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应用状态空间方法分析Diebold-Li收益率曲线模型

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这个例子展示了如何使用状态空间模型(SSM)和卡尔曼滤波器来分析Diebold-Li收益率模型和宏观收益率模型[２]从美国国库券和债券中获得的月收益率曲线时间序列。通过应用计量经济学工具箱™SSM功能，分析包括模型估计、仿真、平滑、预测和动态行为表征。该示例将SSM估计性能与更传统的计量经济估计技术的性能进行了比较。

2008年金融危机之后，偿付能力监管更加强调市场估值和负债会计。因此，许多金融公司，尤其是保险公司和养老基金，签订年金合同并承担长期负债，这就需要采用复杂的方法来建模和预测收益率曲线。

由于长期负债的价值在低利率下会大幅增加，因此必须对极低收益率的概率进行精确建模。卡尔曼滤波器具有融合时变系数和推断驱动观测到的收益率演变的未观测因素的能力，通常适用于收益率曲线模型参数的估计，然后模拟和预测收益率，这是保险和养老金分析不可或缺的部分。

在本例中，您将使用计量经济学工具箱SSM功能和以下工作流构建、拟合和分析收益率曲线模型:

  1. 在计量经济学工具箱SSM功能的支持下，以参数化状态空间模型的形式表示Diebold-Li仅产量模型。金宝app

  2. 对于yield -only模型，重现在[２]，并将所得结果与发表于[1]．

  3. 对于收益率模型，计算最小均方误差(MMSE)预测，并显示SSM功能的蒙特卡罗模拟能力。

  4. 综合金融和宏观经济因素的宏观Diebold-Li SSM收益率估算方法。

  5. 在状态空间框架中计算脉冲响应函数(IRF)和预测误差方差分解(FEVD)，它们表征了收益率到宏观和宏观到收益率的链接。

  6. 估计外生宏观经济变量增强的dibold - li SSM。

Diebold-Li收益曲线模型

Diebold-Li模型是Nelson-Siegel模型的变体[3]，从原始公式中重新参数化，只包含收益率。观察日期 t 以及成熟的时间 τ ，即产量的Diebold-Li模型 y t （ τ ） 是

y t （ τ ） ＝ l t + 年代 t （ 1 - e - λ τ λ τ ） + C t （ 1 - e - λ τ λ τ - e - λ τ ） ，

地点:

  • l t 长期因素(水平）．

  • 年代 t 是短期因子(斜率)。

  • C t 为中期因子(曲率)。

  • λ 确定曲率上的载荷最大化的成熟度，并控制模型的指数衰减率。

Diebold-Li模型的状态空间公式

计量经济学工具箱SSM表格

的舰导弹对象的计量经济学工具箱使您能够指定状态空间表示中的线性问题。如果需要在SSM上执行以下操作，请将“you .舰导弹对象，该对象将其表示为适当的函数。

  • 用最大似然法估计模型参数估计．

  • 获得未观察到的(潜在)状态和观察到的响应的最佳预测预测．

  • 使用后向递归获得平滑状态光滑的，通过前向递归得到过滤后的状态过滤器．

  • 模拟蒙特卡罗研究中潜在状态路径和观测响应的样本模拟．

  • 通过计算IRF和FEVD来表征模型的动态行为irf而且fevd．

对于状态向量 x t 和观察(响应)向量 y t ，计量经济学工具箱SSM的参数化形式具有以下线性状态空间表示:

x t ＝ 一个 t x t - 1 + B t u t y t ＝ C t x t + D t ε t ，

向量 u t 而且 ϵ t 是不相关的，单位方差，白噪声过程。在SSM中，第一个方程是状态方程第二点是观测方程．模型参数 一个 t ， B t ， C t , D t 是状态转换关系，state-disturbance-loading，measurement-sensitivity,observation-innovation分别是系数矩阵。

虽然SSM函数容纳时变(动态)参数，参数的值和维度可以随时间变化，但在Diebold-Li模型中，参数是时不变的(静态)。

Diebold-Li yield - only SSM

Diebold-Li模型的水平因子、斜率因子和曲率因子遵循一阶向量自回归过程(VAR(1))，形成一个状态空间系统。迪堡，鲁德布希和阿罗巴[２]用水平、斜率和曲率因子组成状态向量。所得到的状态转移方程，控制状态向量的动力学，为

［ l t - μ l 年代 t - μ 年代 C t - μ C ］ ＝ ［ 一个 1 1 一个 1 2 一个 1 3. 一个 2 1 一个 2 2 一个 2 3. 一个 3. 1 一个 3. 2 一个 3. 3. ］ ［ l t - 1 - μ l 年代 t - 1 - μ 年代 C t - 1 - μ C ］ + ［ η l t η 年代 t η C t ］ ，

在哪里 μ j ， j ∈ ｛ l ， 年代 ， C ｝ ，为因子的均值 j ．对应的观测(测量)方程为

［ y τ 1 t y τ 2 t ⋮ y τ N t ］ ＝ ［ 1 1 - e - λ τ 1 λ τ 1 1 - e - λ τ 1 λ τ 1 - e - λ τ 1 1 1 - e - λ τ 2 λ τ 2 1 - e - λ τ 2 λ τ 2 - e - λ τ 2 ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 - e - λ τ N λ τ N 1 - e - λ τ N λ τ N - e - λ τ N ］ ［ l t 年代 t C t ］ + ［ w τ 1 t w τ 2 t ⋮ w τ N t ］ ．

对于平均调整因子的三维向量，Diebold-Li模型具有以下矩阵表示 f t 观察到的产量 y t ：

（ f t - μ ） ＝ 一个 （ f t - 1 - μ ） + η t y t ＝ Λ f t + w t ．

Diebold-Li模型对状态方程因子扰动施加了以下假设 η t 观测方程创新(不同期限观测收益率的偏差) w t ：

  • η t 而且 w t 是正交的，高斯的，白噪声过程，符号

［ η t w t ］ ∼ W N （ ［ 0 0 ］ ， ［ 问 0 0 H ］ ） ．

  • 干扰 η t 是同时相关的，这意味着它们的协方差矩阵 问 nondiagonal。

  • 创新 w t 不相关，这意味着协方差矩阵 H 是斜的。

定义潜在状态 x t 作为均值调整因子

x t ＝ f t - μ ，

并定义截距调整(通缩)收益率 y t ∼ 作为

y ∼ t ＝ y t - Λ μ ．

替代 x t 而且 y t ∼ ，得到的Diebold-Li状态空间系统为

x t ＝ 一个 x t - 1 + η t y ∼ t ＝ Λ x t + w t ．

将Diebold-Li状态空间系统与计量经济学工具箱SSM功能支持的公式进行比较金宝app

x t ＝ 一个 t x t - 1 + B t u t y t ＝ C t x t + D t ε t ．

状态转换系数矩阵 一个 ，且Diebold-Li模型矩阵 Λ 与测量灵敏度系数矩阵相同吗 C 在SSM公式中。

干扰与创新过程之间的关系较为微妙。因为 η t ＝ B u t 而且 w t ＝ D ε t ，则随机变量的协方差必须相等。由于高斯随机向量的线性变换性质，扰动与创新的协方差之间的关系是

