维基百科上关于帕斯卡三角形有数百个三角形的属性，还有几十个其他的网页专门介绍它。以下是一些我觉得最有趣的事实。

内容

布莱斯•帕斯卡

布莱斯•帕斯卡(1623-1662)是17世纪法国数学家、物理学家、发明家和神学家。他的Traité du三角形arithmétique（《算术三角形论》)于1665年在他死后出版。但这并不是关于三角形的第一份出版物。在帕斯卡之前几个世纪，印度、中国、波斯、意大利和其他手稿中就出现了各种版本。

二项式系数

的二项式系数通常用${n} \choose {k}$表示从$n$种可能性中选择$k$种无序结果的方法数。这些系数出现在二项式$(x+1)^n$的展开中。例如，当$n = 7$

信谊xN = 7;X7 = expand((x+1)^n)

x7 = x ^ 7 + 7 * x ^ 6 + 21 * x ^ 5 x ^ 4 + + 35 * 35 * x ^ 3 + 21 * x ^ 2 + 7 * x + 1

形式上，二项式系数由$${{n} \choose {k}} = \frac {n!} {k !(n - k) !但是过早的浮点溢出的阶乘使得这不是一个令人满意的计算基础。更好的方法是使用递归$$ {{n} \choose {k}} = {{n-1} \choose {k}} + {{n-1} \choose {k-1} $$这是由MATLAB函数使用的nchoosek (n, k)．

帕斯卡矩阵

MATLAB提供了两个Pascal矩阵。一个是对称的，正定的，在对角线上有二项式系数。

P = pascal(7)

P = 1 1 1 1 1 1 12 3 4 56 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 15 15 35 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 462 1 7 28 84 210 462 924

另一个是下三角形，在行中有二项式系数。(我们一会儿会看到为什么偶数列有负号。)

L = pascal(7,1)

L = 10 0 0 0 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 1 -2 10 0 0 0 0 1 -3 3 -10 0 0 1 -4 6 -4 10 0 1 -5 10 -10 5 -10 1 -6 15 -20 15 -6 1

单独的元素是

P(i,j) = P(j,i) = nchoosek(i+j-2,j-1)

和(暂时忽略负号)for我通用电气\美元j

L(i,j) = nchoosek(i-1,j-1)

第一个有趣的事实是l(较低的)Cholesky因子是多少P．

L = chol(P)'

L = 10 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 2 10 0 0 0 0 1 3 3 10 0 0 1 4 6 4 10 0 15 10 10 5 10 1 6 15 20 15 6 1

所以我们可以重建P从l．

P = l * l '

P = 1 1 1 1 1 1 12 3 4 56 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 15 15 35 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 462 1 7 28 84 210 462 924

帕斯卡三角形

传统的帕斯卡三角形是通过将P顺时针旋转45度，或将L的行以一半的增量向右滑动来获得的。三角形的每一个元素都是上面两个元素的和。

triprint(左)

1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 15 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

单位的平方根

的偶数列l给出负号矩阵就变成了单位矩阵的平方根。

L = pascal(n,1) l_²= L^2

L = 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 1 4 6 0 0 1 5 -10 5 1 0 1 6 15 -20 15 6 1 L_squared = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

这里有一个练习给你。是什么√眼(n))？为什么不是l？

恒等的立方根

当我第一次看到这个时，我很惊讶。逆时针旋转L。结果是恒等式的立方根。

X = rot90(L，-1) x_³= X^3

X = 1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 3 2 1 0 15 10 6 -20 -10 4 1 1 0 0 0 0 0 15 5 1 0 0 0 0 6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X_cubed = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Sierpinski

哪些二项式系数是奇数?这是一个初生的分形。

@(x) mod(x,2)==1;N = 56;L = abs(pascal(n,1));间谍(奇数(L))标题(“奇(左)”）

斐波那契

对对角线的和l是斐波那契数。

N = 12;A = fliplr(abs(pascal(n,1))))为k = 1:n F(k) = sum(diag(A,n-k));结束F

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4 6 0 0 0 0 0 0 1 1 5 10 10 5 0 0 0 0 0 1 6 15 20 15 6 1 0 0 0 0 1 7 21 35 35 21 7 1 0 0 0 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 0 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 0 1 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 F = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

π

下三角帕斯卡矩阵第三列的元素是三角形数．第n个三角形数是一个保龄球瓶数组的第n行中保龄球瓶的数量。$$t_n = {{n+1} \选择{2}}$$

L = pascal(12,1);t = L(3:end,3)'

T = 1 36 10 15 21 28 36 45 55

下面是一个不同寻常的系列，将三角形数与$\pi$联系起来。标志是+ + - - + + - -。

π- 2 = 1 + 1/3 - 1/6 - 1/10 + 1/15 + 1/21 - 1/28 - 1/36 + 1/45 + 1/55 -…

类型pi_pascal

函数pie = pi_pascal(n) tk = 1;S = 1;对于k = 2:n tk = tk + k;如果mod(k+1,4) > 1 s = s +1 /tk;Else s = s - 1/tk;结束结束馅饼= 2 + s;

1000万项将$\pi$精确到小数点后14位。

格式长馅饼= pi_pascal(10000000) err = PI -馅饼

Pie = 3.141592653589817 err = -2.398081733190338e-14

矩阵指数

最后，我喜欢这个。常微分方程$\dot{x_1} = x_1$ $\dot{x_j} = x_j + (j-1) x_{j-1}$的解为$x_j = e^t (t + 1)^{j-1}$这意味着简单对角矩阵的矩阵指数

D = diag(1:7，-1)

D = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0

是

expm_D = round(expm(D))

expm_D = 10 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 21 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 10 0 0 0 0 1 4 6 4 10 0 0 0 15 10 10 5 10 0 1 6 15 20 15 6 10 1 7 21 35 35 21 7 1

谢谢

感谢尼克·海厄姆pascal.m，gallery.m以及n·j·海厄姆的28.4节数值算法的准确性和稳定性，第二版，SIAM, 2002。http://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9780898718027

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