Simulate Data

从以下方式模拟100年的净出口：

rng(100);% For reproducibilityT = 150; sigma1 = 0.1; sigma2 = 0.2; phi = 0.6; u1 = randn(T,1)*sigma1; x1 = cumsum(u1); Mdl2 = arima('ar'，，，，phi,'方差'，sigma2^2，'Constant'，0）;x2 =仿真（mdl2，t，'y0'，0）;y=X1+X2;数字;plot([x1 x2 y]) legend('x_1'，，，，'x_2'，，，，'y'，，，，'Location'，，，，'最好的'）；ylabel（'净出口'）；Xlabel（'时期'）；

曲折估计方法

Treat $$\varphi$$好像它是未知的和随机的，并使用Zig-Zag方法恢复其分布。实现Zig-Zag方法：

1.选择一个初始值 $$\varphi$$在（-1,1）的间隔中，表示 $${\varphi }_z$$。

2。Create the true state-space model, that is, anSSM代表数据生成过程的模型对象。

3. Use the simulation smoother (simsmooth）to draw a random path from the distribution of the second smoothed states. Symbolically, $$X_{2，，，，z，，，，t}〜p（（X_{2，，，，t}|y_t，，，，X_{1，，，，t}，，，，\varphi ={\varphi }_z）$$。

4.创建另一个具有此形式的状态空间模型

In words, $${\varphi }_{z，，，，t}$$是静态状态和 $$X_{2，，，，z，，，，t}$$is an "observed" series with time varying coefficient $$C_t=X_{2，，，，z，，，，t-1}$$。

5.使用模拟更顺畅地从平滑的分布中绘制随机路径 $${\varphi }_{z，，，，t}$$系列。象征性地 $${\varphi }_{z，，，，t}〜p（（\varphi |X_{2，，，，z，，，，t}）$$，，，，where $$X_{2，，，，z，，，，t}$$涵盖了真实状态空间模型和观测值的结构。 $${\varphi }_{z，，，，t}$$是静态的，因此您可以保留一个值（ $${\varphi }_z$$）。

6.重复步骤2-5多次并存储 $${\varphi }_z$$each iteration.

7. Perform diagnostic checks on the simulation series. That is, construct:

8.其余系列表示从后部分布中得出的 $$\varphi$$。You can compute descriptive statistics, or plot a histogram to determine the qualities of the distribution.

使用Zig-Zag方法估算随机系数

Specify initial values, preallocate, and create the true state-space model.

phi0 = -0.3;PHI初始值的％z = 1000;% Number of times to iterate the zig-zag methodphiz = [phi0;Nan（Z，1）];% Preallocatea = [1 0;0 nan];b = [sigma1;sigma2];C = [1 1];mdl = ssm（a，b，c，'statepe'，，，，[2; 0]);

MDL是一个SSM模型对象。这南充当占位符 $$\varphi$$。

曲折方法的迭代步骤2-5。

为了j = 2 ：（ z + 1）;% Draw a random path from smoothed x_2 series.Xz=simsmooth(Mdl,y,“参数”，，，，phiz(j-1));% The second column of xz is a draw from the posterior distribution of x_2.% Create the intermediate state-space model.az = 1;bz = 0;cz = num2cell（xz（（1：（end -end -1）），2））;dz = sigma2;mdlz = SSM（AZ，BZ，CZ，DZ，'statepe'，2）;％从平滑的PHIZ系列中绘制一个随机路径。phizvec = simsmooth(Mdlz,xz(2:end,2)); phiz(j) = phizvec(1);％phiz（j）是从PHI的后验分布中抽取的结尾

phiz是马尔可夫链。在分析后验分布之前 $$\varphi$$，，，，you should assess whether to impose a burn-in period, or the severity of the autocorrelation in the chain.

Determine Quality of Simulation

Draw a trace plot for the first 100, 500, and all of the random draws.

vec = [100 500 Z]; figure;为了j = 1：3;子图（3,1，j）图（phiz（1：vec（j）））;标题（'Trace Plot for \phi'）；Xlabel（“仿真号码”）；轴tight;结尾

According to the first plot, transient effects die down after about 20 draws. Therefore, a short burn-in period should suffice. The plot of the entire simulation shows that the series settles around a center.

删除前20个绘制后，绘制该系列的自相关函数。

倦怠= 21：z;数字;Autocorr（Phiz（倦怠））;

这autocorrelation function dies out rather quickly. It doesn't seem like autocorrelation in the chain is an issue.

确定后部分布的质量 $$\varphi$$通过计算模拟统计数据并绘制简化的随机抽奖集的直方图。

xbar =平均值（phiz（倦怠））

XBAR = 0.5104

XSTD = STD（PHIZ（倦怠））

Xstd = 0.0988

ci = norminv([0.025,0.975],xbar,xstd);% 95% confidence interval数字;histogram(phiz(burnOut),'Normalization'，，，，'PDF'）；H = GCA;抓住on;simx = linspace（H.Xlim（1），H.Xlim（2），100）;simpdf = normpdf（simx，xbar，xstd）;情节（Simx，Simpdf，'k'，，，，'LineWidth'，2）;h1 = plot([xbar xbar],h.YLim,'r'，，，，'LineWidth'，2）;h2 =图（[0.6 0.6]，h.ylim，，'g'，，，，'LineWidth'，2）;H3 =图（[CI（1）CI（1）]，H.Ylim，，' -  r'，，，，...[CI（2）CI（2）]，H.ylim，，' -  r'，，，，'LineWidth'，2）;图例（[H1 H2 H3（1）]，{'Simulation Mean'，，，，“真正的卑鄙”，，，，'95% CI'}); h.XTick = sort([h.XTick xbar]); h.XTickLabel{h.XTick == xbar} = xbar; h.XTickLabelRotation = 90;

Method: Maximum likelihood (fminunc) Sample size: 150 Logarithmic likelihood: -10.1434 Akaike info criterion: 22.2868 Bayesian info criterion: 25.2974 | Coeff Std Err t Stat Prob ------------------------------------------------------- c(1) | 0.53590 0.19183 2.79360 0.00521 | | Final State Std Dev t Stat Prob x(1) | -0.85059 0.00000 -6.45811e+08 0 x(2) | 0.00454 0 Inf 0

后分布 $$\varphi$$大约正常，平均值和标准偏差约为0.51和0.1。真实的卑鄙 $$\varphi$$为0.6，它小于模拟平均值右侧的一个标准偏差。

计算最大似然估计 $$\varphi$$。也就是说 $$\varphi$$作为固定但未知参数，然后估算Mdl使用卡尔曼过滤器和最大似然。

[〜，estparams] =估计（MDL，Y，PHI0）

estParams = 0.5359

Mle的 $$\varphi$$为0.54。这两个估计都在一个标准偏差或标准误差范围内 $$\varphi$$。