eig

特征值和特征向量

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语法

e = eig (A)

[V D] = eig (A)

[V D W] = eig (A)

e = eig (A, B)

[V D] = eig (A, B)

[V D W] = eig (A, B)

［＿＿＿balanceOption] = eig(一个)

［＿＿＿] = EIG（A，B，算法）

［＿＿＿) = eig (＿＿＿eigvalOption)

描述

例子

e= eig (一个)返回包含方阵特征值的列向量一个．

例子

［V,D) = eig (一个)返回对角矩阵D特征值和矩阵V哪个列是对应的右边特征向量* V = V * D．

例子

［V,D,W) = eig (一个)也返回全矩阵W哪个列是对应的左特征向量W * = D * W的．

特征值问题是要确定方程的解一个v＝λ.v,在那里一个是一个n-经过-n矩阵,v列向量是长度的吗n,λ.是一个标量。的值λ.满足方程的是特征值。对应的值v满足方程的就是正确的特征向量。左特征向量,w，满足方程w”一个＝λ.w”。

例子

e= eig (一个,B)返回包含方阵的广义特征值的列向量一个和B．

例子

［V,D) = eig (一个,B)返回对角矩阵D广义特征值和全矩阵V哪个列是对应的右边特征向量a * v = b * v * d．

［V,D,W) = eig (一个,B)也返回全矩阵W哪个列是对应的左特征向量W W * = D *的* B．

广义特征值问题是确定方程的解一个v＝λ.Bv,在那里一个和B是n-经过-n矩阵,v列向量是长度的吗n,λ.是一个标量。的值λ.满足方程是广义特征值。对应的值v是广义的右特征向量。左特征向量,w，满足方程w”一个＝λ.w”B．

［＿＿＿) = eig (一个,balanceOption),在那里balanceOption是“nobalance”，禁用算法中的初始平衡步骤。的默认值balanceOption是“平衡”，可以实现平衡。的eig函数可以返回前面语法中的任何输出参数。

例子

［＿＿＿) = eig (一个,B,算法),在那里算法是'CHOL'的Cholesky分解B来计算广义特征值。的默认值算法取决于性质一个和B，但一般来说“求”，它使用QZ算法。

如果一个埃尔米特,B厄米正定，那么默认值是算法是'CHOL'．

例子

［＿＿＿) = eig (＿＿＿,eigvalOption)以指定的形式返回特征值eigvalOption使用前面语法中的任何输入或输出参数。指定eigvalOption作为“向量”返回列向量或作为的特征值“矩阵”以返回对角矩阵的特征值。

例子

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矩阵的特征值

打开生活的脚本

使用画廊来建立一个对称的正定矩阵。

一个=画廊(“黄土”4）

一个=4×41.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 1.0000 0.6667 0.5000 0.3333 0.6667 1.0000 0.7500 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 0.7500 1.0000 0.7500 1.0000

计算的特征值一个．结果是一个列向量。

e = eig (A)

E =4×10.2078 0.4078 0.8482 2.5362

另外,使用eigvalOption以返回对角矩阵的特征值。

d = eig（a，“矩阵”)

d =4×40.2078 0 0 0 0.4078 0 0 0 0.8482 0 0 0 2.5362

基质的特征值和特征向量

打开生活的脚本

使用画廊来创建一个循环矩阵。

一个=画廊(“线性”3，3）

一个=3×31 2 3 3 1 2 2 3 1

计算的特征值和右特征向量一个．

[V D] = eig (A)

V =3×3复杂-0.5774 + 0.00000 i -0.5774 + 0.00000 i -0.5774 + 0.00000 i -0.2887 + 0.5000i -0.2887 - 0.5000i

d =3×3复杂6.0000 + 0.00000 i 0.0000 + 0.00000 i 0.0000 + 0.00000 i -1.5000 + 0.8660i

验证结果是否满足要求* V = V * D．

a * v  -  v * d

ans =3×3复杂10^-14年× -0.2220 + 0.00000 i -0.0888 - 0.0111i -0.0888 + 0.0111i -0.0888 + 0.00000 i - 0.0833i -0.0444 + 0.00000 i -0.1110 + 0.0666i -0.1110 - 0.0666i

