二阶锥编程算法

二阶锥编程的定义

二阶锥编程问题具有表单

$\underset{X}{闵} F^{T.} X$

受限制

$\begin{matrix} ‖ {一种}_{SC.} （一世） \cdot X - {B.}_{SC.} （一世） ‖ \leq. {D.}_{SC.}^{T.} （一世） \cdot X - γ. （一世） \\ 一种 \cdot X \leq. B. \\ AEQ. \cdot X = 贝卡 \\ 磅 \leq. X \leq. UB. 。 \end{matrix}$

F那X那B.那贝卡那磅，和UB.是载体，和一种和AEQ.是矩阵。对于每一个人一世，矩阵一种_SC.（一世），载体B._SC.（一世）和D._SC.（一世）和标量γ.（一世）在您创建使用的二阶锥限制Themondercone.。

换句话说，问题具有线性目标函数和线性约束，以及一组形式的二阶锥限制 $‖ {一种}_{SC.} （一世） \cdot X - {B.}_{SC.} （一世） ‖ \leq. {D.}_{SC.}^{T.} （一世） \cdot X - γ. （一世）$ 。

`Coneprog.`算法

这Coneprog.求解器使用Andersen，Roos和Terlaky中描述的算法[1]。该方法是一种类似于的内部点算法内部点LINPROG算法。

标准格式

算法通过放置问题来开始标准格式。该算法添加了非负面的松弛变量，以便问题具有表单

$\underset{X}{闵} F^{T.} X$

受限制

$\begin{array}{l} 一种 \cdot X = B. \\ X \in K. 。 \end{array}$

求解器扩展了线性系数矢量的尺寸F和线性约束矩阵一种要考虑松弛变量。

该区域K.是杂交产品洛伦兹锥体等式1和非负面纠结。转换每个凸锥

$‖ {一种}_{SC.} （一世） \cdot X - {B.}_{SC.} （一世） ‖ \leq. {D.}_{SC.}^{T.} （一世） \cdot X - γ. （一世）$

到一个洛伦兹锥等式1，创建变量的列向量T.₁那T.₂，......，T._N+1：

$\begin{matrix} {T.}_{1} = {D.}^{T.} X - γ. \\ {T.}_{2 ：（ N + 1 ）} = {一种}_{SC.} X - {B.}_{SC.} 。 \end{matrix}$

这里，变量的数量N对于每个锥体一世是行的数量一种_SC.（一世）。通过其定义，变量向量T.满足不平等

‖ {T.}_{2 ： （ N + 1 ）} ‖ \leq. {T.}_{1} 。

（1）

等式1是洛伦兹锥的定义（N+1）变量。变量T.出现在问题上代替变量X在凸面区域K.。

在内部，算法也使用一个旋转洛伦兹锥在锥形约束的重新制定中，但本主题没有解决这种情况。有关详细信息，请参阅Andersen，Roos和Terlaky[1]。

添加Slack变量时，算法根据需要否定变量，并添加适当的常量，以便：

只有一个绑定的变量具有零的下限。
具有两个界限的变量具有零的较低限制，并且使用Slack变量，没有上限。
没有边界的变量被放置在Lorentz锥体中，并作为约束变量。此松弛变量不是任何其他表达式，目标或约束的一部分。

双重问题

双锥是

${K.}_{*} = {S. ： {S.}^{T.} X \geq 0. \forall X \in K.} 。$

双重问题是

$\underset{y}{最大限度} {B.}^{T.} y$

这样

${一种}^{T.} y + S. = F$

对于一些

$S. \in {K.}_{*} 。$

双最优解决方案是一个点（y那S.）满足双重限制并最大化双目标。

均匀自我双重制剂

为了处理潜在的不可行或无界问题，该算法增加了两个变量τ.和κ..并将问题交给均匀（等于零）和自我双重。

\begin{matrix} 一种 X - B. τ. = 0. \\ {一种}^{T.} y + S. - F τ. = 0. \\ - F^{T.} X + {B.}^{T.} y - κ.. = 0. \end{matrix}

（2）

随着约束

（ X; τ. ） \in \bar{K.} 那 （ S.; κ.. ） \in {\bar{K.}}_{*} 。

（3）

这里， $\bar{K.}$ 是锥体K.与非负实际线相邻，这是（X;τ.）。相似地 ${\bar{K.}}_{*}$ 是锥体 ${K.}_{*}$ 与非负实际线相邻，这是（S.;κ..）。在这种制剂中，以下引理显示τ.是可行解决方案的缩放和金宝搏官方网站κ..是一个不可行的问题的指标。

引理（[1]LEMMA 2.1）

让（X那τ.那y那S.那κ..）是一个可行的解决方案等式2随着约束等式3.。

X^T.S.+τκ.= 0。
如果τ.> 0，然后（X那y那S./τ.是标准形式二阶锥问题的原始双重最佳解决方案。
如果κ..> 0，这些严格不平等中的至少一个持有：

B.^T.y> 0.