问 ＝ B B ” H ＝ D D ” ．

为计量经济学工具箱SSM功能准备Diebold-Li模型，请使用舰导弹函数指定SSM;舰导弹返回一个舰导弹表示模型的模型对象。的舰导弹函数使您能够创建包含已知或未知参数的模型;一个舰导弹包含未知参数的对象是用于估计的模板。您可以显式地设置参数，也可以指定隐式定义SSM的自定义函数。

要显式地创建SSM，必须指定所有系数矩阵 一个 ， B ， C , D ．要指示未知参数值的存在和位置，请指定南值。每一个南条目对应于要估计的唯一参数。当每个参数影响系数矩阵的单个元素并与之唯一关联时，这种创建模型的方法非常方便。

要隐式地创建SSM，您必须指定一个自定义参数到矩阵映射函数，该函数将输入参数向量映射到模型参数 一个 ， B ， C , D ．函数内容定义了模型公式。这种创建模型的方法对于复杂模型或施加参数约束非常有用。

一个舰导弹对象在观测方程中不存储状态变量的非零偏移量或与回归分量相关的任何参数。要估计回归分量的系数，必须对观测值进行压缩 y t ．同样的,其他舰导弹函数期望压缩或预处理的观测结果，以解释观测方程中的任何偏移或回归成分。

由于Diebold-Li模型具有以下不可能显式指定的特征，因此本示例创建了一个舰导弹隐式对象。

  • Diebold-Li模型中的每个因子都包含一个非零偏移(均值)，它代表一个回归分量。

  • 该模型对协方差矩阵施加了对称性约束 问 ＝ B B ” 和协方差矩阵的对角线约束 H ＝ D D ” ．

  • 该模型包括一个衰减率参数 λ ．

前面的状态空间公式不是唯一的。例如，可以将因子偏移量作为状态方程中的状态，而不是观测平减指数。观测压缩的优点是状态向量的维数直接对应于三维空间产量也仅仅Diebold, Rudebusch和Aruoba的因子模型[２]．缺点是估计是在收缩收益率上执行的，因此当您将估计的模型传递给其他模型时，您必须通过收缩收益率，然后膨胀收益率来考虑调整舰导弹功能。

负荷屈服曲线数据

收益率数据由29年的月度非平滑Fama-Bliss美国国债零息收益率测量数据组成，如中所分析和讨论的[1]而且[２]．数据中的时间序列代表了3、6、9、12、15、18、21、24、30、36、48、60、72、84、96、108和120个月的期限。收益率以百分比表示，记录在每个月末，从1972年1月开始到2000年12月结束，总共有348个月曲线，每个月曲线有17个期限。例如，时间戳31-Jan-1972对应于1972年2月初。您可以访问整个未平滑的Fama-Bliss收益率曲线数据集，其中的一个子集在[1]而且[２],在https://www.sas.upenn.edu/~fdiebold/papers/paper49/FBFITTED.txt．

本例使用了整个Diebold-Li数据集Data_DieboldLi.mat重现发表在[２]，并比较了两步方法和SSM方法的结果。或者，您可以通过将数据划分为样本内和样本外周期来分析模型的预测精度，然后将模型拟合到前一个集，并使用后一个集评估估计模型的预测性能。有关评估Diebold-Li模型预测精度的详细信息，请参见表4至表6[1]．

加载Diebold-Li数据集，然后提取产量序列。

负载Data_DieboldLi期限=期限(:);转换为列向量yield = DataTable{:，1:17};用于估计的样本内产量序列日期= DataTable.Time;日期邮票

利用两步法估计仅产量的Diebold-Li模型

Diebold和Li[1]使用两步方法估计其收益率曲线模型的参数:

  1. 修复 λ ，然后，对每个月的收益率曲线，估计水平、斜率和曲率参数。其结果是对未观察到的水平、斜率和曲率因素估计的三维时间序列。

  2. 对第一步得到的因子时间序列拟合一阶自回归模型。

通过修复 λ 时，估计程序为普通最小二乘(OLS)。否则，估计过程是非线性最小二乘。Nelson-Siegel框架集合 λ = 0.0609[3]，这意味着曲率上的载荷(中期因子)在30个月时最大。

由于收益率曲线是作为因素的函数参数化的，预测收益率曲线相当于预测潜在的因素，然后评估Diebold-Li模型作为因素预测的函数。

第一步将三个因素(水平、斜率和曲率)与OLS获得的回归系数相等，并通过重复对每条观测到的收益率曲线进行OLS拟合来累积估计因素的三维时间序列。

对于每个月(行)，执行第一步，使用OLS将以下线性模型拟合到收益率曲线系列。

y j ＝ l + 1 - e λ τ j λ τ j 年代 + （ 1 - e λ τ j λ τ j - e λ τ j ） C ， j ＝ ｛ 3. ， 6 ， 9 ， ． ． ． ， 120 ｝ ．

存储线性模型拟合的回归系数和残差。

Lambda0 = 0.0609;X = [ones(size(到期))(1-exp(-lambda0*到期))./(lambda0*到期).．.((1-exp (-lambda0 *到期日)。/ (lambda0 *期限)exp (-lambda0 *期限)];Beta = 0(大小(收益率，1)，3);残差=零(大小(收益率，1)，数字(期限));为i = 1:size(yield,1) EstMdlOLS = fitlm(X, yield (i，:)'，“拦截”、假);Beta(i，:) = EstMdlOLS.Coefficients.Estimate';残差(i，:) = estmdlols . residual . raw ';结束

β为估计因子的三维时间序列。

拟合一阶自回归(AR)模型到估计因素的时间序列。你可以用两种方法来完成这个任务:

  • 将单变量AR(1)模型分别拟合到每个因素，如[1]．

  • 将VAR(1)模型同时适合所有3个因素，如[２]．

计量经济学工具箱支持单变量和多变量AR估计金宝app。

拟合VAR(1)模型对估计的因素。为了与SSM公式的一致性，它与平均调整因子一起工作，包括一个相加常数来解释每个因子的平均值。

MdlVAR = var (3,1);EstMdlVAR =估计(MdlVAR,Beta);

EstMdlVAR是一个varm表示估计VAR(1)因子模型的模型对象。

仅产量的Diebold-Li SSM估计

接下来，使用隐式方法估计Diebold-Li模型，在隐式方法中创建并指定参数到矩阵映射函数。

映射函数Example_DieboldLi.m将参数向量映射到SSM参数矩阵，压缩观测值以解释每个因素的均值，并对协方差矩阵施加约束。欲知详情，请打开Example_DieboldLi.m．

通过传递到创建SSM舰导弹，参数-矩阵映射函数Example_DieboldLi作为一个匿名函数，其输入参数表示形参向量参数个数．映射函数的其他输入参数静态地指定收益率和期限信息，用于初始化模型进行估计。