理想情况下，特征值分解满足这种关系。自eig然后使用浮点计算执行分解* V充其量，能接近吗V * D．换句话说,a * v - v * d接近，但不完全是0．

排序特征值和特征向量

打开生活的脚本

默认情况下eig并不总是按照排序的顺序返回特征值和特征向量。使用排序函数将特征值按升序排列并重新排列相应的特征向量。

计算5 × 5幻方矩阵的特征值和特征向量。

=魔法(5)

一个=5×517 24 18 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

[V D] = eig (A)

V =5×50.4472 0.0976 -0.6330 0.6780 -0.2619 -0.4472 0.3525 0.5895 0.3223 -0.1732 -0.4472 0.3915 -0.5501 0.4415 -0.4472 -0.3223 0.1732 -0.3525 -0.5895 -0.4472 -0.6780 0.2619 -0.0976

d =5×560.000 0000 0 -21.2768 0000 -13.1263 000

的特征值一个在对角线上D．然而，特征值是未排序的。

从对角线提取特征值D使用诊断接头(D)，然后将得到的向量按升序排序。来自排序返回由索引组成的排列向量。

位于[d] =排序(诊断接头(d))

d =5×113.1263 13.1263 21.2768 65.0000

印第安纳州=5×12 .单词conduct联想记忆

使用Ind.重新排序对角线元素D．因为特征值在D对应于列中的特征向量V，您还必须重新排序列V使用相同的索引。

Ds = D(印第安纳州)

Ds =5×5-13.1263 0000 13.1263 000 21.2768 000 65.0000

vs = v（：，ind）

vs =5×50.0976 -0.6330 -0.2619 0.6780 -0.4472 0.3525 0.5895 -0.1732 0.3223 -0.4472 0.3915 0.3915 -0.5501 -0.4472 -0.3223 0.1732 -0.5895 -0.3525 -0.4472 -0.6780 0.2619 0.6330 -0.0976 -0.4472

两个都（v，d）和(Vs Ds)产生特征值分解一个．的结果* V-V * D和* Vs-Vs * Ds同意，直到四舍五入错误。

e1 =规范(* V-V * D);e2 =规范(* Vs-Vs * Ds);E = abs(e1 - e2)

e = 1.2622 e-29

左特征向量

打开生活的脚本

创建一个3 × 3矩阵。

a = [1 7 3;2 9 12;5 22 7];

计算正确的特征向量，V特征值,D，和左特征向量，W．

[V D W] = eig (A)

V =3×30.2610 -0.9734 0.1891 -0.5870 0.2281 -0.5816 -0.7663 -0.0198 0.7912

d =3×325.5548 0 0 0 -0.5789 0 0 0 -7.9759

W =3×3-0.1791 -0.9587 -0.1881 -0.8127 0.0649 -0.7477 -0.5545 0.2768 0.6368

验证结果是否满足要求W * = D * W的．

W * A - D * W的

ans =3×310^-13年× -0.0266 -0.2132 -0.1243 0.0056 -0.0286 -0.0072 -0.0022 0 -0.0178

理想情况下，特征值分解满足这种关系。自eig然后使用浮点计算执行分解W”*充其量，能接近吗D * W '．换句话说,W * A - D * W的接近，但不完全是0．

非透析（有缺陷）矩阵的特征值

打开生活的脚本

创建一个3 × 3矩阵。

A = [3 10 0;0 3 1;0 0 3];

计算的特征值和右特征向量一个．

[V D] = eig (A)

V =3×31.0000 -1.0000 1.0000 0 0.000 -0.0000 0 0.000

d =3×33 0 0 0 3 0 0

一个重复的特征值，特征向量不是独立的。这意味着一个是不可对角化的，因此是有缺陷的。

验证V和D满足的方程,* V = V * D,即使一个是有缺陷的。

a * v  -  v * d

ans =3×310^-15年×0 0.8882 -0.8882 0 0 0.0000 0 0 0

理想情况下，特征值分解满足这种关系。自eig然后使用浮点计算执行分解* V充其量，能接近吗V * D．换句话说,a * v - v * d接近，但不完全是0．

广义特征值

打开生活的脚本

创建两个矩阵,一个和B，然后求解该对的特征值和右特征向量的广义特征值问题（a，b）．

A =[1/根号(2)0;0 1];B = [0 1;1 /√(2)0];[V D] = eig (A, B)