F^T.X<0。

如果第一次不等式持有，则标准形式，原始二阶锥问题是不可行的。如果第二个不等式持有，则标准形式，双二阶锥问题是不可行的。

总之，对于可行的问题，变量τ.缩放原始标准表单问题与均匀自我双重问题之间的解决方案。对于不可行的问题，最终迭代（X那y那S.那τ.那κ..）为原始标准表单问题提供了不可行性证书。

起点

迭代的开始点是可行的点：

X对于每个非负变量，每个Lorentz锥体中的第一变量为1，否则为0。
y= 0。
S.每个锥体的（1,0，...，0），每个非负变量为1。
τ.= 1。
κ..= 1。

中央路径

算法试图遵循中央路径，这是以下等式的参数化解决方案γ.从1朝向0减少。

\begin{matrix} 一种 X - B. τ. = γ. （ 一种 X_{0.} - B. {τ.}_{0.} ） \\ {一种}^{T.} y + S. - C τ. = γ. （ {一种}^{T.} y_{0.} + {S.}_{0.} - F {τ.}_{0.} ） \\ - F^{T.} X + {B.}^{T.} y - κ.. = γ. （ - F^{T.} X_{0.} + {B.}^{T.} y_{0.} - {κ..}_{0.} ） \\ X S. E. = γ. {μ.}_{0.} E. \\ τ. κ.. = γ. {μ.}_{0.} 。 \end{matrix}

（4）

具有0下标的每个变量指示变量的起点。
变量X和S.是箭头头由...形成的基质X和S.载体分别。对于矢量X= [X₁那X₂，......，X_N]，箭头矩阵X有定义

$X = 垫（ X ） = [\begin{matrix} X_{1} & X_{2 ： N}^{T.} \\ X_{2 ： N} & X_{1} 一世 \end{matrix}] 。$

通过其定义，X是对称的。
变量E.是与每个锥体坐标相对应的1的矢量X₁洛伦兹锥坐标。
变量μ._0.有定义

${μ.}_{0.} = \frac{X_{0.}^{T.} {S.}_{0.} + {τ.}_{0.} {κ..}_{0.}}{K. + 1} 那$

在哪里K.是非零元素的数量X_0.。

中央路径从起点开始，并以最佳的解决方案结束到均匀的自我双重问题。

安德森，roos和terlaky[1]在Lemma 3.1中显示互补条件X^T.S.= 0，在哪里X和S.是洛伦兹锥体的产品L.，相当于条件

$X_{一世} {S.}_{一世} {E.}_{一世} = {S.}_{一世} X_{一世} {E.}_{一世} = 0.$

对于每个锥体一世。这里X_一世=垫（X_一世），X_一世是与洛伦兹锥相关的变量一世那S._一世=垫（S._一世），和E._一世是适当尺寸的单位矢量[1,0,0，...，0]。该讨论表明，中心路径在其终点上满足互补条件。

搜索方向

在作为参数附近的中心路径附近获得点γ.从1朝向0降低，算法使用牛顿的方法。要查找的变量被标记为（X那τ.那y那S.那κ..）。让D._X代表搜索方向X变量，等等。然后牛顿步骤解决了以下线性系统，源自等式4.。

$\begin{matrix} 一种 {D.}_{X} - B. {D.}_{τ.} = （ γ. - 1 ）（一种 X_{0.} - B. {τ.}_{0.} ） \\ {一种}^{T.} {D.}_{y} + {D.}_{S.} - F {D.}_{τ.} = （ γ. - 1 ）（ {一种}^{T.} y_{0.} + {S.}_{0.} - F {τ.}_{0.} ） \\ - F^{T.} {D.}_{X} + {B.}^{T.} {D.}_{y} - {D.}_{κ..} = （ γ. - 1 ）（ - F^{T.} X_{0.} + {B.}^{T.} y_{0.} - κ.. ） \\ X_{0.} {D.}_{S.} + {S.}_{0.} {D.}_{X} = - X_{0.} {S.}_{0.} E. + γ. {μ.}_{0.} E. \\ {τ.}_{0.} {D.}_{κ..} + {κ..}_{0.} {D.}_{T.} 一种你 = - {τ.}_{0.} {κ..}_{0.} + γ. {μ.}_{0.} 。 \end{matrix}$

该算法通过迈出一步来获得其下一点D.方向。

$[\begin{matrix} X_{1} \\ {τ.}_{1} \\ y_{1} \\ \begin{array}{l} {S.}_{1} \\ {κ..}_{1} \end{array} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{0.} \\ {τ.}_{0.} \\ y_{0.} \\ \begin{array}{l} {S.}_{0.} \\ {κ..}_{0.} \end{array} \end{matrix}] + α. [\begin{matrix} {D.}_{X} \\ {D.}_{τ.} \\ {D.}_{y} \\ \begin{array}{l} {D.}_{S.} \\ {D.}_{κ..} \end{array} \end{matrix}]$

一步一步 $α. \in [0. 那 1]$ 。

对于数值稳定性和加速的收敛，该算法根据Nesterov和Todd的建议进行比较步骤[8]。此外，该算法根据Mehrotra的预测器校正器的变种来校正步骤[7]。（有关详细信息，请参阅Andersen，Roos和Terlaky[1]。）

