被动的指数

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此示例显示如何计算线性时间不变系统的各种措施。

被动系统

当所有I / O轨迹时，线性系统G（s）是被动的 $（你（ T. ）那 y （ T. ））$ 满足

$\int_{0.}^{T.} y^{T.} （ T. ）你（ T. ） D. T. > 0. 那 \forall T. > 0.$

在哪里 $y^{T.} （ T. ）$ 表示转置 $y （ T. ）$ 。

测量系统是系统的“多么被动”，我们使用被动指数。

输入的被动性指数定义为最大 $ν$ 这样

$\int_{0.}^{T.} y^{T.} （ T. ）你（ T. ） D. T. > ν \int_{0.}^{T.} 你^{T.} （ T. ）你（ T. ）） D. T.$

系统G是“输入严格被动”（ISP） $ν > 0.$ 。 $ν$ 也称为“输入前馈通信是”（IFP）索引，并对应于使系统被动所需的最小前馈操作。

输出无源性指数定义为最大 $ρ$ 这样

$\int_{0.}^{T.} （ y^{T.} （ T. ）你（ T. ） D. T. > ρ \int_{0.}^{T.} y^{T.} （ T. ） y （ T. ）） D. T.$

系统G是“输出严格无源”(OSP) $ρ > 0.$ 。 $ρ$ 也被称为“输出反馈通过”（OFP）索引，对应于使系统被动所需的最小反馈操作。

I / O被动指数被定义为最大的 $τ$ 这样

$\int_{0.}^{T.} y^{T.} （ T. ）你（ T. ） D. T. > τ \int_{0.}^{T.} （你^{T.} （ T. ）你（ T. ） + y^{T.} （ T. ） y （ T. ）） D. T.$

系统是“非常严格的被动”（VSP） $τ > 0.$ 。

电路例子

考虑以下示例。我们承担了当前 $一世$ 作为输入和电压 $V.$ 作为输出。基于Kirchhoff的电流和电压法，我们获得了转移功能 $G （ S. ）$ 那

$G （ S. ） = \frac{V. （ S. ）}{一世（ S. ）} = \frac{（ L. S. + R. ）（ R. S. + \frac{1}{C} ）}{L. {S.}^{2} + 2 R. S. + \frac{1}{C}} 。$

让 $R. = 2$ 那 $L. = 1$ 和 $C = 0. 。 1$ 。

r = 2;l = 1;c = 0.1;s = tf（'）;g =（l * s + r）*（r * s + 1 / c）/（l * s ^ 2 + 2 * r * s + 1 / c）;

用依差检查是否 $G （ S. ）$ 是被动的。

pf = ispassive（g）

PF =逻辑1

因为pf = true， $G （ S. ）$ 是被动的。用getPassiveIndex.计算被动指数 $G （ S. ）$ 。

％输入被动指数nu = getPassiveIndex（g，'在'）

nu = 2

%产出被动指数rho = getPassiveIndex（g，'出去'）

rho = 0.2857.

％I / O被动指数τ= getPassiveIndex (G,'io'）

Tau = 0.2642

自 $τ > 0.$ ，系统 $G （ S. ）$ 是非常被动的。

频域表征

如果且仅当它是“正真实物”时，线性系统是被动的：

$G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ） > 0. \forall ω \in R. 。$

左边的最小特征值与输入无源性指数有关 $ν$ ：

$ν = \frac{1}{2} \underset{ω}{闵} λ_{闵} （ G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ））$

在哪里 $λ_{闵}$ 表示最小的特征值。同样，当 $G （ S. ）$ 是最小阶段，输出被动索引由：

$ρ = \frac{1}{2} \underset{ω}{闵} λ_{闵} （ G^{- 1} （ j ω ） + G^{- H} （ j ω ））。$

为电路示例验证这一点。绘制电路传递函数的奈奎斯特图。

奈奎斯特（G）

图包含轴。轴包含2个类型的型号。该对象代表G.

整个奈奎斯特图在于右半平面 $G （ S. ）$ 是积极的真实。奈奎斯特曲线上最左边的点是 $（ X 那 y ） = （ 2 那 0. ）$ 所以输入的被动指数是 $ν = 2$ ，我们之前获得的相同价值。同样，奈奎斯特曲线上最左边的点 $G^{- 1} （ S. ）$ 提供输出的传递索引值 $ρ = 0. 。 2 8. 6.$ 。