奇异矩阵铅笔和求出算法,更新

发布的克里夫硅藻土,2023年1月10日

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(1月5日发布过早和不完整的。)

今年,2023年,50-th周年求出矩阵广义特征值问题的算法,

Ax =λBx

该算法避免了反相一个或B。,重要的是,求出算法可以用来检测和分析异常问题的实例称为奇异的铅笔。这些铅笔不出现在的标准特征值问题B是单位矩阵。

内容

奇异的铅笔

一个矩阵的铅笔单数如果两个一个和B是单数,此外,一个- - - - - -λBλ是单数。同样,

依据(A -λB)为所有λ= 0。

奇异的铅笔比可能出现更阴险的乍一看。在某种意义上,频谱是整个复杂的飞机。

没有单一的铅笔与标准特征值问题

Ax =λx

在哪里B当然是单位矩阵和非奇异的。

如果一个和B都是真正的对称的或复杂的埃尔米特,但无论是正定,铅笔可能是也可能不是单一的。对称问题频繁发生,有单独的算法和扰动和收敛性理论。

求算法不计算特征值λ,直到最后一步。它稳定地减少一个和B三角形式与对角线α和β。特征值的比率

λ=α. /β

孤立的零α或β收益率零个或无限的特征值没有特殊困难。奇异铅笔当且仅当零发生在α和β发生用相同的指数与精确算法和()导致λ= 0/0 = NaN。

用奇异笔,一些,也许,对角值α和β对扰动非常敏感,所有的特征值计算比率的怀疑。理论上的坏脾气的特征值可以确定克罗内克规范形式,臭名昭著的约旦标准型的泛化。但是,就像乔丹的形式,克罗内克形式不能提供一个稳定的数值算法。

3 x3的例子

一个= [9 8 7;6 5 4;3 2 1]B = [1 3 2;4 6 5;7 9 8)

一个= 9 8 7 6 5 4 3 2 1 B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

我们确认这是一个奇异的铅笔。使用符号数学工具箱来介绍一个自由变量。

信谊λAB = -λ* B

AB =[8 - 3 * 9 -λλ,7 - 2 *λ][6 - 4 *λ,5 - 6 *λ,4 - 5 *λ][3 - 7 *λ,2 - 9 *λ,1 - 8 *λ)

没有进一步的计算,我们可以看到,第二行是第一和第三行的平均λ因此,必须行列式等于零。

与精确算法,每一个语句将产生相同的特征值。引入一些舍入误差,两个的λindeterminant,但λ= 1存在于所有四个结果。是λ= 1一个稳定的特征值?

lambda_AB = eig (A, B) lambda_BA = 1. / eig (B) lambda_ATBT = eig (A, B) lambda_BTAT = 1. / eig (B ', ')

lambda_AB = 1.8984 -1.0000 -0.0807 lambda_BA = -1.0000 0.5837 -1.0000 -0.9274 lambda_ATBT = 0.0829正lambda_BTAT -1.0000 = -0.9661 0

的三角矩阵lambda_AB。

[QAZ, QBZ] =求(A, B);QAZ QBZ

QAZ = 1.6131 10.2664 - -11.0905 -4.2969 - 5.9613 0 0 -0.0000 QBZ = 0.7898 0.0000 6.8901 - -13.5242 4.2969 - -5.9613 0 0

仔细检查对角线显示阿尔法(2)/β(2)是生产1,而阿尔法(3)/β(3)是在舍入舍入。

格式长e阿尔法=诊断接头(QAZ)β=诊断接头(QBZ)格式短

阿尔法= 1.613087771308989 -1.965207685813115 -4.296911800112353 e + e + 00 00 e15汽油β= 7.898460671891234 e-01 4.296911800112357 e + 00 1.359052275299816 e15汽油

威尔金森的例子

吉姆·威尔金森发表的一份调查报告对1979年求出和克罗内克产品。下载188bet金宝搏他的一个例子

一个= [4 3 2 5;6 4 2 7;1 1 2 2;5 3 2 6]B = [2 1 3 4;3 3 3 5;0 0 3 2;3 1 3 5]

= 4 3 2 5 6 4 2 7 1 1 2 2 5 3 2 6 B = 2 1 3 4 3 3 3 5 0 0 3 2 3 1 3 5

使用符号数学工具箱来验证,这是一个奇异的铅笔。

信谊λAB = -λ* B

AB =[4 - 2 *λ,3 -λ,2 - 3 *λ,5 - 4 *λ][6 - 3 *λ,4 - 3 *λ,2 - 3 *λ,7 - 5 *λ][1,1,3 *λ- 2,2 *λ- 2][5 - 3 *λ,3 -λ,2 - 3 *λ,6 - 5 *λ)

行列式等于零λ。

d =侦破(AB)

d = 0

与精确算法,每一个语句将产生相同的特征值,但实际上每组是不同的。所有的特征值是稳定的。

lambda_AB = eig (A, B) lambda_BA = 1. / eig (B) lambda_ATBT = eig (A, B) lambda_BTAT = 1. / eig (B ', ')

lambda_AB = 1.2056 0.7055 -1.0000负lambda_BA lambda_ATBT = -0.2141 + 0.2033 = 1.5097 - 0.6408 0 -1.0000 -0.2141 - 0.2033我0.7013 + 0.0000我lambda_BTAT 1.4508 + 0.0000 = 0.3168 0.9823 1.2325 0

的三角矩阵lambda_AB是

[QAZ, QBZ] =求(A, B);QAZ QBZ

QAZ = 0.7437 4.1769 -12.7279 -5.5000 0.0000 5.2328 2.1602 0 0 0.7857 - 0.0123 0 0 0 -0.2887 QBZ = 0.5005 6.6143 -8.4853 -2.5000 0.0000 3.2668 2.0105 0 0 0 0 0 -0.7904 1.1525 0.2887

更仔细地检查对角线。阿尔法(2)/β(2)是唯一的舍入舍入,但是所有的四个特征值不稳定。

格式长e阿尔法=诊断接头(QAZ)β=诊断接头(QBZ)格式短

阿尔法-2.886751345948121 7.857314232211017 1.216947725307920 = 7.437114999643711 e-01 e-14 e-01 e-01β= 5.005405248737872 e-01 e-01 2.886751345948153 1.021080292327182 e-13 1.152509249099882 e + 00