步骤求解器变化

前面的讨论涉及linearsolver值'增强'指定的。求解器具有更改步骤计算以适应不同类型的问题的其他值。

'汽车'（默认） -Coneprog.选择步骤求解器：
- 如果问题稀疏，则步骤求解器是'prodchol'。
- 否则，步骤求解器是'增强'。
'普通的'- 求解器使用变体'增强'当问题稀疏时是合适的步骤。看到安德森，roos和terlaky[1]。
'schur'- 求解器使用修改的SCHUR补充方法来处理少量密集列的稀疏问题。该方法也适用于大锥体。看见安德森[2]。
'prodchol'- 求解器使用Goldfarb和Scheinberg中描述的方法（[4]和[5]）处理几列的少数浓度。该方法也适用于大锥体。

迭代显示和停止条件

在每次迭代时K.，该算法计算了三种相对收敛措施：

原始的不可行性

${ideas.}_{原始}^{K.} = \frac{‖ 一种 X_{K.} - B. {τ.}_{K.} ‖}{最大限度（ 1 那 ‖ 一种 X_{0.} - B. {τ.}_{0.} ‖ ）} 。$
双重缺乏

${ideas.}_{双}^{K.} = \frac{‖ {一种}^{T.} y_{K.} + {S.}_{K.} - F {τ.}_{K.} ‖}{最大限度（ 1 那 ‖ {一种}^{T.} y_{0.} + {S.}_{0.} - F {τ.}_{0.} ‖ ）} 。$
间隙不可行

${ideas.}_{差距}^{K.} = \frac{| - F^{T.} X_{K.} + {B.}^{T.} y_{K.} - {κ..}_{K.} |}{最大限度（ 1 那 | - F^{T.} X_{0.} + {B.}^{T.} y_{0.} - {κ..}_{0.} | ）} 。$

您可以通过指定迭代显示在命令行中查看这三个统计信息。

选项= Optimoptions（'coneprog'那'展示'那'iter'）;

当问题是可行的并且求解器收敛时，所有三个都应该接近零。对于可行的问题，变量κ.._K.接近零，变量τ._K.接近积极的常数。

一个停止条件有些与间隙不可行性有所相关。停止条件是当以下最优性测量降低到最优耐受性以下。

${最优性}^{K.} = \frac{| F^{T.} X_{K.} - {B.}^{T.} y_{K.} |}{{τ.}_{K.} + | {B.}^{T.} y_{K.} |} = \frac{| F^{T.} X_{K.} / {τ.}_{K.} - {B.}^{T.} y_{K.} / {τ.}_{K.} |}{1 + | {B.}^{T.} y_{K.} / {τ.}_{K.} |} 。$

这种统计量度测量客观价值的精度。

求解器还在以下条件下停止并宣布存在不可行的问题。三种相对的不可用措施小于C=约束特许，和

${τ.}_{K.} \leq. C 最大限度（ 1 那 {κ..}_{K.} ）。$

如果B.^T.y_K.> 0.然后，求解器声明了原始问题是不可行的。如果F^T.X_K.<0然后，求解器声明了双重问题是不可行的。

该算法也停止何时

${μ.}_{K.} \leq. C {μ.}_{0.}$

和

${τ.}_{K.} \leq. C 最大限度（ 1 那 {κ..}_{K.} ）。$

在这种情况下，Coneprog.报告问题在数字上不稳定（退出标志-10）。

当至少一个不可缺陷措施大于时，剩余的停止条件发生约束特许并且计算的步长太小。在这种情况下，Coneprog.报告说明搜索方向变得太小，无法进一步进展（退出标志-7）。

参考

[1] Andersen，E. D.，C. Roos和T. Terlaky。关于实施锥形二次优化原始 - 双内点法的研究。数学。程序。，Ser。B.95.，pp。249-277（2003）。https://doi.org/10.1007/S10107-002-0349-3.

[2]安德森，K。D.在用于线性规划内点法处理密集柱的改性舒尔补体法。ACM在数学软件（TOM）的交易，22（3）：348-356,1996。

[3] Ben-tal，Aharon和Arkadi Nemirovski。凸优化在工程中：建模，分析，算法。（1998）。可用AT.https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.455.2733&Rep=rep1&type=pdf.。

[4] GoldFarb，D.和K.Scheinberg。一种用于处理内部点方法的致密柱的产品形式的孔基分解方法，用于线性规划。数学编程，99（1）：1-34,2004。

[5] Goldfarb，D.和K.Scheinberg。二阶锥形编程中的产品形式凿色分解。数学规划，103（1）：153-179,2005。

[6]罗，志泉，乔斯·斯特姆，张章。锥形凸编程的二元和自二种性。（1996）。可用AT.https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.6432

[7] Mehrotra，Sanjay。“关于基于双重内部点法的实施。”优化暹罗杂志2，不。4（1992年11月）：575-601。https://doi.org/10.1137/0802028。

[8] Nesterov，Yu。E.和M. J. Todd。“凸编程的自我规模障碍和内部点方法。”运营数学研究22，不。1（1997年2月）：1-42。https://doi.org/10.1287/moor.22.1.1。

也可以看看

Coneprog.|Themondercone.