理解波德图,第3部分:简单系统
从系列中:理解波德图
学习如何在这个MATLAB中建立一阶系统的波德图®卡洛斯·奥索里奥的技术讲座。波德图描述了一个动态系统的频率响应,并在对数尺度上显示了系统响应的幅度和相位作为频率的函数。您将学习如何交互设计波德图,以研究添加极点和零点对频率响应的影响。
我们刚刚看到了MATLAB中像Bode这样的函数如何直接从系统的输入输出传递函数的动态方程中快速简单地创建频率响应图。作为控制工程师的关键不仅仅是能够创建这些图。重要的是要很好地理解这些幅度和相位轨迹告诉我们系统的行为和稳定性。
博德图最初是由亨德里克·博德博士(Dr. Hendrik Bode)在20世纪30年代,即第二次世界大战前夕,在贝尔实验室工作时开发的,因此得名。这家伙是个杰出的控制工程师,他提出了,在当时,开创性的想法使用渐近幅度和相位图来促进稳定性分析和频域控制系统设计。
要知道那时还没有计算机,所以我猜当时的工程师还在用计算尺,用它们来手动计算所有的对数。渐进方法背后的思想非常简单,但却非常强大。它们将帮助我们更好地理解这些地块是如何实际建造的。
最简单的构造是一个纯积分器,它在拉普拉斯域中对应于1/s。如果我们用jw代替s,函数G就变成了负虚轴上的向量。负是因为分子分母同时乘以-1的平方根。
这个矢量的相位角恒定为-90度,大小为1/w。注意,频率从0到无穷,矢量的大小从无穷到0。用db表示,分数的对数等于分子的对数,这里是1,减去分母的对数,这里是w。
我们知道log(1) = 0。所以这部分消失了,波德图的幅度轨迹变成了一条线,因为我们在横轴上画它,表示log (w)注意到这条线的斜率是- 20db /单位,在这种情况下是一个频率十年。相位保持恒定和-90度,与频率无关。
相反地,如果我们看一个纯微分器,它在拉普拉斯域中只对应s,因为w在分子上。在这种情况下,震级将是一条上升的直线,斜率为每十年+20 db。相位是恒定的正90度。
现在让我们进入第一个构造的艺术比如一个时间常数为的单极。再说一次,如果我们想看频率响应,我们需要用jw代替s。这个向量的大小等于log(1→0)减去20乘以log(分母的大小)
第一印象,这看起来很难画。但是如果你考虑这个表达式,以一种渐近的方式,把图表分成两部分——当频率远低于极点时,在这种情况下,低于1/,每秒辐射亮度,乘以w将变得非常小,数字1将主导表达式。
注意,这使得G变得接近于1/1,这将是实轴上的一个向量。这意味着相位将非常接近于0,其大小的对数也将非常接近于0。当频率远高于极点时,*w将成为主导,在这种情况下,G变得接近于一个负的、纯虚构的向量。这意味着相位将接近-90度,大小的对数将接近一条直线,以每十年-20度的速度滚动并越过零点,其中w等于1/。
请注意,实际的波德图与我们的渐近近似偏差很小。显然,我们会看到最大的差异在1/的临界值附近。从图中,我们还可以看到相位角大约需要20年的时间才能移动90度。所以如果你想在角度上更精确一点,我们可以假设相位在极点值前后每十年下降45度。
使用相同的方法,我们可以看到单个0将产生类似的跟踪。只有在这种情况下,因为0在分子上,相位会移动+90度,磁体的斜率会是+ 20db / 10年。
在这一点上,我想让您感受一下所有这些是如何以更具交互性的方式工作的。我们现在看到的是常数传递函数1的波德图。系统G,在这里,等于1。这意味着log1,也就是0分贝的模和0度的相位,因为它是一个正实数。
我们来看看加一个杆会发生什么。假设接近1弧度每秒。我们可以看到,这个星等图是如何以每十年-20 db的速度立即分解的。相移到-90度。
如果我向右或向左移动磁极,使它变快或变慢,我所做的只是改变这种频率。我们擦掉那个极点,代入一个0。正如预期的那样,现在我们看到星等的正突破和相位的+90。注意纯0的大小在高频处趋于无穷大。
这是非常不受欢迎的行为,因为除了其他不好的事情之外,它很可能会放大我们系统中的各种高频噪声。通常情况下,如果你有一个纯微分器或者一个0,它总是会伴随至少一个极点在频率范围内使增益树向下。
由于图的叠加,记住乘法变成对数尺度上的和。
0的+ 20db的斜率被极点的- 20db的斜率抵消了。与相位相似,0的+90度被拉下了极点的-90度。如果我真的想在更高的频率上进行一些衰减,我所需要做的就是在第一个极点附近添加另一个极点。现在利率的作用变成了- 20 db / 10年。
如果你想要一个更大的下降,但频率更高,只要再加一个极点,嘭,每十年-40度。不管怎样,我想你会同意这个交互设计工具比计算尺和图纸要好得多。我不知道你们怎么想,但我相信Bode博士,顺便说一句,他在河对面的哈佛教了很多年控制,他一定会爱上MATLAB。
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