Mdl = ssm(@(params)Example_DieboldLi(params，收益率，期限));

Mdl是一个舰导弹中的SSM表示的模型对象Example_DieboldLi．该模型仅仅是一个用于估计的模板。

通过卡尔曼滤波的最大似然估计(MLE)是众所周知的对初始参数值敏感的SSM。因此，本例使用两步方法的结果来初始化估计。

必须传递所需的初始值估计作为一个列向量。通过执行以下步骤构造初值向量:

  1. 指定系数矩阵的初值 一个 通过按列叠加VAR(1)模型估计的3 × 3 AR系数矩阵。

  2. 求系数矩阵的初值 B ， 3 × 3协方差矩阵 问 VAR(1)模型创新的协方差矩阵和 问 ＝ B B ” ．因此，估计 B 的低choolesky因子是多少 问 ．为了确保 问 是对称的，正定的，并且允许非零的非对角协方差，分配与低Cholesky因子有关的六个元素 问 ．换句话说，这个规范假设协方差矩阵 问 是非对角线的，但它为协方差矩阵的下Cholesky因子的对角线以下的元素保留了空间，因此 问 ＝ B B ” ．排列初始值沿和以下的主对角线堆叠矩阵列。

  3. 因为协方差矩阵 H 在Diebold-Li公式中为对角线和 H ＝ D D ” ，矩阵 D SSM为对角线。的初始值 D 为VAR(1)模型残差样本协方差矩阵的对角线元素的平方根，输入收益率数据中的17个期限中的每一个都有一个元素。按列堆叠初始值。

  4. 的 C 矩阵是估计衰减率参数的完全参数化函数 λ ．映射函数直接使用 λ ,所以 C 不需要初始值。的初始值 λ 对传统值0.0609;初始参数列向量的最后一个元素对应于它。

  5. 对于与因子均值相关的初始参数向量的元素，在两步方法的第一步中设置OLS回归系数的样本平均值。

  6. 按顺序堆叠所有初始值 一个 0 ， B 0 ， D 0 ， μ 0 , λ ．

A0 = EstMdlVAR.AR{1};A0 = A0(:);Q0 = estmdlvar .协方差;B0 =[√(Q0(1,1))];0;0;√Q0 (2, 2);0;√Q0(3、3)];H0 = cov(残差); D0 = sqrt(diag(H0)); mu0 = mean(Beta)'; param0 = [A0; B0; D0; mu0; lambda0];

为了便于评估，请设置优化选项。参数估计模型舰导弹模型模板Mdl，得到了产率数据、初始值，并给出了优化选项估计．关闭估算显示。因为协方差矩阵 H ＝ D D ” 是对角线，指定单变量处理多变量序列，以提高估计运行时性能。卡尔曼滤波器每次处理一个向量值的观测值。

选项= optimoptions(“fminunc”，“MaxFunEvals”, 25000,“算法”，“拟牛顿”，.．.“TolFun”1 e-8“TolX”1 e-8“麦克斯特”, 1000,“显示”，“关闭”）;[EstMdlSSM,params] =估计(Mdl，产量，param0，“显示”，“关闭”，.．.“选项”选项,“一元”,真正的);Lambda = params(end);估计衰减率Mu = params(end-3:end-1)';估计因子均值

EstMdlSSM是一个舰导弹模型对象表示估计的Diebold-Li SSM。估计过程采用卡尔曼滤波。

比较估计结果

估计参数

将两步估计方法的结果与SSM拟合的结果进行比较，可以帮助您了解以下特征:

  • 两种方法的结果有多一致

  • 两步估计结果作为SSM估计的初始参数值是否合适

直观地比较估计的状态转换矩阵 一个 利用VAR模型得到的AR(1)系数矩阵，对SSM进行计算。

EstMdlSSM。一个
ans =3×30.9944 0.0286 -0.0221 -0.0290 0.9391 0.0396 0.0253 0.0229 0.8415
EstMdlVAR。基于“增大化现实”技术的{1}
ans =3×30.9901 0.0250 -0.0023 -0.0281 0.9426 0.0287 0.0518 0.0125 0.7881

估计的系数非常一致。对角线元素接近1，表明各因子具有持续的自动态。非对角线元素接近0，表明交叉因素动态较弱。

接下来检查状态扰动加载矩阵 B ．可视化比较相应估计的创新协方差矩阵 问 ＝ B B ” 从两种估计方法。

EstMdlSSM。B
ans =3×30.3076 0 0 -0.0453 0.6170 0 0.1421 0.0255 0.8824
QSSM = estmdlsm . b * estmdlsm . b '
QSSM =3×30.0946 -0.0139 0.0437 -0.0139 0.3827 0.0093 0.0437 0.0093 0.7995
QVAR = EstMdlVAR。协方差
QVAR =3×30.1149 -0.0266 -0.0719 -0.0266 0.3943 0.0140 -0.0719 0.0140 1.2152

估计的协方差矩阵相对一致。随着状态沿主对角线从水平到斜率再到曲率，估计方差增加。

现在比较两种估计方法的因子均值。

μ% SSM因子表示
μ=1×38.0246 -1.4423 -0.4188
mu0”%两步因子表示
ans =1×38.3454 -1.5724 0.2030

水平因子和斜率因子的估计均值一致，但曲率因子的估计均值在大小和符号上不同。

推断的因素

Diebold-Li模型的未观测水平、斜率和曲率因子(潜在状态)是预测未来收益率曲线演变的不可或缺的因素。在示例的这一部分中，您将检查从每种估计方法推断出的状态。

在两步估计法中，潜在状态是OLS步骤中估计的回归系数。

在SSM方法中光滑的函数实现了卡尔曼滤波算法的向后平滑 t ＝ 1 ， ． ． ． ， T ，平滑状态为

E （ x t | y T ， ． ． ． ， y 1 ） ．

SSM框架解释了在估计期间对观测产量的偏移调整，如参数到矩阵映射函数中所指定的那样。具体地说，映射函数压缩了原始观测值，因此估计函数适用于偏移调整后的收益率 y ∼ t ＝ y t - Λ μ 而不是原来的产量 y t ．估计SSMEstMdlSSM不存储数据，因此不知道对原始产量所做的任何调整。因此，当您调用其他SSM函数时，例如过滤器或光滑的时，您必须正确地解释观测方程中包含的与预测因子相关的任何偏移量或回归组件。

通过以下程序推断潜在因素，同时适当地计算抵消量:

  1. 缩小 y t 通过减去与估计偏移量相关的截距 C μ ＝ Λ μ ．此操作补偿了在估计期间发生的偏移量调整。

  2. 通过估计的SSMEstMdlSSM以及通缩后的收益率 y t ∼ 来光滑的．由此产生的平滑状态估计对应于通缩收益率。

  3. 通过添加估计的平均值来调整泄气的、平滑的状态估计 μ 对因子。这一行动导致对未调整的潜在因素的估计。

拦截= estmdlsm . c *mu';通缩收益率=收益率-截距';DeflatedStates = smooth(EstMdlSSM, deflatedyield);EstimatedStates = DeflatedStates + mu;

