卡米尔·乔丹(1838 - 1922)

图片来源:http://serge.mehl.free.fr/chrono/Jordan.html

(第一次出现在列1994年5月MathWorks通讯的问题。)

矩阵和微分方程的主要数学工具MATLAB®和Simulink®。金宝app约旦标准型是关键矩阵和微分方程之间的关系。那么,为什么不使用MATLAB中的JCF计算的吗?事实上,在符号数学工具箱出现之前,我们甚至没有一个函数计算JCF。

约旦标准型的困难是,它对扰动非常敏感。任何类型的错误——实验数据的不确定性,算术舍入误差,线性化的非线性函数,完全改变了JCF,更重要的是,生成的转换。

让我们先从一个系统n线性的,美元的常系数常微分方程。

$ $ {x} = Ax $ $ \点

$ x (t)是一个向量值函数的t美元,美元点表示分化对t,美元和美元美元是一个给定的n————美元$ n矩阵是独立于美元台币。如果你从来没听说过,或者想忘记——约旦标准型,那么你就希望有一个矩阵V斜向移动美元美元美元,这是V $ ^ {1} V是一个对角矩阵\λ美元美元。变量的变化,

$ $ x = v $ $

减少了$ n——- n问题美元美元美元的实例1×1的情况下,

$ $ \点{y} _k = \求和lambda_k k美元美元

对角矩阵的元素\λ是美元特征值美元的美元和V是美元的列特征向量美元美元。k th美元解决方案的组件y (t)是美元指数函数t由美元的特征值\ lambda_k,美元和初始值求和$ k美元(0)。

求和求和$ $ k (t) = k (0) e ^ {\ lambda_k t} $ $

解决方案的组件x (t)的美元最初的问题然后线性组合的指数函数决定的特征值和特征向量和初始值。

但这种幻想的整个矩阵的一些非常重要的微分方程,像单一,二阶

$ $ \ ddot{你}= 0 $ $

当然,解决方案是一条直线,一个线性多项式在t美元。解决方案是不涉及任何指数。这个方程可以被转换成一个2×2,一阶系统通过x美元的向量组件

$ $ x_1 = u $ $

$ $ x_2 = \点{你}$ $

微分方程

$ $ \点{x_1} = x_2 $ $

$ $ {x_2} = 0 $ $ \点

这可以用矩阵形式

$ $ \点{x} = x $ $ J

在$ J $ 2×2矩阵由MATLAB语句吗

J = [0 1;0 0]

J = 0 1 0 0

这个矩阵不能对角化;没有变化的变量保存了微分方程会产生一个零在右上角。最好是这样,因为微分方程的多项式,指数,解决方案。金宝搏官方网站矩阵J最简单的例子是一个nondiagonal约旦标准型。特征值,在这种情况下,一对0——对角线上,但这至关重要1对角夫妻两个微分方程。

不同变量的变化会导致一个矩阵的结构是不那么明显的。让

$ $ x_1 = u + \点{你}$ $

$ $ x_2 = u - \点{你}$ $

然后方程变成了

$ $ {x} = Ax $ $ \点

MATLAB语句生成的一美元在哪里

(1/2 = 1/2;1/2 1/2)

一个= 0.5000 -0.5000 0.5000 -0.5000

这个新变量的变化并没有改变太多。乔丹的规范形式一个是矩阵J从我们第一次系统。微分方程仍有解决方案,是线性多项式t美元;金宝搏官方网站不能转换成一对解耦与指数方程的解决方案。金宝搏官方网站

但是现在,让我们来扰乱矩阵非常轻微

= (0.5 - -0.49999999;0.49999999 - -0.5)

一个= 0.500000000000000 -0.499999990000000 0.499999990000000 -0.500000000000000

从一对零特征值的变化

λ= eig (A)

λ= 1.0 e-04 -1.0000 * 1.0000

改变$ 10 ^{8}$的矩阵元素变化特征值10美元^ {4}$。现在这个摄动矩阵不同的特征值,并可对角化。特征向量矩阵

[V ~] = eig (A)

