在线递归最小二乘估计的直线拟合

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这个例子展示了如何在MATLAB命令行中使用递归估计算法对线性拟合执行在线参数估计。你可以捕捉一个无级变速器的液压阀的时变输入输出行为。

物理系统

该系统是受参考文献[1]的启发，采用液压阀驱动的无级变速器(CVT)。气门压力与无级变速器相连，使其能够改变速比，并将扭矩从发动机传递到车轮。阀门的输入输出特性可近似为:

$y （ t ）＝ k （ t ） u （ t ） + b （ t ） f o r \frac{- b （ t ）}{k （ t ）} < u \leq 1$

这里t为当前时间，y(t)为阀压，以巴表示，u(t)为[0,1]范围内的无单位输入。的条件 $\frac{- b}{k} < u$ 是阀门的死区。

斜率k(t)和偏移量b(t)依赖于系统温度。它们随着系统从冷启动到典型工作温度的升温而变化。你想根据u(t)和y(t)的噪声测量来估计k(t)和b(t)

数据

t=0s时刻的真实斜率和偏移量参数为k(0)=70, b(0)=-15。在t=50时，发动机启动。参数随时间变化，直到在t=950时达到k(950)=50和b(950)=-13。采样时间Ts=0.1s。

输入信号U的内容对于参数估计至关重要。考虑一个u，它，并且因此y是恒定的。然后有无限的k和b值，满足y = k u + b。U（t）必须持续激励系统以成功估计k（t）和b（t）。在此示例中，输入U：

从t=0到t=50。
从t=50秒到t=950秒，每100秒阶跃变化为0.40,0.45,0.50,0.55,0.60,0.55,0.50,0.45,0.40。
从t=50s到950s，每步增加一个均值为零的高斯随机变量，0.02个标准差，为识别提供额外的系统动力学激励。

输出由前面提到的k(t)， b(t)和输入信号u(t)的真值产生，使用y(t) = k(t) u(t) + b(t) + e(t)。测量噪声e(t)是一个均值为零、标准差为0.05的高斯随机变量。

负载LineFittingRLSExampleuykbt；图();次要情节(2,1,1);情节(t, u);ylabel ('输入信号，U，[无单位]'）;次要情节(2,1,2);情节(t、y);ylabel (“阀门压力，y， [bar]”）;包含(“时间[s]”）;

图中包含2个轴。坐标轴1包含一个类型为line的对象。轴2包含一个类型为line的对象。

基于递归最小二乘的在线参数估计

使用矢量表示编写阀门输入输出模型:

$\begin{array}{ll} y （ t ） & ＝ k （ t ） u （ t ） + b （ t ） + e （ t ） \\ ＝［ u （ t ） 1 ］［ k （ t ） b （ t ）］^{T} + e （ t ） \\ ＝ H （ t ） x （ t ） + e （ t ） \end{array}$

在哪里 $H （ t ）＝［ u （ t ） 1 ］$ 是回归和 $x ＝［ k （ t ） b （ t ）］^{T}$ 是要估计的参数。E (t)是未知噪声。您可以使用recursiveLS估计命令创建一个System对象来进行在线参数估计。然后使用step命令根据H(t)和y(t)在每个时间步长更新参数估计值x(t)。

您指定以下recursiveLS系统对象属性:

参数数量：2.
EstimationMethod:“ForgettingFactor”(默认)。这个方法只有一个标量参数forttingfactor，它需要有限的关于参数值的先验信息。
ForgettingFactor:0.95。预计参数将随时间变化，因此小于1。 $\frac{1}{1 - λ.} ＝ 20$ 是对估计影响最大的过去数据样本的数量。
初始参数：(70;-15]，参数值的初始猜测。可选，但建议用于减少初始瞬态。
InitialParameterCovariance:你估计的不确定性在初始参数猜测。如果你对初始参数的猜测有信心，把它设为一个很小的值，初始参数绝对值的1%。可选，但推荐使用，特别是在指定InitialParameters时。这只与遗忘因子和卡尔曼滤波估计方法一起使用。