绘制由两步估计方法和SSM拟合得出的个体水平、斜率和曲率因子来比较估计。

plot(日期，[Beta(:，1) EstimatedStates(:，1)])“水平(长期因素)”) ylabel (“百分比”)({传奇“两步”，“导弹”}，“位置”，“最佳”）

图中包含一个轴对象。标题为Level (Long-Term Factor)的axis对象包含2个类型为line的对象。这些对象表示Two-step, SSM。

plot(日期，[Beta(:，2) EstimatedStates(:，2)])“斜率(短期因子)”) ylabel (“百分比”)({传奇“两步”，“导弹”}，“位置”，“最佳”）

图中包含一个轴对象。标题为Slope (Short-Term Factor)的坐标轴对象包含2个类型为line的对象。这些对象表示Two-step, SSM。

plot(日期，[Beta(:，3) EstimatedStates(:，3)])“曲率(中期因子)”) ylabel (“百分比”)({传奇“两步”，“导弹”}，“位置”，“最佳”）

图中包含一个轴对象。标题为曲率(中期因子)的轴对象包含2个类型为line的对象。这些对象表示Two-step, SSM。

水平面与坡度非常吻合。曲率估计形成的模式是一致的，但数值略有偏差。

接下来显示估计的衰减率参数 λ 与曲率有关。

λ% SSM衰减率
Lambda = 0.0778

估计的衰减率参数略大于两步估计方法使用的值，即0.0609。 λ 确定曲率上的载荷最大的成熟度。两步估计方法固定 λ 0.0609，这反映了在2.5年(30个月)时最大化曲率载荷的决定。相比之下，SSM估计最大曲率荷载发生在不到2年(23.1个月)。

的效果 λ 在曲率加载上，为的每个值绘制曲率加载与成熟度的关系 λ ．

Tau = 0:(1/12):最大(期限);%期限(月)衰减= [lambda0 lambda];装载=零(数字(tau)， 2);为i = 1:元素个数(τ)加载(我:)= ((1-exp(衰变*τ(我)))。/(衰变*τ(i)) exp(衰变*τ(我)));结束图表(tau,Loading)标题(“曲率载荷(中期因子)”)包含(的期限(月)) ylabel (“弯曲加载”)({传奇'\lambda = 0.0609', ('\lambda = 'num2str(λ)],},“位置”，“最佳”）

图中包含一个轴对象。标题为Loading on Curvature (middle - term Factor)的坐标轴对象包含2个类型为line的对象。这些对象表示\lambda = 0.0609， \lambda = 0.077764。

曲率荷载作为成熟度函数的驼峰形行为揭示了为什么曲率被解释为一个中期因素。虽然两种方法之间存在差异，但每种方法得出的因素通常相当接近。由于单步SSM/Kalman滤波估计方法同时估计所有模型参数的灵活性更强，因此该方法优于两步估计方法。

剩余金额汇总

比较两种估计方法观测方程残差的均值和标准差，见表2[２]．在参考文献中，因子载荷矩阵 Λ 状态测量灵敏度矩阵吗 C SSM公式。以基点(bps)表示结果。本例使用自定义函数来显示。详细信息请参见金宝app支持功能．

ResidualsSSM = yield - EstimatedStates* estmdlsm . c ';Residuals2Step =收益率- Beta*X';residualmeansm = 100*mean(ResidualsSSM)';residualStdSSM = 100*std(residualssm)';residualMean2Step = 100*mean(Residuals2Step)';residualStd2Step = 100*std(Residuals2Step)';residualMeanSSM compareresiduals(期限,.．.residualStdSSM,“状态-空间模型”residualMean2Step,.．.residualStd2Step,“两步走”）
------------------------------------------------- 两步的状态空间模型  ------------------- ------------------ 标准标准成熟度平均偏差平均偏差(个月)(bps) (bps) (bps)(个基点 ) -------- -------- --------- ------- --------- 3.0000 -12.6440 22.3639 -7.3922 14.1709 6.0000 -1.3392 5.0715 2.1914 7.2895 9.0000 0.4922 8.1084 2.7173 11.4923 12.0000 1.3059 9.8672 2.5472 11.1200 15.0000 3.7130 8.7073 4.2189 9.0558 18.0000 3.5893 7.2946 3.5515 7.6721 21.0000 3.2308 6.51122.7968 7.2221 24.0000 -1.3996 6.3890 -2.1168 7.0764 30.0000 -2.6479 6.0614 -3.6923 7.0129 36.0000 -3.2411 6.5915 -4.4095 7.2674 48.0000 -1.8508 9.7019 -2.9761 10.6242 60.0000 -3.2857 8.0349 -4.2314 9.0296 72.0000 1.9737 9.1370 1.2238 10.3745 84.000 0.6935 10.3689 0.1196 9.8012 96.0000 3.4873 9.0440 3.0626 9.1220 108.0000 4.1940 13.6422 3.8936 11.7942 120.0000 -1.3074 16.4545 -1.5043 13.3544

由于SSM对大多数期限产生较低的剩余均值和标准偏差，因此SSM比两步估计方法提供了更好的拟合，特别是对于6至60个月的期限。

预报估计SSM

预测估计的SSMEstMdlSSM，通过实现最小均方误差(MMSE)预测和蒙特卡罗模拟方法，SSM功能支持这些方法。金宝app

因为Diebold-Li模型只依赖于估计的因素，你可以通过预测每个因素来预测收益率曲线。此外，由于估计的SSM是基于偏置产量的，因此在预测或模拟模型时，必须补偿偏置调整，如中所述推断的因素．

确定性MMSE预测

通过执行以下操作计算MMSE预测:

  1. 通过EstMdlSSM以及通缩后的收益率 y t ∼ 到预测函数。预测返回MMSE预测的通缩收益率1,2，…在未来的12个月。

  2. 通过加上估计的偏移量来计算预测的收益 C μ 到通货紧缩的预测收益率。

Fh = 12;%预测时间(月)[预测通缩收益率，FMSE] = forecast(EstMdlSSM,fh，通缩收益率);MMSEForecasts =预测通缩收益率+截距';

预测收益率曲线MMSEForecasts是一个12 × 17矩阵;每行对应预测范围内的一个时期，每列对应一个期限。

蒙特卡罗预报

蒙特卡罗预测相对于MMSE预测的一个优点是，您可以使用蒙特卡罗方法获得的大样本来研究预测分布的特征。

通过蒙特卡罗模拟来预测收益率曲线，一般步骤如下:

  1. 得到周期内的因子估计及其协方差矩阵 T ，即样本内数据的结束，预测视界开始前的最后一段，以初始化蒙特卡罗模拟。这些值确保模拟从最新可用信息开始。估计和协方差矩阵对应于通缩收益率。在估算中指定初始值舰导弹模型对象。

