具有雅可比矩阵的大型稀疏非线性方程组
控件的特性fsolve求解器有效地解决方程的大稀疏系统。该示例使用目标函数，为系统定义
方程,
要解的方程是 ， ．示例使用 ．
这个目标函数非常简单，你可以通过解析来计算它的雅可比矩阵。在解释写向量和矩阵目标函数，雅各比亚
一个方程组
是
．将这个导数作为目标函数的第二个输出。的nlsf1.的辅助函数此示例的结尾创建目标函数
及其雅各比亚
．
使用默认选项求解方程式系统，该选项调用“trust-region-dogleg”算法。从要点开始xstart (i) = 1．
n = 1000;xstart = -ones（n，1）;有趣= @ nlsf1;[x，fval，出口，输出] = fsolve（有趣，xstart）;
等式解决。FSOLVE完成，因为通过函数容差的值测量，功能值的向量接近零，并且如梯度测量的问题会常规。
显示解决方案质量和函数评估的数量。
disp(规范(fval))
2.8577 e-13
disp（output.funccount）
7007
fsolve准确解决方程，但需要数以千计的函数评估。
用雅可比矩阵在默认和“信任区域”算法。
选项= Optimoptions（“fsolve”，“SpecifyObjectiveGradient”,真正的);(x2, fval2 exitflag2 output2] = fsolve(乐趣、xstart选项);
等式解决。FSOLVE完成，因为通过函数容差的值测量，功能值的向量接近零，并且如梯度测量的问题会常规。
options.algorithm =“信任区域”;[X3，FVAL3，EXITFLAG3，OUTPUT3] = FSOLVE（有趣，XSTART，选项）;
等式解决。FSOLVE完成，因为通过函数容差的值测量，功能值的向量接近零，并且如梯度测量的问题会常规。
disp([规范(fval2)、规范(fval3)))
1.0E-08 * 0.0000 0.1065
DISP（[OUTPUT2.FUNCCOUNT，OUTPUT3.FUNCCOUNT]）
7 5
与不使用雅可比矩阵的情况相比，这两种算法都只需要很小一部分的函数求值。的算法需要的函数求值要多一些“信任区域”算法，但默认算法达到更准确的答案。
看是否设置'precondbandwidth'选项1更改“信任区域”回答或效率。这个设置原因fsolve使用Tridiacal Precetitioner，这应该对这种三角形方程系统有效。
options.precondbandwidth = 1;[x4，fval4，ExitFlag4，Output4] = FSOLVE（有趣，XSTART，选项）;
方程已解，可能不准确。Fsolve停止是因为函数值的向量接近于零，这是由函数容差值度量的。然而，最后一步是无效的。
disp(规范(fval4))
3.1185E-05.
disp (output4.funcCount)
6
disp (output4.cgiterations)
8
的'precondbandwidth'选项设置原因fsolve给出一个稍微不准确的答案，用残差的标准值来衡量。函数计算的次数略有增加，从5次增加到6次。作为求解过程的一部分，该求解器的共轭梯度迭代次数少于10次。
看看fsolve使用对角预处理符执行。
选项。PrecondBandWidth = 0;[x5, fval5 exitflag5 output5] = fsolve(乐趣、xstart选项);
方程已解，可能不准确。Fsolve停止是因为函数值的向量接近于零，这是由函数容差值度量的。然而，最后一步是无效的。
disp(规范(fval5))
2.0057E-05.
disp (output5.funcCount)
6
disp (output5.cgiterations)
19
这次的残差范数稍微低一些，函数计算的次数没有变化。共轭梯度迭代次数从8次增加到19次，说明了这一点'precondbandwidth'设置使求解器做更多的工作。
使用该方程解决方程“levenberg-marquardt”算法。
选项= Optimoptions（“fsolve”，“SpecifyObjectiveGradient”,真的,“算法”，“levenberg-marquardt”）;[x6, fval6 exitflag6 output6] = fsolve(乐趣、xstart选项);
等式解决。FSOLVE完成，因为通过函数容差的值测量，功能值的向量接近零，并且如梯度测量的问题会常规。
disp(规范(fval6))
7.5854 e15汽油
disp (output6.funcCount)
6
该算法给出最低残差范数，只比最低次数的函数求值多使用一个。
总结结果。
t =表([规范(fval);规范(fval2);规范(fval3);规范(fval4);规范(fval5);规范(fval6)],..．[output.funcCount; output2.funcCount output3.funcCount; output4.funcCount output5.funcCount; output6.funcCount),..．“VariableNames”，[“残留”“函数宏指令”]，..．“RowNames”，[“默认”“默认+雅可比矩阵”“信任区域+雅各比亚”“信赖域+雅可比矩阵,BW = 1”“信任区+雅各比亚，BW = 0”“Levenberg-Marquardt + Jacobian”]）
t =6×2表剩余FEVALS ________ ______默认为2.8577E-13 7007默认+雅各比尔2.5886E-13 7信任区+ jacobian 1.0646E-09 5信任区域+ jacobian，bw = 1 3.1185e-05 6信任区+ jacobian，bw =0 2.0057E-05 6 Levenberg-Marquardt + Jacobian 7.5854E-15 6
此代码创建nlsf1.函数。
功能F [J] = nlsf1 (x)%求向量函数值n =长度(x);F = 0 (n, 1);我= 2 (n - 1);F(i) = (3-2*x(i)). x(i)-x(i-1)-2*x(i+1) +1;F(n) = (3-2*x(n)) *x(n -1) + 1;F(1) = (3-2*x(1)). x(1)-2*x(2) + 1;%计算雅可比矩阵，如果nargout > 1如果Nargout> 1 d = -4 * x + 3 *（n，1）;d =稀疏（1：n，1：n，d，n，n）;c = -2 * in（n-1,1）;c =稀疏（1：n-1,2：n，c，n，n）;e = -ONE（n-1,1）;e =稀疏（2：n，1：n-1，e，n，n）;j = c + d + e;结束结束
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