V = 0.707177488329075 0.707036066972953 0.707036066972953 0.707177488329075

这个特征向量矩阵V定义了一个变量的变化,将系统转换成包括解耦系统的解决方案金宝搏官方网站exp (t / 10000)和exp (- t / 10000)。但我们知道解决方案应该非常接近台币美元的线性函数。它可能是一个糟糕的主意,试图代表解决方案而言,这两个指数。

这反映在这一事实V是严重的。

电导率(V) = 1.0000 e + 04

这个矩阵一个是一个例子,为什么我们不能用约当标准型的实用计算。从技术上讲,一个有一个完整的线性无关的特征向量和一个对角线JCF。但任何试图利用这一事实将困扰的条件数V和结果精度的损失。另一方面,如果我们试图说一个没有一个完整的特征向量,用nondiagonal JCF,我们也可能是重大的错误。

另一个例子可以从MATLAB生成的测试矩阵,

一个=画廊(5)

= 9 11 -21 63 -252 70 -69 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

这个矩阵构造了其特征多项式

$ $ $ $ \λ^ 5 = 0

所有五个特征值为零。约旦标准型可以获得符号数学工具箱,在这种情况下,精确的整数计算没有圆滑的错误。

J =乔丹(A)

J = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

状态良好的变化的变量,方程

$ $ {x} = Ax $ $ \点

本质上就

$ $ \压裂{d ^ 4 u} {dt ^ 4} = 0 $ $

所有的解金宝搏官方网站决方案都三次多项式在t美元。到目前为止还好。

但现在改变第二对角元素一个从-69年到

(2,2)= -70

= 9 11 -21 63 -252 70 -70 141 -421 1684 -575 575 -1149 3451 -13801 3891 -3891 7782 -23345 93365 1024 -1024 2048 -6144 24572

我想把这作为一个显著的变化;我不愿意近似不变的这个新矩阵画廊(5)。特征多项式是现在

因子(charpoly (A,“λ”))

$ $(\λ1)(\λ^ 4 + 2 \λ^ 3 - 67 \λ^ 2 + 234 \λ- 168)$ $

的一个特征值是1美元。其他四个是截然不同的,无理数的根源是一个不可约四次。约旦标准型对角线。我们可以问符号数学工具箱来计算,但结果不是很有用。

相反,我们可以简单地要求

[V,λ]= eig(一个);λ=诊断接头(λ)

λ= -10.5726 + 0.0000我3.7953 + 1.3331 3.7953 - 1.3331 1.0000 0.9820 + 0.0000 + 0.0000我

微分方程的解的形式发生了巨大变化,从t,美元的一个三次多项式函数涉及诸如\ exp (-10.5726 t)和$美元\ exp (3.7953 t) \罪(1.3331 t)美元。此外,所需变量的变化来获取这个表示是严重的。

电导率(V) = 2.3890 e + 04

的基本困难是矩阵,这样持续下去一个接近,但不完全等于矩阵与nondiagonal JCFs。如果我们试图对角化矩阵,然后放大了错误特征向量矩阵的条件数,可以任意大。另一方面,使用“附近”nondiagonal JCF也可能代表一个不可接受的大错误。我们该死的如果我们做,如果我们不该死的。

数值可靠方法,所有这些都是为了避免约旦标准型。MATLAB和Simulink的部分处理矩阵微分方程使金宝app用其他解决方法,包括舒尔形式(三角形,而不是两对角线)和矩阵指数(这是不从特征值和特征向量计算)。

我不能抵制完成一个自己的故事。教授g·W。“皮特”马里兰大学的斯图尔特在会议上介绍了扬声器通过组合原始打油诗。几年前,他授予我:

教授说克里夫硅藻土有一天,我想买a e的像见鬼一样简单,e x,但我不能得到e的J。

谢谢你,皮特。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2017a