  2. 对于所有期限，在预测范围内绘制许多通缩收益率的样本路径。

  3. 使模拟的、收缩的收益率膨胀。

  4. 对于预测期限和期限中的每个时期，计算模拟路径上膨胀收益率的汇总统计数据。

获得时间 T 因子估计及其协方差矩阵，通过传递估计的SSMEstMdlSSM以及通缩后的收益率 y t ∼ 来光滑的并按周期返回包含所有估计值和协方差的输出结构数组。提取与平滑估计相对应的字段的最后一个元素。

[~，~，results] = smooth(EstMdlSSM, deflatedyield);Mean0 = results(end).SmoothedStates;Cov0 = results(end).SmoothedStatesCov;Cov0 = (Cov0 + Cov0')/2;确保协方差对称

结果是一个 T -by-1结构数组，包含各种平滑估计和推断。因为提取的状态均值和协方差出现在历史数据集的末尾，所以您可以使用过滤器函数，而不是光滑的，以获得用于预测的等效初始状态值。

设置初始状态均值Mean0和协方差Cov0SSM的性质EstMdlSSM到适当的平滑估计。

EstMdlSSM。Mean0＝Mean0；初始状态平均值EstMdlSSM。Cov0＝Cov0；%初始状态协方差

从估计的SSM到预测范围，抽取10万个压缩收益率的样本路径。使模拟的、收缩的收益率膨胀。

rng (“默认”）%用于再现性numPaths = 100000;simulateddefledyield =模拟(EstMdlSSM,fh,numPaths);模拟收益率=模拟通缩收益率+截距';

SimulatedYields是一个12 × 17 × 100,000的数字数组:

  • 每一行是预测视界中的一个时期。

  • 每一列是一个期限。

  • 每页都是从预测分布中随机抽取的。换句话说，每一页都代表了模拟收益率曲线在12个月预测范围内的未来演变。

计算100,000次绘图的样本均值和标准差。

MCForecasts = mean(模拟收益，3);MCStandardErrors = std(simulatedyield，[]，3);

MCForecasts而且MCStandardErrors蒙特卡罗模拟模拟MMSE预测吗MMSEForecasts标准误差FMSE,分别。

直观地比较MMSE和蒙特卡罗模拟预报和相应的标准误差。

图表(期限，[MCForecasts(fh，:)' MMSEForecasts(fh，:)'])标题(“未来12个月的预测:蒙特卡罗与MMSE”)包含(的期限(月)) ylabel (“百分比”)({传奇“蒙特卡罗”，“患者”}，“位置”，“最佳”）

图中包含一个轴对象。标题为12-Month-Ahead Forecasts: Monte Carlo vs. MMSE的axes对象包含2个类型为line的对象。这些对象代表蒙特卡罗，MMSE。

图表(期限，[MCStandardErrors(fh，:)] '根号(FMSE(fh，:))'])标题(“未来12个月预测标准误差:蒙特卡罗与MMSE”)包含(的期限(月)) ylabel (“百分比”)({传奇“蒙特卡罗”，“患者”}，“位置”，“最佳”）

图中包含一个轴对象。标题为“12个月前预测标准误差:蒙特卡洛vs. MMSE”的axis对象包含2个类型为line的对象。这些对象代表蒙特卡罗，MMSE。

这些估计实际上是相同的。

蒙特卡罗模拟的一个好处是，它能够分析收益率的分布超出其平均值和标准误差。蒙特卡罗模拟提供了更多的见解，如何影响分布的其他变量的分布依赖于它。例如，保险业通常使用收益曲线的模拟来评估与年金和养老金合同相关的利润和损失的分布。

显示未来1、6和12个月的模拟12个月收益率的分布，类似于表4到表6中的预测实验[1]．

Index12 = find(期限== 12);12个月收益率的页面指数Bins = 0:0.2:12;图subplot(3,1,1)直方图(simulatedyield (1,index12，:)，bin，“归一化”，“pdf”)标题(“12个月收益率PDF”)包含(“未来一个月的收益率(%)”) subplot(3,1,2)直方图(simulatedyield (6,index12，:)，bin，“归一化”，“pdf”)包含(“未来6个月收益率(%)”) ylabel (“概率”) subplot(3,1,3)直方图(simulatedyield (12,index12，:)，bin，“归一化”，“pdf”)包含(“未来12个月收益率(%)”）

图中包含3个轴对象。标题为PDF of 12-Month Yield的Axes对象1包含一个直方图类型的对象。坐标轴对象2包含一个直方图类型的对象。坐标轴对象3包含一个直方图类型的对象。

在预测范围内较远处的预测比接近样本期末期的预测更不确定。

利用宏观因素增强收益率曲线模型

宏观收益率模型对纯收益率模型进行了扩展，引入了宏观经济和金融因素。表征经济活动的最小变量集包括制造业产能利用率(铜， z 1 ， t ）[7]、联邦基金利率(FEDFUNDS， z 2 ， t ）［5］，以及每年的物价上涨(π， z 3. ， t ）[6]，在向量自回归中与水平、斜率和曲率因子相互作用。增广SSM为

（ f t - μ ） ＝ 一个 （ f t - 1 - μ ） + η t ［ y t z t ］ ＝ ［ Λ 0 0 我 ］ f t + ［ w t 0 ］ ，

在哪里 f t ＝ ［ l t ， 年代 t ， C t ， z 1 ， t ， z 2 ， t ， z 3. ， t ］ ” 而且 z t ＝ ［ z 1 ， t ， z 2 ， t ， z 3. ， t ］ ” ．的维度 一个 而且 μ 分别增加到6 × 6和6 × 1。观测方程 y t ＝ ［ Λ 0 ］ f t + w t 表明水平、斜率和曲率因素充分提取了收益率曲线中的信息。同时, z t ＝ （ 0 我 ） f t 表示宏观经济变量的观测没有测量误差。SSM框架解释了缺失的观测，表示为南通过替换卡尔曼滤波得到的估计值，得到数据中的值。与只考虑收益率的公式一样，白噪声过程也是如此 η t 而且 w t 有分布

［ η t w t ］ ∼ W N （ ［ 0 0 ］ ， ［ 问 0 0 H ］ ） ，

在哪里 问 是6 × 6对称正定矩阵，和 H 是斜的。

SSM功能支持的公式是金宝app

x t ＝ 一个 t x t - 1 + B t u t ζ t ＝ C t x t + D t ε t ，

这些状态是均值调整因子，即 x t ＝ f t - μ ．但事实并非如此

ζ t ＝ ［ y t z t ］ - ［ Λ 0 0 我 ］ μ ．

该模型包含81个未知参数:

  • 一个 包含36个参数。

  • 问 包含21个参数。

  • H 包含17个参数。

  • μ 包含6个参数。

  • Λ 包含标量 λ ．

映射函数Example_YieldsMacro.m将参数向量映射到SSM参数矩阵，压缩观测值以解释每个因素的均值，并对协方差矩阵施加约束。欲知详情，请打开Example_YieldsMacro.m．