V =2×2复杂1.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.0000  -  0.7071i 0.0000 + 0.7071i

d =2×2复杂1.000 + 1.000 i + 0.000 i + 0.000 i + 0.000 i + 0.000 i

验证结果是否满足要求a * v = b * v * d．

* V - B * * D

ans =2×20 0 0 0

剩余误差* V - B * * D正是零。

差条件矩阵的广义特征值QZ算法

打开生活的脚本

创建一个条件不良的对称矩阵，包含接近机器精度的值。

格式长eA = diag([10^-16, 10^-15])

一个=2×21.000000000000000e-16 00

用默认算法计算广义特征值和一组右特征向量。在本例中，默认算法为'CHOL'．

(V1, D1) = eig (,)

v1 =2×21.000000000000000e+08 00 3.162277660168380e+07

D1 =2×29.9999999999999999E-01 0 0 1.000000000000000E + 00

现在，计算广义特征值和一组右特征向量使用“求”算法。

(V2, D2) = eig(一个,“求”)

v2 =2×21 0 0 1

D2 =2×21 0 0 1

检查'CHOL'结果满足* V1 =一个* * D1．

格式短* V1 - * * D1

ans =2×210^-23年× 0.1654 0 0 -0.6617

现在，检查一下“求”结果满足一个* V2 * * V2 = D2．

* V2 - * V2 * D2

ans =2×20 0 0 0

当两个矩阵都是对称的，eig使用'CHOL'默认的算法。在这种情况下，QZ算法返回更准确的结果。

一个矩阵奇异的广义特征值

打开生活的脚本

创建一个2 × 2的单位矩阵，一个，和奇异矩阵，B．

一个=眼(2);B = [3 6;4 8];

如果你试图计算矩阵的广义特征值 $B^{- 1} 一个$ 使用命令[v，d] = eig（b \ a），则MATLAB®返回一个错误，因为B \生产INF.值。

相反，计算广义特征值和右特征向量通过传递两个矩阵eig函数。

[V D] = eig (A, B)

V =2×2-0.7500 -1.0000

d =2×20.0909 0 0 Inf

最好是分别传递两个矩阵，让eig选择最好的算法来解决问题。在这种情况下,eig（a，b）返回一组特征向量和至少一个真实特征值，即使B是不可逆的。

验证 $一个 v ＝ λ. B v$ 对于第一个特征值和第一个特征向量。

eigval = D (1,1);eigvec = V (: 1);* eigvec——eigval * B * eigvec

ans =2×110^-15年×0.1110 - 0.2220

理想情况下，特征值分解满足这种关系。由于分解是使用浮点计算来执行的，那么A * eigvec充其量，能接近吗eigval * B * eigvec，就像这个例子一样。

输入参数

全部折叠

`一个`- - - - - -输入矩阵
方阵

输入矩阵，指定为真实或复杂的方矩阵。

数据类型:双|单
复数的支持:金宝app是的

`B`- - - - - -广义特征值问题输入矩阵
方阵

广义特征值问题输入矩阵，指定为实值或复值的方阵。B必须和一个．

数据类型:双|单
复数的支持:金宝app是的

`balanceOption`- - - - - -平衡的选择
`“平衡”`(默认)|`“nobalance”`

余额选项，指定为:“平衡”，以实现初步的平衡步骤，或“nobalance”禁用它。在大多数情况下，平衡步骤可以提高身体素质一个以产生更准确的结果。然而，在某些情况下，平衡会产生不正确的结果。指定“nobalance”当一个包含比例差异很大的值。例如,如果一个包含非零整数以及非常小(接近零)的值，那么平衡步骤可能会缩放这些小值，使它们与整数一样重要，从而产生不准确的结果。

“平衡”是默认行为。有关平衡的更多信息，请参见平衡．

`算法`- - - - - -广义特征值算法
`'CHOL'`|`“求”`

广义特征值算法，具体为'CHOL'或“求”，它选择用于计算一对广义特征值的算法。

算法	描述
`'CHOL'`	计算的广义特征值`一个`和`B`用乔尔斯基分解`B`．
`“求”`	使用QZ算法，也称为广义舒尔分解。该算法忽略了对称`一个`和`B`．

一般来说，这两种算法返回相同的结果。QZ算法在某些问题上更稳定，比如那些涉及条件差矩阵的问题。

当你省略算法论证，这eig函数根据属性选择算法一个和B．它使用'CHOL'对称(厄米特)算法一个和对称（隐士）积极确定B．否则，它使用“求”算法。

不管你指定的算法是什么eig函数总是使用QZ算法一个或B不对称的。

`eigvalOption`- - - - - -特征值选项
`“向量”`|`“矩阵”`

特征值选项，指定为“向量”或“矩阵”．此选项允许您指定特征值是以列向量还是对角矩阵的形式返回的。默认行为根据指定的输出数量不同:

如果指定一个输出，例如e = eig (A)，则默认情况下特征值作为列向量返回。
如果指定两个或三个输出，例如[V D] = eig (A)，则特征值以对角矩阵的形式返回，D默认情况下,。

例子：D = eig (A,“矩阵”)返回带有一个输出语法的特征值对角矩阵。

输出参数

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`e`- 特征值（作为向量返回）
列向量

特征值，返回为包含多重特征值(或一对的广义特征值)的列向量。

什么时候一个是实数对称的还是复厄米矩阵e满足一个v＝λ.v是真实的。

`V`——右特征向量
方阵

正确的特征向量，作为一个方形矩阵返回，其列是正确的特征向量一个或者对的广义右特征向量，（a，b）．的形式和规范V取决于输入参数的组合：

[V D] = eig (A)收益矩阵V，它的列向量是的正确特征向量一个这样* V = V * D．的特征向量V标准化，使每个的2范数为1。
如果一个是真正的对称，然后是正确的特征向量，V正交。
[V D] = eig (A,“nobalance”)也返回矩阵V．然而，每个特征向量的2范数不一定是1。
[V D] = eig (A, B)和[V，D] = EIG（A，B，算法）返回V作为一个矩阵，它的列是满足的广义右特征向量a * v = b * v * d．每个特征向量的2范数不一定是1。在这种情况下,D包含该对的广义特征值，（a，b），沿着主对角线。
什么时候eig使用'CHOL'含有对称（Hermitian）的算法一个和对称（隐士）积极确定B，它将特征向量标准化V这样B-每个的norm是1。

不同的机器和发布的MATLAB^®可以产生不同的特征向量，在数值上仍然准确:

对于实特征向量，特征向量的符号可以改变。
对于复特征向量，特征向量可以乘以任意复数，大小为1。
对于一个多重特征值，它的特征向量可以通过线性组合重新组合。例如,如果一个x＝λ.x和一个y＝λ.y,然后一个（x+y) =λ.（x+y),所以x+y也是的特征向量一个．

`D`-特征值(返回为矩阵)
对角线矩阵

特征值，返回为带有特征值的对角矩阵一个在主对角线或特征值上，（a，b），在主对角线上。

什么时候一个是实数对称的还是复厄米矩阵D满足一个v＝λ.v是真实的。

`W`——左特征向量
方阵

左特征向量，作为一个方形矩阵返回，其列是左特征向量一个或者对的广义左特征向量，（a，b）．的形式和规范W取决于输入参数的组合：

[V D W] = eig (A)收益矩阵W，它的列是的左特征向量一个这样W * = D * W的．的特征向量W是归一化的，以便每个2-norm是1.如果一个是对称的,然后W是一样的V．
[v，d，w] = eig（a，'nobalance'）也返回矩阵W．然而，每个特征向量的2范数不一定是1。
[V D W] = eig (A, B)和[V D W] = eig (A, B,算法)返回W作为一个矩阵，其列是满足的概括左特征向量W W * = D *的* B．每个特征向量的2范数不一定是1。在这种情况下,D包含该对的广义特征值，（a，b），沿着主对角线。
如果一个和B是对称的,然后W是一样的V．

不同的机器和发布MATLAB可以产生不同的特征向量，仍然是数值准确的:

对于实特征向量，特征向量的符号可以改变。
对于复特征向量，特征向量可以乘以任意复数，大小为1。
对于一个多重特征值，它的特征向量可以通过线性组合重新组合。例如,如果一个x＝λ.x和一个y＝λ.y,然后一个（x+y) =λ.（x+y),所以x+y也是的特征向量一个．

提示

的eig函数可以计算实对称稀疏矩阵的特征值。为了计算一个稀疏矩阵的特征向量，或者计算一个非实的对称稀疏矩阵的特征值，使用eigs函数。

扩展功能

C / c++代码生成
使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

使用注意事项及限制:

V可能代表一个不同的特征向量基。的特征值D可能和MATLAB中的顺序不一样。
- 对于广义特征值问题，[V D] = eig (A, B)，代码生成总是使用“求”选项。
- 对于标准特征值问题，[V D] = eig (A)，什么时候一个是厄米特，代码生成使用舒尔计算V和D．否则，结果[V D] = eig (A)与使用的结果相似吗[V D] = eig(眼(大小(A)),“求”)在Matlab中，除了列V是标准化的。
的“平衡”和“nobalance”对于标准特征值问题，不支持选项。金宝app
的'CHOL'对于对称广义特征值问题不支持金宝app选项。
不支持计算左特征向量的选项。金宝app
输出是复杂的。
当输入矩阵包含非小型值时，生成的代码不会发出错误。相反，输出包含南值。
代码生成不支持此功能的稀疏矩阵输入。金宝app

GPU数组
使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行加速代码。

使用注意事项及限制:

只支持这一种输入参数语法:金宝app
e = eig (A)
[V D] = eig (A)

有关更多信息，请参阅在GPU上运行MATLAB函数(并行计算工具箱)。

分布式阵列
使用Parallel Computing Toolbox™在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

使用注意事项及限制:

对于广义情况，eig（a，b）,一个和B必须是实对称的或复厄米矩阵。此外,B必须是正定的。
完整的分布式数组不支持以下语法:金宝app
(__) = eig (A,“平衡”)
(__) = eig (A, B,“求”)
[V D W] = eig (A, B)

有关更多信息，请参阅使用分布式数组运行MATLAB函数(并行计算工具箱)。

另请参阅

平衡|condeig|eigs|赫斯|求出|舒尔

eig

语法

描述

例子

矩阵的特征值

基质的特征值和特征向量

排序特征值和特征向量

左特征向量

非透析（有缺陷）矩阵的特征值

广义特征值

差条件矩阵的广义特征值QZ算法

一个矩阵奇异的广义特征值

输入参数

`一个`- - - - - -输入矩阵
方阵

`B`- - - - - -广义特征值问题输入矩阵
方阵

`balanceOption`- - - - - -平衡的选择
`“平衡”`(默认)|`“nobalance”`

`算法`- - - - - -广义特征值算法
`'CHOL'`|`“求”`

`eigvalOption`- - - - - -特征值选项
`“向量”`|`“矩阵”`

输出参数

`e`- 特征值（作为向量返回）
列向量

`V`——右特征向量
方阵

`D`-特征值(返回为矩阵)
对角线矩阵

`W`——左特征向量
方阵

提示

扩展功能

C / c++代码生成
使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

GPU数组
使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行加速代码。

分布式阵列
使用Parallel Computing Toolbox™在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

另请参阅

之前介绍过的R2006a

MATLAB的文档

金宝app

与Matlab引入深度学习

eig

语法

描述

例子

矩阵的特征值

基质的特征值和特征向量

排序特征值和特征向量

左特征向量

非透析（有缺陷）矩阵的特征值

广义特征值

差条件矩阵的广义特征值QZ算法

一个矩阵奇异的广义特征值

输入参数

一个- - - - - -输入矩阵方阵

B- - - - - -广义特征值问题输入矩阵方阵

balanceOption- - - - - -平衡的选择“平衡”(默认)|“nobalance”

算法- - - - - -广义特征值算法'CHOL'|“求”

eigvalOption- - - - - -特征值选项“向量”|“矩阵”

输出参数

e- 特征值（作为向量返回）列向量

V——右特征向量方阵

D-特征值(返回为矩阵)对角线矩阵

W——左特征向量方阵

提示

扩展功能

C / c++代码生成使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

GPU数组使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行加速代码。

分布式阵列使用Parallel Computing Toolbox™在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

另请参阅

之前介绍过的R2006a

MATLAB的文档

金宝app

与Matlab引入深度学习

`一个`- - - - - -输入矩阵
方阵

`B`- - - - - -广义特征值问题输入矩阵
方阵

`balanceOption`- - - - - -平衡的选择
`“平衡”`(默认)|`“nobalance”`

`算法`- - - - - -广义特征值算法
`'CHOL'`|`“求”`

`eigvalOption`- - - - - -特征值选项
`“向量”`|`“矩阵”`

`e`- 特征值（作为向量返回）
列向量

`V`——右特征向量
方阵

`D`-特征值(返回为矩阵)
对角线矩阵

`W`——左特征向量
方阵

C / c++代码生成
使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

GPU数组
使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行加速代码。

分布式阵列
使用Parallel Computing Toolbox™在集群的组合内存中对大型数组进行分区。