X = recursiveLS (2．..% 2=估计参数的数量“EstimationMethod”，“ForgettingFactor”，．..“ForgettingFactor”, 0.95,．..“InitialParameters”, 70;-15年),．..“InitialParameterCovariance”[0.7 - 0.15]);

这个例子通过每次为估计器提供一对(y(t)，H(t))来模拟估计器的在线操作。调用step命令更新每个新对的参数。只有当输入u在死带(u>0.3)之外时，参数适配才被启用。

θ= 0(元素个数(u), 2);yHat = 0(元素个数(u), 1);太好了= 0(元素个数(u), 2, 2);为kk = 1:元素个数(u)%仅当u在死带之外时启用参数估计如果u(kk)>=0.3 X.EnableAdaptation = true();其他的x.enableAdaptation = false（）;结束[theta(kk，:)，yHat(kk)] = step(X,y(kk)，[u(kk) 1]);%得到估计参数和输出太好了(kk,:,) = X.ParameterCovariance;%得到参数的估计不确定性%使用参数执行任何需要的任务结束

估计参数

参数的真值和估计值为:

图();次要情节(2,1,1);绘图（t，theta（：，1），t，k）;估计和实际斜率分别ylabel (“坡”）;包含(“时间”）;ylim ([49 71]);传奇(“估计”，“真实”的，'地点'，“最佳”）;次要情节(2,1,2);情节(t,θ(:,2),t, b);估计和实际补偿分别ylabel ('抵消'）;包含(“时间”）;ylim ([-15.25 - -12.75]);

图中包含2个轴。坐标轴1包含两个line类型的对象。这些对象代表估计，真实。轴2包含2个line类型的对象。

验证估计模型

估计器提供以下两个工具来判断参数估计的质量:

输出估计 $y_{}^{ˆ} （ t ）$ ：step方法的第二个输出参数是 $y_{}^{ˆ} （ t ）＝ H （ t ） x_{}^{ˆ} （ t ）$ ．相对误差和绝对误差之间 $y$ 和 $y_{}^{ˆ}$ 是适合度的衡量标准。
协方差参数估计 $P_{}^{ˆ} （ t ）$ ：这是可用的遗忘因子和卡尔曼滤波算法。它存储在估计器的parametercovariancmatrix属性中。的对角线 $P_{}^{ˆ}$ 为参数的估计方差。越低越好。

输出测量和估计，以及相关的绝对和相对误差时，发动机是:

engineOn = t>50 & t<950;图();次要情节(2,1,1);absoluteError = y-yHat;情节(t (engineOn) absoluteError (engineOn));ylim ([-0.15 - 0.15]);ylabel (“Abs错误(酒吧)。”）;次要情节(2,1,2);relativeError = (y-yHat)。/ y;情节(t (engineOn) relativeError (engineOn));ylim ([-0.025 - 0.025]);ylabel (“Rel错误(无单位)”。）;包含(“时间[s]”）;

图中包含2个轴。坐标轴1包含一个类型为line的对象。轴2包含一个类型为line的对象。

绝对误差约为0.1巴。相对误差在2%以下。两个量都很小。

参数协方差矩阵的对角线，按残差的方差按比例缩放 $y （ t ） - y_{}^{ˆ} （ t ）$ ，获取参数估计的方差。方差的平方根是参数估计值的标准差。

noiseVariance = var (y (engineOn) -yHat (engineOn));图();次要情节(2,1,1);持有上；情节(t)√酷毙了:,1,1)* noiseVariance));ylim ([0 1]);ylabel ('std。开发。坡度K'）;次要情节(2,1,2);情节(t)√酷毙了:,2,2)* noiseVariance));ylim ([0 1]);ylabel ('Std. dev. of offset b'）;包含(“时间[s]”）;持有上；

图中包含2个轴。坐标轴1包含一个类型为line的对象。轴2包含一个类型为line的对象。