估算产量-宏观Diebold-Li SSM

收益率数据集Data_DieboldLi.mat此外还包含宏观经济系列的观察结果，可在美联储经济数据库(FRED)中获得。[4]．宏观经济系列Data_DieboldLi.mat是否与相应系列中的不一致[２]，但这个例子再现了大部分的经验结果。

从数据中提取宏观经济序列，并确定可变维度。

宏=[数据表。铜数据表。FEDFUNDSD一个t一个T一个ble.PI]; numBonds = size(Yields,2); numMacro = size(Macro,2); numStates = 3 + numMacro;

通过最大似然估计81个参数在计算上具有挑战性，但可以通过仔细指定的初始值进行数值优化。

为了得到合理的初始值，拟合向量自回归模型(状态方程)对估计的因素β宏观经济系列宏．然后，从估计模型中提取和处理估计值。

MdlVAR0 = varm(numStates,1);EstMdlVAR0 =估计(MdlVAR0，[Beta宏]);A0 = EstMdlVAR0.AR{1};B0 = chol(EstMdlVAR0。协方差,“低”）;D0 = std(残差);mu0 = [mean(Beta) mean(宏，“omitnan”));p0Macro = [A0(:);非零(B0);D0 (:);mu0 (:);lambda0];

的估计函数通过优化对数似然的方法估计SSM的未知参数fminunc或fmincon．在每次迭代中，估计通过应用卡尔曼滤波器计算对数似然。这个复杂的优化任务可能需要比默认值更大的迭代和函数计算次数。此外，观察向量的维数大大大于状态向量，因此将多变量序列视为单变量的方法可以提高运行时性能。

创建一个优化选项对象，为无约束优化指定最多1000次迭代和50,000次函数计算。通过传递到创建SSM舰导弹，参数-矩阵映射函数Example_YieldsMacro作为一个匿名函数，其输入参数表示形参向量参数个数．映射函数的附加输入参数静态地指定收益率、期限和宏观经济序列信息。输入初始化用于估计的模型。

选项= optimoptions(“fminunc”，“MaxIterations”, 1000,“MaxFunctionEvaluations”, 50000);MdlMacro = ssm(@(params) example_yieldmacroro (params, yield,Macro, maturity));

估算产量-宏观dibold - li SSM。关闭估计显示，并指定优化选项和将多变量序列视为单变量的方法。

[EstMdlMacro, estparammacroro,EstParamCovMacro,logLMacro] = estimate(MdlMacro，[yield Macro]，p0Macro，.．.“显示”，“关闭”，“选项”选项,“一元”,真正的);

因为SSM是在均值调整因子上运行的，所以在对估计模型和观测值进行操作之前，必须对观测值进行压缩(截取-调整)。通过指定估计的参数作为输入，获得估计的SSM系数和压缩数据Example_YieldsMacro.m．显示估计的状态转换矩阵 一个 和状态干扰协方差矩阵 B B ” ，这些因素考虑了宏观经济因素。

[A,B,C，~，~，~，~，deflatedData] = example_yieldmacroro (estparammacroro, yield,Macro, maturity);一个
一个=6×60.8986 -0.0624 -0.0245 -0.0061 0.0756 0.0134 -0.4325 0.805 0.0314 0.0312 0.3768 0.1355 0.1182 0.8455 0.0111 -0.0918 0.0023 0.0679 -0.0257 0.0023 0.9982 -0.0655 -0.0202 -0.0064 -0.0887 0.0106 0.0461 0.0456 -0.0348 -0.0314 -0.0150 0.0268 0.0364 0.9940
B * B”
ans =6×60.0914 -0.0226 0.0466 0.0370 0.0327 0.0114 -0.0226 0.3041 0.0076 0.0772 0.2241 -0.0051 0.0466 0.0076 0.8105 0.0259 0.1690 0.0023 0.0772 0.0259 0.3710 0.1425 0.0254 0.0327 0.2241 0.1690 0.1425 0.4494 0.0128 0.0114 -0.0051 0.0023 0.0254 0.0128 0.0475

在全样本数据和拟合的SSM条件下，卡尔曼平滑光滑的提供状态估计。的光滑的函数使您能够评估产量的测量误差。对于每个成熟度，通过计算残差的平均值和标准偏差来获得测量误差估计。直观地比较估计产量模型和估计产量宏观模型的测量误差估计。

StatesMacro = smooth(EstMdlMacro,deflatedData);residualmacroro = deflatedData - StatesMacro*C';residualMeanMacro = 100*mean(残差宏，“omitnan”)”;残差宏= 100*std(残差宏，“omitnan”)”;compareresiduals(期限、residualMeanSSM residualStdSSM,.．.“唯收益模式”residualMeanMacro (1: numBonds),.．.residualStdMacro (1: numBonds),“Yields-Macro模式”）
------------------------------------------------- 只能给模型Yields-Macro模型  ------------------- ------------------ 标准标准成熟度平均偏差平均偏差(个月)(bps) (bps) (bps)(个基点 ) -------- -------- --------- ------- --------- 3.0000 -12.6440 22.3639 -12.5379 22.2240 6.0000 -1.3392 5.0715 -1.2658 4.8526 9.0000 0.4922 8.1084 0.5387 8.1444 12.0000 1.3059 9.8672 1.3310 9.8812 15.0000 3.7130 8.7073 3.7212 8.7603 18.0000 3.5893 7.2946 3.5846 7.3145 21.0000 3.23086.5112 3.2168 6.4719 24.0000 -1.3996 6.3890 -1.4201 6.3520 30.0000 -2.6479 6.0614 -2.6745 6.0864 36.0000 -3.2411 6.5915 -3.2675 6.6115 48.0000 -1.8508 9.7019 -1.8663 9.7266 60.0000 -3.2857 8.0349 -3.2855 8.0124 72.0000 1.9737 9.1370 1.9896 9.1110 84.0000 0.6935 10.3689 0.7231 10.3780 9.0000 3.4873 9.6422 4.2447 13.7447 120.0000 -1.3074 16.4545 -1.2488 16.5814

纯收益率模型较好地拟合了收益率曲线数据，但收益率-宏观模型的拟合效果较好。

由于宏观经济变量被完美地观察到，确保其估计测量误差接近于零，在机器精度范围内。

residualMeanMacro (end-numMacro + 1:结束)
ans =1×310-14年× -0.5399 -0.7747 -0.6235

描述收益率-宏观和宏观-收益率的联系

收益率的脉冲响应函数-宏观模型

对于SSM，脉冲响应函数(IRF)测量由于每个状态扰动的意外冲击对状态和测量方程的动态影响。在转换方程中 x t ＝ 一个 x t - 1 + B u t ， IRF为的偏导数 x t ， t ＝ 1 ， 2 ， ． ． ． 关于 u 1 ．SSM IRF功能，irf而且irfplot，执行以下操作:

