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什么是状态空间模型?

定义

状态空间模型
弥漫状态空间模型
时间不变状态空间模型
时变状态模型

状态空间模型

一种状态空间模型是一个离散时间随机模型，包含两组方程:

一种描述潜在过程如何随时间变化的方法状态方程的）
另一个描述了观察者如何测量每个时期的潜在过程观测方程的）

象征性地，你可以写一个线性，多元，时变，高斯状态空间模型使用以下方程组

$\begin{array}{l} X_{T.} = {一种}_{T.} X_{T. - 1} + {B.}_{T.} 你_{T.} \\ y_{T.} - {（ {Z.}_{T.} β 的）}^{'} = C_{T.} X_{T.} + {D.}_{T.} ε_{T.} 那 \end{array}$

为了T.= 1，......，T.．

$X_{T.} = [X_{T. 1} 那 ...... 那 X_{T. {M.}_{T.}}]'$ 是一个M._T.- 在期间描述一些，可能是不可观察的，现象的动态的多维状态矢量T.．初始状态分布(X_0.）高斯是平均值的μ_0.和协方差矩阵Σ_0.．
$y_{T.} = [y_{T. 1} 那 ...... 那 y_{T. {N.}_{T.}}]'$ 是一个N._T.-描述观察者在周期内如何测量状态的维观测向量T.．
一种_T.是M._T.——- - - - - -M._{T.- 1}状态转换矩阵描述了当时的状态T.在期间转向国家T.- 1。
B._T.是M._T.——- - - - - -K._T.状态干扰加载矩阵描述了如何在期间的状态T.结合在期间的创新T.．
C_T.是N._T.——- - - - - -M._T.测量灵敏度矩阵描述如何在期间观察T.在期间涉及国家T.．
D._T.是N._T.——- - - - - -H_T.观察 - 创新矩阵描述如何在期间观察T.结合同期观测误差T.．
矩阵一种_T.那B._T.那C_T.,D._T.被称为系数矩阵，可能包含未知参数。
$你_{T.} = [你_{T. 1} 那 ...... 那你_{T. {K.}_{T.}}]'$ 是A.K._T.- 在时期的状态扰动的二维，高斯，白噪声，单位方差矢量T.．
$ε_{T.} = [ε_{T. 1} 那 ...... 那 ε_{T. H_{T.}}]'$ 是一个H_T.-维、高斯、白噪声、周期观测创新的单位方差向量T.．
ε_T.和你_T.是不相关的。
为了定常状态空间模型那
- ${Z.}_{T.} = [\begin{matrix} {Z.}_{T. 1} & {Z.}_{T. 2} & \dots & {Z.}_{T. D.} \end{matrix}]$ 是行T.A.T.——- - - - - -D.矩阵的预测Z.．每一列Z.对应于一个预测器，每个连续的行对应一个连续的周期。如果观察结果是多元的，那么所有的预测因子都会缩小每个观察结果。
- β是A.D.——- - - - - -N.回归系数的矩阵Z._T.．

要编写一个时间不变的状态空间模型，请删除T.所有系数矩阵和尺寸的下标。

弥漫状态空间模型

扩散状态空间模型是状态空间模型这可以包含至少一个具有无限初始方差的状态，称为a弥漫状态．除了具有无限初始方差之外，所有漫射状态还与模型中的所有其他状态不相关。使用漫反射状态空间模型有几个动机：

对一些非间断系统的早期起点的研究，例如随机步行过程，导致接近无穷大的初始分布差异。
初始状态分布的无限方差说明完全不知道，或没有先验知识，扩散状态。该规范的优点是对这些状态的分析更加客观。也就是说，观测结果，而不是额外的分布假设，有助于理解扩散状态。其缺点是状态的后验分布可能不合理，似然函数是无界的。然而，有了足够的数据和一个可识别的高斯状态空间模型，滤波和平滑的状态，以及基于它们的可能性，可以使用弥漫卡尔曼滤波器．
通过归因于IT无限差异表示静态，初始状态作为未知参数。

时间不变状态空间模型

在一个时间不变:状态空间模型

系数矩阵对所有周期都是等价的。
各个时期的国家数量，状态干扰，观察和观察创新是相同的。

例如，所有T.，下面的方程组

$\begin{matrix} [\begin{matrix} X_{1 那 T.} \\ X_{2 那 T.} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϕ_{1} & 0. \\ 0. & ϕ_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1 那 T. - 1} \\ X_{2 那 T. - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0．5 & 0. \\ 0. & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 你_{1 那 T.} \\ 你_{2 那 T.} \end{matrix}] \\ y_{T.} = [\begin{matrix} ϕ_{3.} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1 那 T.} \\ X_{2 那 T.} \end{matrix}] + 0．2 ε_{T.} \end{matrix}$

表示一个时不变的状态空间模型。

时变状态模型

在一个时变:状态空间模型

系数矩阵可能从周期到时段发生变化。
国家的数量，状态干扰，观察和观察创新可能会从时期到期改变。例如，如果存在在采样时间帧期间不能测量状态偏移或者一个状态或观察，则可能发生这种情况。此外，您可以使用时变模型来模拟季节性。

为了说明政权的转变，假设T.= 1,…,10

为了T.= 11.

$\begin{matrix} X_{1 那 T.} = [\begin{matrix} ϕ_{4.} & 0. \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1 那 T. - 1} \\ X_{2 那 T. - 1} \end{matrix}] + 0．5 你_{1 那 T.} \\ y_{T.} = ϕ_{5.} X_{1 那 T.} + 0．2 ε_{T.} \end{matrix} 那$

和T.= 12，..，T.

$\begin{matrix} X_{1 那 T.} = ϕ_{4.} + 0．5 你_{1 那 T.} \\ y_{T.} = ϕ_{5.} X_{1 那 T.} + 0．2 ε_{T.} \end{matrix} ．$

有三组状态转换矩阵，而只有两组其他系数矩阵。

建立状态空间模型

要创建一个标准的或扩散的状态空间模型，请使用SSM或DSSM.，分别。对于时间不变模型，通过提供系数矩阵显式指定状态空间模型的参数形式。对于时间变体，复杂的模型或需要约束的模型，请提供参数到矩阵映射函数。该软件可以推断出状态的类型（静止，常量的一个或非间隔），但是最好的做法是使用例如stateType.名称值对参数。

过滤和平滑指定的状态SSM或DSSM.模型，软件使用标准卡尔曼滤波器或者是弥漫卡尔曼滤波器．要实现，软件需要初始状态分布的参数（X_0.）。

对于静止状态（stateType.是0.)，初始均值、方差和协方差是有限的，软件可以推断它们。但是，您可以使用属性指定其他值意思0.和COV0.和点表示法。
对于所有周期都是常数的状态(stateType.是1），初始状态装置是1，CoveriRces是0。
对于非子律或漫反射状态（stateType.是2)：
- 对于标准状态空间模型，初始状态装置为0，初始状态方差是1E7.默认情况下。指定初始状态协方差正，创建一个DSSM.模型对象。
- 对于扩散状态空间模型，初始状态均值为0，初始状态方差为正．