,但当他们相加之和为零的图形精度。

mps_figs (4)

这是第一本征函数的l型膜。

只是两个术语

现在我们可以有一些乐趣。这是一个冲浪情节只是前两个的和特定的解决方案。金宝搏官方网站

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这个函数是一个偏微分方程的精确解δu + $ $ \ \λu = 0的值\λ美元美元以上。它满足边界条件u = 0美元凹角的两条边的会议,但它没有明显的外缘。所以只有一些艺术许可证,我们可以称它为第一本征函数的l型膜。当我第一次看到这个冲浪情节,它没有华丽的彩色地图,但是我发现我保持它的形状如此有吸引力。材质的演变、照明和颜色,把这变成我们的标志是我的下一个博客的主题。

Upper and lower bounds

狐狸,Henrici和硅藻土纸不仅是关于特定解决方案的方法。金宝搏官方网站我们也担心找到保证精确的特征值的上下界连续微分算子。一个定理证明了本文涉及的差异满足边界条件的宽度小包含特征值的区间。在1966年,我们证明了$ $ 9.6397238 _{05}< \λ< 9.6397238 ^{84}$ $今天membranetx在MATLAB上,我找到一个\λ美元的价值在这个区间内的中心。

(L,λ)= membranetx (1);格式长λ

λ= 9.639723844021997

Reviving the Method of Particular 金宝搏官方网站Solutions

2005年蒂莫·Betcke和尼克Trefethen出版一篇论文在SIAM Review指出一个严重的缺点在我们中描述的方法福克斯Henrici和硅藻土。方法是尝试在其他领域,尤其是域包含不止一个奇异的角落,矩阵往往会出现近等级不足\λ美元的所有值。很难确定局部最小值。推荐的治疗方法是添加一个数量的内部点和需要非零的近似特征函数。Betcke和Trefethen也近似理论结果证明,当结合他们的计算,增加了四个数字对我们严格的第一特征值范围。$ $ 9.63972384402 _{16}< \λ< 9.63972384402 ^{22}$ $此外,他们如此自信的数值结果,确定准确的特征值就在于这个区间的中心,甚至他们肯定知道下一个数字。\λ\大约9.63972384402195美元美元这同意我离开membranetx几乎完整的双精度的准确性。我想我们终于有这个家伙固定下来。我建议任何人阅读这个博客谁想知道更多关于特定解决方案的方法和计算的特征值l型膜阅读金宝搏官方网站Betcke and Trefethen paper。

The References

莱斯利·福克斯,彼得Henrici,克里夫硅藻土,近似,椭圆算子的特征值,暹罗《数值分析4,89 - 102年,1967年,< https://blogs.mathworks.com/images/cleve/Fox_Henrici_Moler.pdf> Timo Betcke和劳埃德n . Trefethen恢复特定解决方案的方法暹罗评论47岁,469 - 491年,2005年,金宝搏官方网站https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/2005_112.pdfCleve Moler.与MATLAB数值计算Chapter 11, Partial Differential Equations, 2004.//www.tatmou.com/content/dam/mathworks/mathworks-dot-com/moler/pdes.pdf>

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发表与MATLAB®R2014b