  • 在周期1中应用状态冲击。

  • 将冲击方差归一;状态扰动加载矩阵 B 决定任何同期效果。

  • 返回周期响应 t ＝ 1 ， 2 ， ． ． ． ．

对于收益率宏观模型，矩阵 B 被确定为 问 ＝ B B ” ．收益率宏观SSM的IRF需要识别条件，例如状态变量的递归排序 l t ， 年代 t ， C t ， z 1 ， t ， z 2 ， t ， z 3. ， t 这 B 是一个下三角矩阵。其基本原理是，收益率的日期定在每月月初，而宏观经济数据的发布有时间差。因此，收益率对宏观经济变量的影响是同步的，反之则不然。

使用irfplot绘制以下几组变量的IRF:

  • 收益率曲线对收益率曲线冲击的响应

  • 对宏观冲击的宏观反应

  • 对收益率曲线冲击的宏观反应

  • 收益率曲线对宏观冲击的反应

对于每个图，指定90%的置信范围和前30个时期的图响应。

图irfplot (MdlMacro,“参数”estParamsMacro,“EstParamCov”EstParamCovMacro,.．.“PlotU”1:3,“PlotX”1:3,“PlotY”[],“NumPeriods”30岁的“信心”, 0.9);sgtitle (“收益率曲线对收益率曲线冲击的响应”）

图中包含9个轴对象和另一个subplottext类型的对象。标题为U1 -> X1的坐标轴对象1包含3个类型为line的对象。标题为U1 -> X2的坐标轴对象2包含3个类型为line的对象。标题为U1 -> X3的坐标轴对象3包含3个类型为line的对象。标题为U2 -> X1的坐标轴对象4包含3个类型为line的对象。标题为U2 -> X2的坐标轴对象5包含3个类型为line的对象。标题为U2 -> X3的坐标轴对象6包含3个类型为line的对象。标题为U3 -> X1的坐标轴对象7包含3个类型为line的对象。标题为U3 -> X2的轴对象8包含3个类型为line的对象。标题为U3 -> X3的轴对象9包含3个类型为line的对象。

图irfplot (MdlMacro,“参数”estParamsMacro,“EstParamCov”EstParamCovMacro,.．.“PlotU”6,“PlotX”6,“PlotY”[],“NumPeriods”30岁的“信心”, 0.9);sgtitle (“对宏观冲击的宏观反应”）

图中包含9个轴对象和另一个subplottext类型的对象。标题为U4 -> X4的坐标轴对象1包含3个类型为line的对象。标题为U4 -> X5的坐标轴对象2包含3个类型为line的对象。标题为U4 -> X6的坐标轴对象3包含3个类型为line的对象。标题为U5 -> X4的坐标轴对象4包含3个类型为line的对象。标题为U5 -> X5的坐标轴对象5包含3个类型为line的对象。标题为U5 -> X6的坐标轴对象6包含3个类型为line的对象。标题为U6 -> X4的Axes对象7包含3个类型为line的对象。标题为U6 -> X5的Axes对象8包含3个类型为line的对象。标题为U6 -> X6的坐标轴对象9包含3个类型为line的对象。

图irfplot (MdlMacro,“参数”estParamsMacro,“EstParamCov”EstParamCovMacro,.．.“PlotU”1:3,“PlotX”6,“PlotY”[],“NumPeriods”30岁的“信心”, 0.9);sgtitle (“收益率曲线冲击的宏观反应”）

图中包含9个轴对象和另一个subplottext类型的对象。标题为U1 -> X4的轴对象1包含3个类型为line的对象。标题为U1 -> X5的坐标轴对象2包含3个类型为line的对象。标题为U1 -> X6的坐标轴对象3包含3个类型为line的对象。标题为U2 -> X4的坐标轴对象4包含3个类型为line的对象。标题为U2 -> X5的坐标轴对象5包含3个类型为line的对象。标题为U2 -> X6的坐标轴对象6包含3个类型为line的对象。标题为U3 -> X4的Axes对象7包含3个类型为line的对象。标题为U3 -> X5的坐标轴对象8包含3个类型为line的对象。标题为U3 -> X6的坐标轴对象9包含3个类型为line的对象。

图irfplot (MdlMacro,“参数”estParamsMacro,“EstParamCov”EstParamCovMacro,.．.“PlotU”6,“PlotX”1:3,“PlotY”[],“NumPeriods”30岁的“信心”, 0.9);sgtitle (“收益率曲线对宏观冲击的反应”）

图中包含9个轴对象和另一个subplottext类型的对象。标题为U4 -> X1的坐标轴对象1包含3个类型为line的对象。标题为U4 -> X2的坐标轴对象2包含3个line类型的对象。标题为U4 -> X3的坐标轴对象3包含3个类型为line的对象。标题为U5 -> X1的坐标轴对象4包含3个类型为line的对象。标题为U5 -> X2的轴对象5包含3个类型为line的对象。标题为U5 -> X3的坐标轴对象6包含3个类型为line的对象。标题为U6 -> X1的Axes对象7包含3个类型为line的对象。标题为U6 -> X2的轴对象8包含3个类型为line的对象。标题为U6 -> X3的轴对象9包含3个类型为line的对象。

收益率的方差分解-宏观模型

预测误差方差分解(FEVD)提供了关于每个冲击在影响响应变量预测误差方差方面的相对重要性的信息。对于宏观和收益率曲线的相互作用，FEVD分析了宏观因素是否具有影响，与收益率曲线的特质变异相比。在SSM中，过渡方程和测量方程中的扰动导致观测结果的预测方差。在存在非零的情况下，观察-创新系数矩阵 D ，分解的总和不为1，因为剩余部分归因于观测噪声协方差 D D ” ．要将总和强制为1，您可以通过重新缩放FEVD来考虑观测噪声。

计算12个月收益率在1个月、12个月和60个月的预测范围内的FEVDfevd函数。因为fevd在时期1应用单位冲击，预测范围从时期2开始。将每个FEVD归一化为1。

分解= fevd(EstMdlMacro，“NumPeriods”, 61);Idxyield12 = find(到期期限== 12);d1 =分解(1+1，:，idxyield12);d12 =分解(1+12，:，idxyield12);d60 =分解(1+60，:，idxyield12);D1 = D1 ./sum(D1);D12 = D12 ./sum(D12);D60 = D60 ./sum(D60);displayfevd ([d1;d12; d60],“12个月的收益”）
方差分解，12个月收益率-------------------------------- Horizon L S C CU FEDFUNDS PI 1.0000 0.2977 0.4397 0.2189 0.0037 0.0400 0.0001 12.0000 0.3080 0.2302 0.1345 0.0986 0.2211 0.0076 60.0000 0.3874 0.0855 0.1258 0.2836 0.0932 0.0245

FEVD结果表明，在1个月范围内，只有不到5%的变化可归因于宏观经济因素。然而，宏观经济因素在更长远的视野中更有影响力。在12个月和60个月的范围内，宏观经济因素分别约占变化的30%和40%。

