从系列中:了解波德图
卡洛斯•奥索里奥MathWorks
了解如何在这个MATLAB中为二阶和高阶系统构建Bode图®Carlos Osorio的《Tech Talk》。
到目前为止,我们已经研究了一阶结构的渐近行为,如纯积分器或单极点和零。一旦你开始使用典型的动态系统,很可能你将不得不处理高阶多项式表达式。处理这些问题的诀窍是记住,任何多项式,无论其阶数如何,都可以分解为一系列一阶结构,这些结构将对应于实根,以及许多二阶结构,这些结构将对应于根的复共轭对。
二阶系统的典型例子是质量弹簧阻尼器和RLC电路。这两个,取决于阻尼与质量的比值或者电阻与电感的比值,都有一对复共轭根。一般来说,任何复共轭极对都可以写成这样的标准二阶传递函数形式,其中w_n称为固有频率,zeta称为阻尼比。
请注意,对于我们的两个示例,对于基本机械系统,固有频率等于k/m的平方根,对于基本电气系统,固有频率等于1/LC的平方根。不管怎样,如果我们用标准公式计算二次多项式的根-,减去b加上任何东西的负平方根-,我们发现根的复共轭对将具有这种形式。请注意,只要阻尼比zeta小于1,这些根将仅为复共轭对。任何大于1的根都将成为实数,这意味着系统将表现为两个一阶极点的乘积。
正如我们以前计算频率响应时所做的那样,我们在传递函数中用jw代替s。为了做渐近逼近,我们要看看w_n前后的趋势。当频率w远小于固有频率时,+1将占主导地位。所以大小和相位都近似为0。当w频率与固有频率匹配,二阶项变成1和+ 1,取消和中词变成了纯虚构的常数级的1 /(2 *ζ)和-90度的阶段,因为j是分母,G落在负虚轴。
最后,当频率w远大于固有频率时,二次项将占主导地位。当取对数时,平方将出来并乘以20,因此震级将逐渐接近一条直线,斜率为每十年-40 dBs。相位将变为-180度,因为G现在将落在负实轴上。
请注意,实际共振峰值略微下降到w_n的左侧,因为如果观察极点的虚部,频率分量是w_n乘以(1-zeta)^2的平方根。此调整值称为阻尼固有频率。只有当阻尼比zeta接近0时,阻尼固有频率才会接近w_n。注意,在这种情况下,共振峰的大小将趋于无穷大。
阻尼比的较小值意味着更高、更尖锐的共振峰值以及相位更尖锐的偏移。你可以看到,当我们增加zeta时,共振峰的大小降低,相变变得更平滑。这里我想强调阻尼比0.707,((2)^1/2)/2,这通常被称为临界阻尼。这种阻尼使震级在固有频率为-3 dBs。还要注意,对于zeta等于1的情况,极点的虚部变为0,我们的二阶系统成为位于w_n的两个单实极点的乘积。
在这一点上,让我回到我们的交互设计工具,因为有一些额外的东西,我想强调。首先,我引入一对复共轭极点,我要把它们放在接近10弧度/秒的地方。我来确定一下我把固有频率设为10。
我注意到,因为我从阻尼比1开始,多项式是两个实根的乘积。只要我把阻尼改变为小于1的任意值,比如说0.5,根就变成了一对复共轭值。注意,对于这种特殊情况,固有频率等于1/(2*)的幅度值变成了1/1,在db中是0,所以交叉将发生在固有频率上。
如果我选择一个较小的阻尼比,你将会看到一个更尖锐,更高的幅值峰值。在这个例子中,我选了0.05,这意味着1/(2*)等于10。log10等于1,乘以20等于20db。如果我改变固有频率,我所做的就是移动峰值的位置。
现在,如果我想增加或减少增益,因为对数的性质,我们只是在一个图上叠加这两个结构的效果。在这种情况下,增益10的下限为1,乘以20的下限为20dbs。所以所有发生的事情就是整个星等轨迹被上移了20。注意,相位根本没有受到影响。
现在让我加一个0,大约每秒10弧度。让我确定我的0正好是10弧度。现在发生的事情是,我原来的-40分贝斜率,每十年上升+20分贝,0的相位是-180,上升到-90。类似地,如果我加一个极点,比如说每秒100弧度-,再次,让我确定它实际上是100-,现在每十年上升-40分贝,在0时变成-20,然后在新极点之后又回到-40。所以,使用叠加的概念,我可以很容易地构造我感兴趣的任何传递函数。我所需要做的就是将传递函数分解或因子化为更小的结构,然后以图形方式将所有这些轨迹添加到一起。
理解这个简单的概念是非常有用的,因为它让我们通过观察波德图中的幅度和相位轨迹就能很好地了解系统的基本动力学。
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