计算在1、12和60个月的预测范围内的制造业产能利用率系列的FEVD。将每个FEVD归一化为1。

cu1 =分解(1+1，:，numBonds+1);cu12 =分解(1+12，:，numBonds+1);cu60 =分解(1+60，:，numBonds+1);displayfevd ([cu1;cu12;cu60),“产能利用率”）
方差分解，容量利用率-------------------------------- Horizon L S C CU FEDFUNDS PI 1.0000 0.0466 0.0531 0.0001 0.8989 0.0013 0.0000 12.0000 0.0913 0.0260 0.0224 0.7465 0.1084 0.0054 60.0000 0.1015 0.0605 0.0595 0.5149 0.1786 0.0849

与12个月产量的FEVD相比，制造业产能利用率的方差分解表明，水平、斜率和曲率因素在预测范围内每个时期的变化中只占一小部分。其他两个宏观经济变量的方差分解也表现出相同的模式。

用外生宏观经济变量增强Diebold-Li SSM

在拟合的收益率-宏观模型中，转换矩阵左下角的估计参数 一个 （ 4 ： 6 ， 1 ： 3. ） 都不显著。这个结果促使模型使用更严格的规范，特别是约束 一个 （ 4 ： 6 ， 1 ： 3. ） ＝ 0 还有一个对角协方差矩阵 问 ．在约束模型中，宏观经济变量是外生的，这意味着宏观经济因素影响收益率曲线因素，但由于没有收益率与宏观的联系，这种联系是单方面的。

映射函数Example_YieldsExogenous.m将参数向量映射到SSM参数矩阵，压缩观测值以解释每个因素的均值，对协方差矩阵施加约束，并在状态方程中包含外生变量。欲知详情，请打开Example_YieldsExogenous.m．

通过传递，创建一个带有外生宏观经济变量的Diebold-Li SSM舰导弹，参数-矩阵映射函数Example_YieldsExogenous作为一个匿名函数，其输入参数表示形参向量参数个数．映射函数的附加输入参数静态地指定收益率、期限和宏观经济序列信息，它们初始化模型进行估计。

MdlExogenous = ssm(@(params)Example_YieldsExogenous(params, yield,Macro, maturity));

的限制MdlExogenous模型有57个未知参数。

估计外生变量增强的Diebold-Li SSM。关闭估计显示，并指定与yield -macro SSM估计相同的选项和初始值。

掩码= true(numStates);掩码(4:结束，1:3)= false;param0外源= [A0(掩码);诊断接头(B0);D0 (:);mu0 (:);lambda0];[EstMdlExogenous,estParamsExogenous，~，logLExogenous] =估计(MdlExogenous，[产量宏]，.．.param0Exogenous,“显示”，“关闭”，“选项”选项,“一元”,真正的);logLMacro
logLMacro = 2.7401e+03
logLExogenous
logLExogenous = 2.5311e+03

的最大对数似然EstMdlExogenous一定比完整模型的低EstMdlMacro，它有81个参数。

通过指定估计的参数作为输入，获得估计的SSM系数和压缩数据Example_YieldsExogenous.m．显示估计的状态转换矩阵 一个 ．

[a外生，~，c外生，~，~，~，~，deflateddata外生]= Example_YieldsExogenous(estParamsExogenous，.．.收益率、宏观、期限);AExogenous
AExogenous =6×60.8901 -0.0741 -0.0201 -0.0052 0.0826 0.0155 -0.4488 0.4672 0.0322 0.0298 0.3888 0.1283 0.8378 0.0072 -0.0957 -0.0010 00 0 0.9785 -0.0447 -0.0259 00 0 0.0276 0.9597 0.0375 00 0 0.0289 0.0050 0.9961

对于每个成熟度，通过计算残差的平均值和标准偏差来获得测量误差估计。将估计产量-宏观模型和增加外生变量的Diebold-Li模型的测量误差估计进行可视化比较。

states外生=平滑(EstMdlExogenous, deflateddata外生);ResidualsExogenous = deflatedDataExogenous - states外生* c外生';residualmean外生= 100*mean(residual ualsexogenous，“omitnan”)”;残性= 100*std(残性，“omitnan”)”;compareresiduals(期限、residualMeanMacro (1: numBonds) residualStdMacro (1: numBonds),.．.“Yields-Macro模式”residualMeanExogenous (1: numBonds),.．.residualStdExogenous (1: numBonds),“外生模型”）
------------------------------------------------- Yields-Macro模型外生模型  ------------------- ------------------ 标准标准成熟度平均偏差平均偏差(个月)(bps) (bps) (bps)(个基点 ) -------- -------- --------- ------- --------- 3.0000 -12.5379 22.2240 -12.5914 22.4354 6.0000 -1.2658 4.8526 -1.3164 4.8587 9.0000 0.5387 8.1444 0.4975 8.0276 12.0000 1.3310 9.8812 1.3021 9.8990 15.0000 3.7212 8.7603 3.7052 8.7212 18.0000 3.5846 7.3145 3.5806 7.2662 21.0000 3.21686.4719 3.2231 6.4676 24.0000 -1.4201 6.3520 -1.4056 6.3821 30.0000 -2.6745 6.0864 -2.6499 6.0769 36.0000 -3.2675 6.6115 -3.2405 6.5829 48.0000 -1.8663 9.7266 -1.8506 9.7233 60.0000 -3.2855 8.0124 -3.2913 8.0536 72.0000 9.1110 1.9601 9.1345 84.0000 0.7231 10.3780 0.6716 10.3321 96.0000 3.5285 9.1650 3.4580 8.9382 108.0000 4.2488 16.5814 -1.3487 16.4289

模型估计的转移矩阵相似。EstMdlExogenous结果在某些期限的收益率的测量误差较大，相对于的测量误差EstMdlMacro．尽管有这个结果，EstMdlExogenous总体上很好地拟合曲线。

综上所述，收益率-宏观模型和外生变量增强的Diebold-Li模型在统计和经济上存在显著差异。尽管模型拟合对数似然值存在较大差异，但外生变量增广的SSM拟合收益率曲线并不一定低于收益率宏观SSM的收益率曲线。

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对于本例，局部函数有助于多个命令行显示。

函数compareresuals (maturity,residualMeanL,residualStdL,tL,residualMeanR,residualStdR,tR) header = [" -------------------------------------------------"；.．.”“+ tL +”“+ tR;.．.“------------------- ------------------”；.．.“标准标准”；.．.“成熟度平均偏差”；.．.“(月)(英伦点)(英伦点)(英伦点)(英伦点)”；.．.“-------- -------- --------- ------- ---------”];tab =[期限residualMeanL residualStdL residualMeanR residualStdR];流(“% s \ n”头)disp(选项卡)结束函数Displayfevd (d,t)头= ["方差分解"+ t;.．."--------------------------------"；.．.“地平线L S C CU联邦基金PI”];TAB = [1;12;60] d];流(“% s \ n”头)disp(选项卡)结束

参考文献

[1]迪堡、F.X和C.李。”政府债券收益率期限结构预测．"计量经济学杂志．Vol. 130 No. 2, 2006, pp. 337-364。

[２]Diebold, F. X.， G. D. Rudebusch，和B. Aruoba (2006)， "宏观经济与收益率曲线:一个动态潜在因子方法．"计量经济学杂志。Vol. 131, 2006, pp. 309-338。

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